Sådan beregner du renten på et boliglån

Et almindeligt boliglån er et lån, som vi optager, når vi vil købe en bolig — typisk et hus eller en lejlighed. Lad os se på, hvordan renten på et boliglån beregnes, og hvor meget du kommer til at betale i rente.

Årlig rente kontra månedlig rentetilskrivning

Ethvert boliglån har en fastsat årlig rentefod, som angives i procent. Du kan altså se en reklame for et boliglån med en rentefod på 3 % p.a. »P.a.« er en forkortelse for det latinske »per annum«, og på dansk betyder det »om året« eller »pr. år«. Forenklet og upræcist sagt: Hvis du låner en million kroner, betaler du 3 % i rente om året, og det er 30.000 kr.

I virkeligheden betaler du dog ikke præcis tredive tusind, men mindre. Et almindeligt boliglån afdrager du nemlig hver måned, og lige så ofte tilskriver banken renter. I stedet for at beregne én årlig rente beregner banken tolv månedlige renter. Og fordi du gradvist afdrager lånet, skylder du banken stadig mindre og mindre, og derfor bliver rentens størrelse også stadig lavere og lavere. Lad os vise det på et eksempel. Du låner en million kroner med 3 % i årlig rente og en ydelse på 10.000 kr. om måneden. Hvor stor bliver den første rente?

Første ydelse

Først beregner vi den månedlige rentefod. Den beregnes ved at dividere den årlige rentefod med tolv:

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Den månedlige rentefod er altså 0,25 %. For den første måned betaler vi banken 0,25 % af det, vi stadig skylder banken, altså af en million kroner. 0,25 % beregner vi som

$$1.000.000\cdot 0,25\mathrm{\%}=1.000.000\cdot \mathrm{0,002}5=2500$$

For den første måned betaler vi banken 2500 kr. i rente. Fordi vores månedlige ydelse er 10.000 kr., skylder vi banken efter den første måned

$$1.000.000+2500-10.000=992.500$$

992.500 kr. Vores første ydelse består altså af 2500 kr., som gik til renten, og 7500 kr., som vi har afdraget på vores gæld til banken. Disse 7500 kr. kalder vi afdraget.

Anden ydelse

Hvordan ser den anden måned ud? Den månedlige rentefod ændrer sig ikke, den er stadig 0,25 %. Men det beløb, vi skylder banken på boliglånet, ændrer sig. Dette beløb kalder vi restgælden, og efter den første måned er den 992.500 kr. Den nye månedlige rente beregner vi på præcis samme måde som den første måned, bare med 992.500 kr. i stedet for en million, altså vi beregner 0,25 % af 992.500 kr.:

$$992.500\cdot 0,25\mathrm{\%}=992.500\cdot \mathrm{0,002}5=2481,25$$

Anden måned er renten altså kun 2481,25 kr. i stedet for 2500 kr. — fordi vi allerede har afdraget en del af gælden og har en mindre restgæld. Afdraget bliver

$$10.000-2481,25=7518,75$$

Anden måned har vi altså afdraget mere på boliglånet end den første måned, og samlet skylder vi nu kun

$$992.500-7518,75=984.981,25$$

Flere ydelser…

De følgende ydelser beregnes stadig på samme måde, indtil vi når nul. Tredje måned ville vi altså beregne renten som

$$984.981,25\cdot 0,25\mathrm{\%}=984.981,25\cdot \mathrm{0,002}5=2462,45$$

Vi ser, at renten på 2462,45 kr. igen er lidt mindre end måneden før, og omvendt er afdraget på 7537,55 igen lidt større. Hver følgende måned bliver renten mindre og mindre, fordi vi skylder banken stadig færre og færre penge. Og afdraget bliver stadig større og større — med tiden afdrager vi boliglånet hurtigere og hurtigere, fordi vi betaler færre penge i rente, og flere penge går til at afdrage restgælden.

Vi kan bemærke, at selv om den årlige rentefod var 3 %, betaler vi ikke 30.000 kr. i rente. For at betale 30.000 kr. i rente skulle vi betale 2500 kr. i rente hver måned. Men vi betaler hver måned mindre og mindre, og i sidste ende betaler vi derfor mindre end 30.000 kr. i rente.

