Inecuaciones de primer grado

Las inecuaciones lineales se resuelven con transformaciones parecidas a las que usas al resolver una ecuación lineal corriente. Una inecuación lineal suele tener esta forma: ax + b>0 (o bien menor que, mayor o igual y menor o igual). Ahora basta transformar la inecuación a la forma siguiente y el resultado está listo: x>−b/a. Por supuesto, suponemos que a>0. Para a negativo, al dividir cambiaría el sentido de la desigualdad y saldría x<−b/a.

Inecuación lineal corriente

Una inecuación lineal se puede resolver con transformaciones equivalentes de inecuaciones.

• Un ejemplo sencillo puede ser este:

  $$3x+9>3$$

  Primero pasamos todos los términos sin incógnita al segundo miembro. Es decir, sumamos a la inecuación el número −9 y obtenemos la inecuación:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  A continuación dividimos toda la inecuación entre tres:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Ese es el resultado de toda la inecuación. La inecuación tiene solución para todos los x > −2.

  También podríamos resolver la inecuación gráficamente. Si tenemos la inecuación 3x + 9 > 3, dibujamos las gráficas de dos funciones: la del primer miembro y la del segundo. Obtenemos las funciones f(x) = 3x + 9 y g(x) = 3. Sus gráficas son así:

  

  Vemos que estas gráficas se cortan en un punto x₁, cuya abscisa es justamente −2. También vemos que para todos los x > x₁, es decir, para todos los x del intervalo (−2, +∞), la función roja 3x + 9 está «por encima» de la función azul 3 (aquí «por encima» significa «tiene mayor ordenada»). Lo cual concuerda con el resultado al que hemos llegado hace un momento.

• A veces, si tienes muchos signos menos, conviene multiplicar toda la inecuación por menos uno. En ese caso, además de los valores de la propia inecuación, debes invertir también el signo de la desigualdad: de «mayor que» hacer «menor que» y viceversa:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Esto, por supuesto, vale siempre que multipliques toda la inecuación por cualquier número negativo. Veamos otro ejemplo rápido:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  En el primer paso sumamos a la inecuación −2x, con lo que pasamos todos los términos con la variable al primer miembro. A la vez restamos ocho, con lo que pasamos las constantes al segundo miembro. Después solo multiplicamos toda la inecuación por $-\frac{1}{5}$.

  Como ilustración, observa la solución gráfica de la inecuación, en la que dibujamos dos funciones f(x) = −3x + 8 y g(x) = 2x − 7.

  

  Vemos que la gráfica roja de la función −3x + 8 está por debajo de la gráfica azul de la función 2x − 7 siempre que x > 3.

Variable en el denominador

Una inecuación lineal que contiene fracciones con la variable en el denominador se resuelve de una forma algo más complicada. Un ejemplo puede ser la inecuación:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

No podemos multiplicar la inecuación por la incógnita del denominador, porque no conocemos su signo. Si el valor de la variable fuera negativo, tendríamos que cambiar el sentido de la desigualdad. Por eso no podemos permitirnos multiplicar la inecuación sin más por la variable del denominador. No sería una transformación equivalente de inecuaciones.

Empezamos a transformar la inecuación de modo que obtengamos una sola fracción en el primer miembro y un cero en el segundo. Así que primero sumamos a la inecuación −4 y obtenemos la forma:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Ahora debemos llevar la expresión del primer miembro a una sola fracción. Multiplicamos el número −1 por la fracción $\frac{x}{x}$, con lo que reducimos ambas expresiones a común denominador, y después ya solo sumamos las fracciones:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Ahora nos enfrentamos a la pregunta: ¿cuándo es positiva una fracción? Una fracción es positiva si el numerador y el denominador son ambos positivos, o si son ambos negativos. Si uno de ellos es positivo y el otro negativo, la fracción es negativa. Si tenemos, por ejemplo, la fracción $\frac{4}{3}$, toda la fracción representa un número positivo. Si tenemos la fracción $\frac{-3}{4}$, la fracción representa un número negativo. La fracción $\frac{-3}{-4}$ vuelve a representar un número positivo, porque los signos menos se cancelan. En general podemos escribir:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{positivo}}{\text{positivo}}& =& \text{positivo}\\ \frac{\text{positivo}}{\text{negativo}}& =& \text{negativo}\\ \frac{\text{negativo}}{\text{positivo}}& =& \text{negativo}\\ \frac{\text{negativo}}{\text{negativo}}& =& \text{positivo}\end{array}$$

Tendremos, pues, que resolver dos conjuntos de inecuaciones. Empezamos buscando cuándo son positivos a la vez el numerador y el denominador:

1. Para que el numerador y el denominador sean positivos, deben cumplirse a la vez estas dos inecuaciones:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   En la primera inecuación solo pasamos el 2 al otro miembro y multiplicamos por −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Ya tenemos la solución de la primera inecuación. En la segunda inecuación, x > 0, ya no hay nada más que resolver. Ahora debemos hacer la intersección de estas soluciones, porque nos interesan los casos en que se cumplen ambas soluciones a la vez, es decir, cuando el numerador es positivo y a la vez el denominador es positivo. La primera solución podemos escribirla como el intervalo (−∞,2) y la segunda, como el intervalo (0,+∞). Ahora hacemos la intersección de estos intervalos:

   $$(-\mathrm{\infty },2)\cap (0,+\mathrm{\infty })=(0,2)$$

   Esta es otra solución de la inecuación. Si sustituyes números de este intervalo, la inecuación se cumplirá. Por ejemplo, si en lugar de x ponemos x = 1, que es un número del intervalo (0, 2), obtenemos la inecuación $\frac{2}{1}+3>4$, que es igual a 5 > 4. Ahora falta estudiar el caso en que el numerador y el denominador son ambos negativos.

