Hogyan számoljuk ki a jelzáloghitel kamatait

A szokásos jelzáloghitel olyan hitel, amelyet akkor veszünk fel, ha ingatlant szeretnénk vásárolni – jellemzően házat vagy lakást. Nézzük meg, hogyan számítják ki azokat a kamatokat, amelyeket a jelzáloghitel után fizetned kell.

Éves kamat és havi kamatozás

Minden jelzáloghitelnek van egy százalékban megadott éves kamatlába. Láthatsz tehát olyan jelzáloghitel-reklámot, amelyben 3% p. a. a kamat. A „p. a.” a latin „per annum” rövidítése, magyarul „évente” vagy „egy évre”. Leegyszerűsítve és pontatlanul szólva, ha kölcsönkérsz tizenötmillió forintot, egy év alatt 3%-ot fizetsz kamatként, ami 450 000 forint.

A valóságban azonban nem pontosan négyszázötvenezret fizetsz, hanem kevesebbet. A szokásos jelzáloghitelt ugyanis havonta törlesztjük, és a bank is ilyen gyakran számít fel kamatot. Ahelyett, hogy a bank egy éves kamatot számolna ki, tizenkét havi kamatot számol. És mivel te fokozatosan törleszted a hitelt, egyre kevesebbel tartozol a banknak, ezért a kamat összege is egyre kisebb. Nézzük meg ezt egy példán. Kölcsönkérsz tizenötmillió forintot 3%-os éves kamattal és havi 150 000 forintos törlesztőrészlettel. Mennyi lesz az első kamat?

Az első törlesztés

Először kiszámítjuk a havi kamatlábat. Ezt úgy kapjuk, hogy az éves kamatlábat elosztjuk tizenkettővel:

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

A havi kamatláb tehát 0,25%. Az első hónapban a banknak a még fennálló tartozásunk 0,25%-át fizetjük, vagyis a tizenötmillió forint 0,25%-át. A 0,25%-ot így számoljuk ki:

$$15000000\cdot 0,25\mathrm{\%}=15000000\cdot \mathrm{0,002}5=37500$$

Az első hónapban 37 500 forint kamatot fizetünk a banknak. Mivel a havi törlesztőrészletünk 150 000 forint, az első hónap után ennyivel tartozunk a banknak:

$$15000000+37500-150000=14887500$$

14 887 500 forinttal. Az első törlesztőrészletünk tehát 37 500 forintból áll, amely a kamatra ment el, és 112 500 forintból, amellyel a bank felé fennálló tartozásunkat csökkentettük. Ezt a 112 500 forintot tőketörlesztésnek nevezzük.

A második törlesztés

Hogyan alakulna a második hónap? A havi kamatláb nem változik, az továbbra is 0,25%. Változik viszont az összeg, amellyel a banknak a jelzáloghitelen tartozunk. Ezt az összeget nevezzük tőkének, és az első hónap után 14 887 500 forint. Az új havi kamatot pontosan úgy számoljuk ki, mint az első hónapban, csak tizenötmillió helyett 14 887 500 forinttal számolunk, vagyis kiszámítjuk 14 887 500 forint 0,25%-át:

$$14887500\cdot 0,25\mathrm{\%}=14887500\cdot \mathrm{0,002}5=37218,75$$

A második hónapban tehát a kamat csak 37 218,75 forint a 37 500 forint helyett – mert a tartozás egy részét már letörlesztettük, és kisebb a tőkénk. A tőketörlesztés ennyi lesz:

$$150000-37218,75=112781,25$$

A második hónapban tehát többet törlesztettünk a hitelből, mint az elsőben, és összesen már csak ennyivel tartozunk:

$$14887500-112781,25=14774718,75$$

További törlesztések…

A további törlesztőrészleteket mindig ugyanígy számoljuk, amíg el nem jutunk nullához. A harmadik hónapban a kamatot így számolnánk ki:

$$14774718,75\cdot 0,25\mathrm{\%}=14774718,75\cdot \mathrm{0,002}5\approx 36936,80$$

Látjuk, hogy a 36 936,80 forintos kamat megint egy kicsit kisebb, mint az előző hónapban, a 113 063,20 forintos tőketörlesztés pedig megint egy kicsit nagyobb. Minden következő hónapban a kamat egyre kisebb lesz, mert egyre kevesebb pénzzel tartozunk a banknak. A tőketörlesztés pedig egyre nagyobb – idővel egyre gyorsabban törlesztjük a jelzáloghitelt, mert kevesebb pénz megy kamatra, és több pénz jut a tőke csökkentésére.

