유한한 점에서 무한대로 발산하는 극한

함수의 극한은 해석학에서 가장 중요한 개념 가운데 하나이다. 어떤 점의 근방에서 함수가 어떻게 행동하는지 알려 주고, 이를 이용해 예를 들어 함수의 연속을 정의할 수 있다. 함수의 극한을 이용하면 함수가 아예 정의되지 않은 곳에서도 함수가 어떻게 행동하는지 이해할 수 있다.

유한한 점에서 무한대로 발산하는 극한

앞 글에서는 유한한 점에서의 극한값을 다루었다. 점 x₀이 유한하다는 것은 x₀ ∈ ℝ, 즉 실수라는 뜻이다. 하지만 점으로 무한대를 생각할 수도 있다. 양의 무한대와 음의 무한대, +∞, −∞를 구별한다. 유한한 점에서 무한대로 발산한다는 것은 어떤 함수 f와 유한한 점 x₀이 있고, 이 점에서의 극한이 무한대라는 뜻이다. 이런 함수의 예로 $f(x)=|\frac{1}{x}|$이 있다. 그래프는 다음과 같다.

유한한 점 x₀ = 0에서 이 함수는 양의 무한대로 발산한다. x₀에 어느 쪽에서 다가가든 값은 언제나 무한대로 커진다. x₀이 함수 f의 정의역의 집적점이라고 하자. 다음이 성립하면 함수 f는 점 x₀에서 +∞로 발산한다고 한다.

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

다음이 성립하면 −∞로 발산한다고 한다.

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

정의를 만족하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

정의는 무엇을 말할까? 첫 번째 정의에서 변수 K는 y축 위의 어떤 경계를 나타낸다. 정의에 따르면 아무리 큰(높은) 경계 K를 잡아도, 점 x₀의 어떤 구멍 뚫린 δ-근방을 언제나 찾을 수 있어서, 이 근방에 속하는 모든 원소의 함숫값이 K보다 크다.

예로 앞의 함수에서 정의를 확인해 보자. 점 x₀ = 0에서 극한을 구한다. K = 4로 잡는다.

이제 구간 (−δ, 0) ∪ (0, δ)의 모든 점의 함숫값이 K보다 크도록 하는 값 δ를 찾아야 한다. 예를 들어 δ = 0.2로 잡을 수 있다. 그림에 그리면 다음과 같다.

구간 (−δ, 0) ∪ (0, δ)에서의 함숫값이 값 K보다 위에 있다는 것을 알 수 있다. 계산으로도 확인할 수 있다. 값 x = −0.2에서 f(−0.2) = |−1/0.2| = 5를 얻는다. 이 함수는 음수에서 증가하므로, 구간 (−0.2, 0)의 모든 x에서 함숫값은 분명히 5보다 크고, 따라서 K = 4보다도 크다. 다른 구간도 마찬가지이다.

지금은 구체적인 K 하나에 대해서만 보였다. 함수가 양의 무한대로 발산하려면 어떤 K에 대해서도 성립해야 한다. 증명해 보자. f(x) = f(−x)(우함수)이므로 양수인 경우만 계산하면 된다. 즉 구간 (0, ∞)로 한정한다.

어떤 K가 주어지면, 모든 x ∈ (0, δ)에 대해 f(x) > K가 성립하는 δ를 찾아야 한다. 이 함수는 양수 구간에서 감소하므로 f(δ) > K인 δ를 찾기만 하면 된다. 그러면 모든 x ∈ (0, δ)에 대해서도 분명히 성립한다. 이제 부등식 f(δ) > K를 푼다. 대입하면 다음과 같다.

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

이제 부등식 전체에 δ를 곱한다. 정의에 따라 δ의 값은 언제나 양수이므로 그렇게 해도 된다. 그러면 다음을 얻는다.

$$1>\delta \cdot K$$

이제 K > 0이라고 하자. K ≤ 0이면 모든 x에 대해 f(x) > 0이므로 증명이 자명하다. 이제 부등식 전체를 K로 나눌 수 있다.

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

이것이 결과이다. K가 주어지면 1/K보다 작은(그리고 정의에 따라 0보다 큰) 아무 수나 δ로 잡으면 구간 (0, δ)를 얻는다.

앞의 경우에는 K = 4였다. 대입하면 1/4>δ를 얻는다. 델타는 4분의 1보다 작아야 한다. 앞에서 고른 0.2는 5분의 1이므로 조건을 만족한다.