2. En el caso en que el numerador y el denominador deban ser negativos, resolvemos las inecuaciones:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   De nuevo resolvemos rápidamente la inecuación 2 − x < 0:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   La segunda solución es de nuevo simplemente x < 0. Lo escribimos con intervalos: (2,+∞) y (−∞, 0), y hacemos la intersección:

   $$(2,+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },0)=\mathrm{\varnothing }$$

   Nos ha salido el conjunto vacío. ¿Qué significa? Que la fracción $\frac{2-x}{x}$ nunca puede tener a la vez el numerador negativo y el denominador negativo.

Los dos resultados anteriores solo hay que unirlos y obtenemos el conjunto solución final S:

$$S=(0,2)\cup \mathrm{\varnothing }=(0,2)$$

La inecuación $\frac{2}{x}+3>4$ tiene solución para todos los x del intervalo (0, 2). Podemos dibujar una gráfica en la que representemos las funciones $f(x)=\frac{2}{x}+3$ y g(x) = 4:

Vemos que la gráfica roja de la función $f(x)=\frac{2}{x}+3$ está por encima de la gráfica azul de la función g(x) = 4 justamente en el intervalo (0, 2).

Inecuación lineal con valor absoluto

Un poco más de guerra dan las inecuaciones que contienen un valor absoluto. Hay que calcular por separado cuándo la expresión dentro del valor absoluto es positiva y por tanto el signo no cambia, y cuándo es negativa y el signo cambia; en el fondo surgen dos inecuaciones en una. Veamos un ejemplo sencillo:

$$|x+5|<12$$

Antes que nada debemos determinar el cero, que es el número que, al sustituirlo, hace que toda la expresión dentro del valor absoluto sea igual a cero y sirve para determinar los intervalos en los que el signo cambia y en los que no. Así que primero resolvemos la ecuación

$$x+5=0$$

Vemos que el resultado es x = −5. Este resultado divide los valores de x en dos intervalos. En uno, la función x + 5 toma valores positivos y en el otro, negativos. Así, en el intervalo (−∞, −5) obtenemos números negativos y en el intervalo [−5, +∞), positivos o, mejor dicho, no negativos. Como muestra, en la primera línea hay un número del primer intervalo y en la segunda, del segundo:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

¿Qué nos dice esto? Que si sustituimos x por un valor mayor que menos cinco, el valor absoluto no cambia el resultado, porque x + 5 será un número positivo. En cambio, si el valor de x es menor que menos cinco, el resultado de x + 5 será negativo y el valor absoluto lo convertirá en positivo. Por eso en la inecuación debemos distinguir estos dos casos.

Primero calculamos el resultado en el caso de que tomemos x del intervalo [−5, +∞). En este caso el signo no cambia, porque solo quitamos el valor absoluto.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & (-\mathrm{\infty },7)\end{array}$$

Tenemos casi la primera solución. Falta hacer la intersección con el intervalo del que estamos tomando x en este momento. Nos movemos en el intervalo [−5, +∞), así que el resultado de esta inecuación lineal no puede ser, por ejemplo, x = −15, porque no pertenece a nuestro intervalo. Debemos hacer, pues, la intersección:

$$[-5,+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },7)=[-5,7)$$

Ese es el primer resultado. Ahora debemos calcular el resultado en el caso de que tomemos x del intervalo (−∞, −5). En este intervalo el valor absoluto nos cambia el signo. Si queremos quitar el valor absoluto de la inecuación, debemos provocar nosotros el cambio de signo, es decir, multiplicamos la expresión dentro del valor absoluto por el número −1, con lo que le cambiamos el signo. Lo reescribimos así:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

A la inecuación le sumamos 5:

$$-x<17$$

Y multiplicamos por −1:

$$x>-17$$

Obtenemos así el resultado:

$$x\in (-17,+\mathrm{\infty })$$

Pero, igual que antes, el valor de x lo tomamos del intervalo (−∞, −5), así que debemos hacer además la intersección de este intervalo con nuestro resultado:

$$(-17,+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },-5)=(-17,-5)$$

Ya tenemos ambos resultados, que solo unimos:

$$x\in [-5,7)\cup (-17,-5)=(-17,7)$$

Para comprobarlo, podemos mirar las gráficas de estas funciones:

Unas palabras más sobre cuándo usar el intervalo cerrado y cuándo el abierto. Si tenemos una desigualdad estricta, es decir, x>0, usamos un intervalo abierto, porque x no puede ser igual a cero. Si no tenemos una desigualdad estricta, x ≥ 0, usamos un intervalo cerrado, porque x puede ser igual a cero. Por ejemplo, si en la inecuación que acabamos de resolver sustituyes x = 7, que «por poco» no está incluido en la solución de la inecuación, obtienes:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

La inecuación no se cumple: 12 no es menor que 12.