Inéquations du premier degré

Une inéquation du premier degré se résout avec des transformations semblables à celles que tu utilises pour une équation du premier degré ordinaire. Elle a en général la forme ax + b>0 (ou bien avec <, ≥ ou ≤). Il suffit ensuite de la mettre sous la forme x>−b/a, et le résultat est là. Bien sûr, on suppose ici que a>0. Pour a<0, la division renverserait le sens de l’inégalité et l’on obtiendrait x<−b/a.

Inéquation du premier degré simple

Une inéquation du premier degré se résout par des transformations équivalentes d’inéquations.

• Un exemple simple peut ressembler à ceci :

  $$3x+9>3$$

  Commençons par regrouper à droite tous les termes sans inconnue. On ajoute donc −9 aux deux membres de l’inéquation, ce qui donne :

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  On divise ensuite toute l’inéquation par trois :

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  C’est le résultat de l’inéquation entière. Ses solutions sont tous les x > −2.

  On pourrait aussi résoudre l’inéquation graphiquement. Pour 3x + 9 > 3, traçons les courbes de deux fonctions, celle du membre de gauche et celle du membre de droite. On obtient les fonctions f(x) = 3x + 9 et g(x) = 3. Leurs courbes ressemblent à ceci :

  

  On voit que ces courbes se coupent en un seul point x₁, dont l’abscisse vaut exactement −2. On voit aussi que pour tout x > x₁, donc pour tout x de l’intervalle ]−2 ; +∞[, la fonction rouge 3x + 9 est « au-dessus » de la fonction bleue 3 (« au-dessus » signifie ici « d’ordonnée plus grande »). Cela correspond au résultat que nous venons de calculer.

• Parfois, s’il y a beaucoup de signes moins, on peut multiplier toute l’inéquation par moins un. Dans ce cas, il faut aussi inverser le sens de l’inégalité : passer de « supérieur à » à « inférieur à » et inversement :

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Cela vaut évidemment chaque fois que l’on multiplie toute l’inéquation par un nombre négatif. Encore un exemple rapide :

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  Dans la première étape, on ajoute −2x à l’inéquation, pour regrouper à gauche tous les termes contenant la variable. On retranche en même temps 8, ce qui envoie les constantes à droite. Il reste alors à multiplier toute l’inéquation par $-\frac{1}{5}$.

  Pour l’illustrer, regarde la résolution graphique, où l’on trace deux fonctions f(x) = −3x + 8 et g(x) = 2x − 7.

  

  On voit que la courbe rouge de −3x + 8 se trouve sous la courbe bleue de 2x − 7 à chaque fois que x > 3.

Variable au dénominateur

Une inéquation du premier degré contenant des fractions dont le dénominateur est une variable se résout d’une façon un peu plus compliquée. Prenons par exemple :

$$\frac{2}{x}+3>4$$

On ne peut pas multiplier l’inéquation par l’inconnue au dénominateur, car on ne connaît pas son signe. En effet, si la valeur de la variable était négative, il faudrait renverser le sens de l’inégalité. On ne peut donc pas se permettre de multiplier l’inéquation par la variable du dénominateur : ce ne serait pas une transformation équivalente d’inéquations.

On commence donc par transformer l’inéquation pour obtenir une seule fraction à gauche et zéro à droite. On ajoute d’abord −4 à l’inéquation, ce qui donne :

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Il faut ensuite écrire l’expression de gauche sous forme d’une seule fraction. On multiplie donc −1 par la fraction $\frac{x}{x}$, ce qui met les deux termes au même dénominateur, puis on additionne les fractions :

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Il faut maintenant se demander : quand une fraction est-elle strictement positive ? Elle l’est si son numérateur et son dénominateur sont tous deux strictement positifs, ou tous deux strictement négatifs. Si l’un est positif et l’autre négatif, la fraction est négative. Par exemple, la fraction $\frac{4}{3}$ représente un nombre positif, et la fraction $\frac{-3}{4}$ un nombre négatif. La fraction $\frac{-3}{-4}$ représente de nouveau un nombre positif, car les deux moins s’annulent. En général :

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{positif}}{\text{positif}}& =& \text{positif}\\ \frac{\text{positif}}{\text{négatif}}& =& \text{négatif}\\ \frac{\text{négatif}}{\text{positif}}& =& \text{négatif}\\ \frac{\text{négatif}}{\text{négatif}}& =& \text{positif}\end{array}$$

Il faut donc résoudre deux systèmes d’inéquations. On commence par chercher quand le numérateur et le dénominateur sont tous deux strictement positifs :

1. Pour que le numérateur et le dénominateur soient strictement positifs, il faut que ces deux inéquations soient vraies en même temps :

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   Pour la première, on passe simplement le 2 de l’autre côté et on multiplie par −1 :

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   On a la solution de la première inéquation. Pour la seconde, x > 0, il n’y a plus rien à résoudre. Il faut maintenant faire l’intersection de ces solutions, car ce qui nous intéresse, ce sont les cas où les deux conditions sont vraies en même temps, c’est-à-dire où le numérateur et le dénominateur sont tous deux strictement positifs. La première solution s’écrit comme l’intervalle ]−∞ ; 2[ et la seconde comme ]0 ; +∞[. Calculons leur intersection :

   $$]-\mathrm{\infty };2[\cap ]0;+\mathrm{\infty }[=]0;2[$$

   C’est une autre solution de l’inéquation. Si l’on remplace x par un nombre de cet intervalle, l’inéquation est vraie. Par exemple, pour x = 1, qui appartient à ]0 ; 2[, on obtient l’inéquation $\frac{2}{1}+3>4$, soit 5 > 4. Il reste à étudier le cas où le numérateur et le dénominateur sont tous deux strictement négatifs.