Egentlig er det alt, hvad du behøver at vide om, hvordan renten på et boliglån beregnes. Lad os dog se på nogle flere interessante ting.

Præcis beregning af den månedlige rente

I begyndelsen sagde vi, at vi beregner den månedlige rente som

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Det er den beregning, bankerne bruger, men matematisk korrekt er den ikke. Bankerne bruger den mest af historiske grunde, fordi det simpelthen er nemmere at dividere med tolv end at følge den matematisk korrekte fremgangsmåde. Hvad vil vi egentlig opnå, når vi beregner den månedlige rente? En årlig rentefod på 3 % af en million siger os, at kunden på et år ville betale 30.000 kr. i rente. Forestil dig, at kunden et helt år ikke afdrog på boliglånet og blot lod renterne blive tilskrevet. Hvilken månedlig rentefod skulle vi have, for at vi efter tolv måneder præcis havde samlet 30.000 kr. i rente? Hvis vi bruger vores formel »divideret med tolv«, får vi nemlig mere end 30.000 kr. Lad os regne efter:

Først viser vi, hvordan man enkelt lægger renter til restgælden. Hvis vi har beregnet den månedlige rentefod som 0,25 %, får vi det endelige beløb efter tilskrivning af renter ved at gange restgælden med tallet 1,0025:

$$1.000.000\cdot \mathrm{1,002}5=1.002.500$$

Efter to måneder uden ydelser bliver restgælden altså lig med

$$1.000.000\cdot \mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=1.005.006,25$$

Altså ganger vi millionen med tallet 1,0025 så mange gange, som vi vil tilskrive renter. For at gøre det enklere kan vi bruge potenser, for vi ved, at

$$\mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=\mathrm{1,002}{5}^2$$

så vi kan skrive

$$1.000.000\cdot \mathrm{1,002}{5}^2=1.005.006,25$$

Vi vil vide, hvor højt et beløb vi ville have efter 12 måneder:

$$1.000.000\cdot \mathrm{1,002}{5}^{12}=1.030.416$$

Vi ser, at efter 12 måneder ville restgælden være lig med 1.030.416 kr., og det er 416 kr. mere, end det burde være. Altså… det er ikke nogen stor forskel, det må vi indrømme, men det rigtige resultat er det alligevel ikke. Hvordan retter vi det?

Lad os vende tilbage til den årlige rentefod på vores boliglån. Hvis vi vil finde ud af, hvor stor restgælden ville være, når vi anvender en årlig rentefod på tre procent, kan vi skrive det sådan:

$$1.000.000\cdot 1,03=1.030.000$$

Nu vil vi opløse tallet 1,03 i et produkt af tolv ens tal, og dermed få én plus den månedlige rentefod. Altså: Produktet af hvilke tolv ens tal giver resultatet 1,03? Det er den tolvte rod af 1,03:

$$1,03=\sqrt[12]{1,03}\cdot \sqrt[12]{1,03}\cdot \dots \cdot \sqrt[12]{1,03}$$

Vi kan regne ud, at den tolvte rod af 1,03 er 1,0024662 og lidt til, og det er virkelig ikke nogen stor forskel fra tallet 1,0025, som vi fik med vores metode med division med tolv. Men det er det rigtige resultat: Hvis vores månedlige rentefod var lig med $\sqrt[12]{1,03}-1$, ville restgælden efter et år uden ydelser vokse med præcis tre procent.

Daglig kontra månedlig rente

Det er interessant, at nogle banker beregner den månedlige rente på boliglån en smule anderledes. At beregne den månedlige rente ved at dividere den årlige rentefod med tolv har nemlig endnu en bivirkning: Vi får den samme rentefod for alle måneder, selv om månederne har forskellig længde. Februar og juli får den samme rentefod. Hvordan kommer man uden om det? Nogle banker løser det ved at dividere den årlige rentefod med 360, så de får en daglig rentefod, og derefter gange den daglige rentefod med antallet af dage i måneden.

Hvorfor dividerer de med 360 og ikke 365 eller 366? Fordi det igen er enklere at regne med.