Giới hạn vô cực tại một điểm

Giới hạn của hàm số là một trong những khái niệm quan trọng nhất của giải tích toán học. Nó mô tả dáng điệu của một hàm số trong lân cận của một điểm nhất định; nhờ đó ta có thể, chẳng hạn, định nghĩa tính liên tục của hàm số. Giới hạn của hàm số còn giúp ta hiểu dáng điệu của hàm số ngay cả tại những điểm mà hàm số hoàn toàn không xác định.

Giới hạn vô cực tại một điểm hữu hạn

Trong phần trước ta đã nói về giới hạn hữu hạn tại một điểm hữu hạn. Điểm x₀ là điểm hữu hạn nếu x₀ ∈ ℝ, tức là nếu nó là một số thực. Nhưng “điểm” cũng có thể là vô cực, khi đó ta gọi là điểm vô cực. Ta phân biệt dương vô cực và âm vô cực: +∞, −∞. Giới hạn vô cực tại một điểm hữu hạn nghĩa là ta có hàm số f, điểm hữu hạn x₀, và giới hạn tại điểm này bằng vô cực. Ví dụ về hàm số như vậy là $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Đồ thị:

Tại điểm hữu hạn x₀ = 0, hàm số có giới hạn dương vô cực: dù tiến đến x₀ từ phía nào, giá trị của hàm số cũng luôn tăng lên vô hạn. Cho x₀ là một điểm tụ của tập xác định D của hàm số f. Hàm số f có giới hạn +∞ tại điểm x₀ nếu

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

và có giới hạn −∞ nếu

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Nếu định nghĩa được thoả mãn, ta viết

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Định nghĩa này nói gì? Trong định nghĩa thứ nhất, biến K là một ngưỡng trên trục tung. Định nghĩa nói rằng dù chọn ngưỡng K lớn (cao) đến đâu, ta luôn tìm được một lân cận thủng bán kính δ của điểm x₀ sao cho mọi phần tử của lân cận này đều có giá trị của hàm số lớn hơn K.

Ta thử minh hoạ định nghĩa trên hàm số vừa xét, tìm giới hạn tại điểm x₀ = 0. Chọn K = 4:

Bây giờ ta cần tìm giá trị δ sao cho mọi điểm thuộc (−δ; 0) ∪ (0; δ) có giá trị của hàm số lớn hơn K. Chẳng hạn có thể chọn δ = 0,2. Vẽ lên hình, ta được:

Ta thấy các giá trị của hàm số trên (−δ; 0) ∪ (0; δ) đều nằm trên mức K. Ta cũng có thể tính kiểm tra. Với x = −0,2 ta có f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Trên tập các số âm hàm số đồng biến, nên với mọi x thuộc khoảng (−0,2; 0) giá trị của hàm số chắc chắn lớn hơn 5, do đó lớn hơn K = 4. Khoảng thứ hai cũng tương tự.

Ta mới chỉ ra điều này cho một giá trị K cụ thể. Muốn hàm số có giới hạn dương vô cực thì điều đó phải đúng với mọi K. Ta thử chứng minh. Vì f(x) = f(−x) (hàm số chẵn) nên chỉ cần xét phía dương, tức là chỉ xét khoảng (0; +∞).

Cho trước một số K, ta cần tìm δ sao cho với mọi x ∈ (0; δ) ta có f(x) > K. Vì trên khoảng dương hàm số nghịch biến, nên chỉ cần tìm δ sao cho f(δ) > K. Khi đó điều kiện chắc chắn đúng với mọi x ∈ (0; δ). Ta giải bất phương trình f(δ) > K, sau khi thay vào:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Nhân hai vế với δ. Theo định nghĩa δ luôn dương, nên ta được phép làm vậy. Ta được:

$$1>\delta \cdot K$$

Giả sử K > 0. Với K ≤ 0 thì điều cần chứng minh là hiển nhiên, vì f(x) > 0 với mọi x. Chia hai vế cho K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Đó là kết quả. Khi cho trước K, ta tìm δ bằng cách lấy một số bất kì nhỏ hơn 1/K (và lớn hơn 0, theo định nghĩa) và được khoảng (0; δ) cần tìm.

Trong ví dụ trên ta có K = 4. Thay vào, ta được 1/4>δ, tức là delta phải nhỏ hơn một phần tư. Ta đã chọn 0,2, tức là một phần năm, và kết quả đúng.