Лице на повърхнина на конус

Лицето на повърхнината на конус ни казва, просто казано, колко хартия или ламарина ще изразходваме, ако искаме да направим или да облепим целия конус. Не го бъркай с обема на конус, той показва колко вода се побира в конуса. Конусът има две части: долу кръгла основа и над нея околна повърхнина, която се събира във върха.

Радиусът на основата r е на чертежа червен, височината h синя, а образуващата на конуса l зелена, тя е разстоянието от върха до края на основата.

Формула за лицето на повърхнината на конус

Ако искаш само формулата, лицето на повърхнината на конус S₁, чиято основа има радиус r и чиято образуваща е l, се изчислява като

$$S_1=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot l$$

Първото събираемо е лицето на основата, второто лицето на околната повърхнина. Понякога формулата се записва и с изнесено пред скоби π · r:

$$S_1=\pi \cdot r\cdot (r+l)$$

Да вземем конус с радиус на основата r = 3 и образуваща l = 5. Лицето на повърхнината му е

$$S_1=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Ако искаш да запишеш резултата с обикновено число вместо с пи, замести с приблизителната стойност 3,14:

$$S_1\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Как стигнахме до нея?

Основата е обикновен кръг, лицето ѝ следователно знаем от формулата за лицето на кръг: π · r².

С околната повърхнина е по-интересно. Ако я срежем по образуващата и я разгънем на масата, получаваме кръгов сектор с радиус l. Чертежът показва цялата развивка на конуса: червеният сектор е околната повърхнина, синият кръг е основата. Развивката на чертежа се сгъва в конус и пак се разгъва.

Оранжевата дъга на сектора е била преди срязването краят на основата, затова е също толкова дълга, колкото оранжевата окръжност долу, тоест дължината на окръжността 2π r. Цялата окръжност с радиус l би била дълга 2π l. Секторът е от целия кръг с радиус l точно такава част, каквато е дъгата от цялата окръжност:

$$\frac{2\pi r}{2\pi l}=\frac{r}{l}$$

При конуса от предишния пример това са три пети от кръга, както на чертежа. Целият кръг би имал лице π · l², околната повърхнина взема от него частта $\frac{r}{l}$:

$$S=\frac{r}{l}\cdot \pi \cdot l^2=\pi \cdot r\cdot l$$

Ако към околната повърхнина прибавим и основата, получаваме цялата формула S₁ = π · r² + π · r · l.

Пример: хартиена шапка

Приготвя се празненство и искаме да направим за него хартиена шапка във формата на конус. Долу трябва да има радиус 8 cm, а височината да е 15 cm. Колко хартия ще изразходваме за нея?

Формулата обаче иска образуващата l, а не височината. Височината, радиусът и образуващата обаче образуват правоъгълен триъгълник, така че образуващата ще пресметнем по Питагоровата теорема. Заместваме r = 8 и h = 15:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Повдигаме на квадрат:

$$l=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Остава да извлечем корен:

$$l=17$$

Тук ни чака капан: шапката няма дъно. Който посегне към цялата формула, ще направи шапка с основа, а такава се носи доста трудно. Пресмятаме затова само околната повърхнина:

$$S=\pi \cdot r\cdot l=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Заместваме с приблизителната стойност на пи:

$$S\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

За шапката ще изразходваме приблизително 427 квадратни сантиметра хартия, плюс още малко за залепването.

Калкулатор

Въведи радиуса на основата и образуващата, мерните единици можеш да превключиш при всяко поле. Калкулаторът използва точното пи и затова получава малко повече от 75,36.

Виж също

• Обем на конус
• Кръгов сектор
• Лице на повърхнина на цилиндър
• Лице на повърхнина на пирамида