2. Si le numérateur et le dénominateur doivent être strictement négatifs, on résout :

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Résolvons rapidement la première inéquation 2 − x < 0 :

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   La seconde solution est simplement x < 0. Écrivons-les sous forme d’intervalles, ]2 ; +∞[ et ]−∞ ; 0[, puis faisons leur intersection :

   $$]2;+\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty };0[=\mathrm{\varnothing }$$

   Le résultat est l’ensemble vide. Cela signifie que la fraction $\frac{2-x}{x}$ ne peut jamais avoir un numérateur négatif et un dénominateur négatif en même temps.

Il reste à réunir les deux résultats pour obtenir l’ensemble solution S :

$$S=]0;2[\cup \mathrm{\varnothing }=]0;2[$$

L’inéquation $\frac{2}{x}+3>4$ a donc pour solutions tous les x de l’intervalle ]0 ; 2[. On peut tracer les courbes des fonctions $f(x)=\frac{2}{x}+3$ et g(x) = 4 :

On voit que la courbe rouge de $f(x)=\frac{2}{x}+3$ se trouve au-dessus de la courbe bleue de g(x) = 4 exactement sur l’intervalle ]0 ; 2[.

Inéquation du premier degré avec valeur absolue

Les inéquations contenant une valeur absolue demandent un peu plus de soin. Il faut en effet calculer séparément le cas où l’expression dans la valeur absolue est positive, donc son signe ne change pas, et le cas où elle est négative, donc son signe change : on obtient en substance deux inéquations en une. Voici un exemple simple :

$$|x+5|<12$$

Il faut d’abord déterminer le zéro, c’est-à-dire le nombre qui annule l’expression dans la valeur absolue. Il sert à délimiter les intervalles où le signe change et ceux où il ne change pas. On résout donc d’abord :

$$x+5=0$$

On trouve x = −5. Ce résultat partage les valeurs de x en deux intervalles : dans l’un, la fonction x + 5 prend des valeurs négatives, et dans l’autre des valeurs positives. Ainsi, dans l’intervalle ]−∞ ; −5[ on obtient des nombres négatifs, et dans [−5 ; +∞[ des nombres positifs, ou nuls. Pour illustrer, la première ligne contient un nombre du premier intervalle, la seconde un nombre du second :

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Qu’est-ce que cela nous dit ? Que si l’on remplace x par une valeur supérieure à −5, la valeur absolue ne change pas le résultat, car x + 5 est positif. En revanche, si x est inférieur à −5, x + 5 est négatif et la valeur absolue le rend positif. Il faut donc distinguer ces deux cas dans l’inéquation.

Commençons par le cas où x est pris dans l’intervalle [−5 ; +∞[. Ici le signe ne change pas, puisqu’on supprime simplement la valeur absolue.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & ]-\mathrm{\infty };7[\end{array}$$

Nous n’avons pas encore la solution complète de ce cas : il faut encore faire l’intersection avec l’intervalle dans lequel on a choisi x. Nous sommes en effet dans l’intervalle [−5 ; +∞[, donc la solution ne peut pas être, par exemple, x = −15, qui n’y appartient pas. Il faut donc faire l’intersection :

$$[-5;+\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty };7[=[-5;7[$$

C’est le premier résultat. Calculons maintenant le cas où x est pris dans l’intervalle ]−∞ ; −5[. Dans cet intervalle, la valeur absolue change le signe. Pour la supprimer, il faut donc changer nous-mêmes le signe : on multiplie l’expression sous la valeur absolue par −1. On écrit donc :

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

On ajoute 5 aux deux membres :

$$-x<17$$

Puis on multiplie par −1 :

$$x>-17$$

On obtient ainsi :

$$x\in ]-17;+\mathrm{\infty }[$$

Mais, comme précédemment, x est choisi dans l’intervalle ]−∞ ; −5[, il faut donc encore faire l’intersection de cet intervalle avec notre résultat :

$$]-17;+\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty };-5[=]-17;-5[$$

Il ne reste plus qu’à réunir les deux résultats :

$$x\in [-5;7[\cup ]-17;-5[=]-17;7[$$

Pour vérifier, on peut regarder les courbes de ces fonctions :

Quelques mots encore sur le moment où l’on utilise un intervalle fermé ou ouvert. Si l’inégalité est stricte, par exemple x>0, on utilise un intervalle ouvert, car x ne peut pas être égal à zéro. Si elle ne l’est pas, comme x ≥ 0, on utilise un intervalle fermé, car x peut être égal à zéro. Par exemple, si l’on remplace x par 7 dans l’inéquation que nous venons de résoudre, nombre qui n’appartient « tout juste pas » à la solution, on obtient :

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

L’inéquation n’est pas vraie : 12 n’est pas strictement inférieur à 12.