Észrevehetjük, hogy bár az éves kamat 3% volt, nem fizetünk 450 000 forintot kamatra. Ahhoz, hogy 450 000 forintot fizessünk kamatként, minden hónapban 37 500 forint kamatot kellene fizetnünk. Mi viszont minden hónapban egyre kevesebbet fizetünk, így végeredményben kevesebb mint 450 000 forintot fizetünk kamatra.

Valójában ez minden, amit tudnod kell ahhoz, hogyan számítják a jelzáloghitel kamatait. Nézzünk meg azonban még néhány érdekességet.

A havi kamat pontos kiszámítása

Az elején azt mondtuk, hogy a havi kamatot így számítjuk ki:

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Ezt a számítást használják a bankok, de matematikailag nem pontos. A bankok inkább történelmi okból használják, mert a tizenkettővel osztás egyszerűen könnyebb, mint a matematikailag helyes eljárás. Mit akarunk valójában elérni, amikor a havi kamatot számoljuk? A tizenötmillió forint 3%-os éves kamata azt mondja, hogy egy év alatt az ügyfél 450 000 forintot fizetne kamatra. Képzeljük el, hogy az ügyfél egész évben nem törleszti a jelzáloghitelt, hanem csak hagyja, hogy a kamatok hozzáadódjanak a tartozáshoz. Milyen havi kamatlábunk legyen, hogy tizenkét hónap után pontosan 450 000 forint kamat gyűljön össze? Ha ugyanis a „tizenkettővel osztás” képletünket használjuk, több mint 450 000 forintot kapunk. Számoljuk ki:

Először megmutatjuk, hogyan lehet egyszerűen hozzáadni a kamatot a tőkéhez. Ha a havi kamatlábat 0,25%-nak számoltuk ki, akkor a kamat hozzáadása utáni összeget úgy kapjuk, hogy a tőkét megszorozzuk az 1,0025 számmal:

$$15000000\cdot \mathrm{1,002}5=15037500$$

Két hónap után, törlesztés nélkül a tőke ennyi lesz:

$$15000000\cdot \mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5\approx 15075094$$

Vagyis a tizenötmilliót megszorozzuk az 1,0025 számmal annyiszor, ahányszor kamatot akarunk hozzáadni. Hogy egyszerűbb legyen, használhatunk hatványokat, mert tudjuk, hogy

$$\mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=\mathrm{1,002}{5}^2$$

így írhatjuk:

$$15000000\cdot \mathrm{1,002}{5}^2\approx 15075094$$

Mi azt szeretnénk tudni, mekkora lenne az összeg 12 hónap után:

$$15000000\cdot \mathrm{1,002}{5}^{12}\approx 15456239$$

Látjuk, hogy 12 hónap után a tőke 15 456 239 forint lenne, ami 6239 forinttal több, mint amennyi lennie kellene. Szóval… nem túl nagy a különbség, valljuk be, de egyszerűen nem ez a helyes eredmény. Hogyan javítsuk ki?

Térjünk vissza a jelzáloghitelünk éves kamatlábához. Ha meg akarjuk tudni, mekkora lenne a tőke, ha az éves háromszázalékos kamatot alkalmaznánk rá, ezt írhatjuk:

$$15000000\cdot 1,03=15450000$$

Most az 1,03 számot tizenkét egyforma szám szorzatára szeretnénk bontani, így megkapjuk a havi kamatlábnál eggyel nagyobb számot. Vagyis mely tizenkét egyforma szám szorzata adja az 1,03 eredményt? Ez az 1,03 tizenkettedik gyöke:

$$1,03=\sqrt[12]{1,03}\cdot \sqrt[12]{1,03}\cdot \dots \cdot \sqrt[12]{1,03}$$

Kiszámíthatjuk, hogy az 1,03 tizenkettedik gyöke 1,0024662 és még némi töredék, ami valóban nem nagy különbség az 1,0025-hez képest, amelyet a tizenkettővel osztásos módszerünkkel kaptunk. De ez a helyes eredmény: ha a havi kamatlábunk $\sqrt[12]{1,03}-1$ lenne, a tőke a törlesztés nélküli egy év után pontosan három százalékkal nőne.

Napi és havi kamat

Érdekesség, hogy egyes bankok a jelzáloghitelek havi kamatát kicsit másképp számolják. Az a módszer, hogy az éves kamatot elosztjuk tizenkettővel, még egy mellékhatással jár: minden hónapra ugyanazt a kamatlábat kapjuk, pedig a hónapok különböző hosszúak. A február és a július ugyanazt a kamatlábat kapja. Hogyan lehet ezt megoldani? Egyes bankok úgy oldják meg, hogy az éves kamatot elosztják 360-nal, így megkapják a napi kamatlábat, majd ezt a napi kamatlábat megszorozzák a hónap napjainak számával.

Miért osztanak 360-nal, és nem 365-tel vagy 366-tal? Mert ez megint csak egyszerűbb a számolásban.