Persamaan eksponensial

Persamaan biasa menjadi persamaan eksponensial jika variabelnya terdapat pada pangkat. Secara umum, persamaan eksponensial dapat ditulis seperti ini: a^f(x) = b^g(x), dengan a, b>0. Contoh khas persamaan eksponensial adalah 2^x = 8. Di sini cukup jelas bahwa hasilnya adalah tiga, karena dua pangkat tiga sama dengan delapan. Berikut ini cara penyelesaian yang lebih matematis.

Persamaan eksponensial sederhana

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, akan sangat membantu jika persamaan dapat diubah ke bentuk a^f(x) = b^g(x) dengan a = b. Jelas bahwa jika bilangan pokoknya sama, kedua perpangkatan sama jika pangkatnya juga sama. Jadi, kita tinggal menyelesaikan persamaan f(x) = g(x). Contoh tadi dapat kita ubah sebagai berikut: bilangan 8 kita tulis sebagai perpangkatan 2, yaitu 2^x = 2³. Sekarang bilangan pokoknya sama, sehingga kedua pangkat tinggal kita samakan, dan langsung diperoleh hasil x = 3. Contohnya bisa dibuat lebih sulit, misalnya 2^2x = 8. Setelah diubah, kembali diperoleh 2^2x = 2³, lalu kita hitung 2x = 3, dan hasilnya 1,5.

Kasus sederhana lainnya terjadi jika di salah satu ruas persamaan ada bilangan satu. Ambil contoh ini:

$$5^{3x-2}=1$$

Terlihat rumit, tetapi jika kamu mengenal sifat-sifat dasar perpangkatan, kamu tahu bahwa bilangan satu hanya bisa diperoleh dengan dua cara: bilangan pokoknya satu, sehingga satu pangkat berapa pun tetap satu, atau pangkatnya nol, karena bilangan apa pun pangkat nol sama dengan satu. Tentu saja kita memakai sifat kedua dan menulis ulang persamaan tadi seperti ini: 5^{3x − 2} = 5⁰. Sekarang persamaan sudah berbentuk seperti yang bisa kita selesaikan (lihat paragraf sebelumnya). Pangkatnya tinggal dibandingkan. Diperoleh persamaan 3x − 2 = 0, yaitu persamaan linear yang sangat sederhana.

Melogaritmakan persamaan eksponensial

Jika persamaan tidak dapat diubah ke bentuk dengan bilangan pokok yang sama, kita bisa mencoba melogaritmakan kedua ruas. Bu Guru kami selalu berkata, “Anak-anak, kalau bingung harus bagaimana, logaritmakan saja!”, dan beliau benar. Jika kamu mempunyai persamaan eksponensial dengan bilangan pokok berbeda yang tidak dapat (atau tidak praktis) disamakan, logaritmakan seluruh persamaan. Dari persamaan semula

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

diperoleh

$$\log a^{f(x)}=\log b^{g(x)}$$

dan menurut rumus logaritma diperoleh

$$f(x)\cdot \log a=g(x)\cdot \log b.$$

Misalkan kita mempunyai contoh ini:

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

Bilangan pokoknya tidak sama dan tidak bisa disamakan, sehingga seluruh persamaan kita logaritmakan:

$$\log (2^x\cdot 5^{2x})=\log (3^{x-2})$$

Sekarang kita gunakan sifat-sifat logaritma, lalu tanda kurung pertama kita “jabarkan”:

$$\log 2^x+\log 5^{2x}=\log 3^{x-2}$$

Sekali lagi kita gunakan sifat-sifat logaritma, lalu pangkatnya kita “pindahkan” ke depan logaritma.

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=(x-2)\log 3$$

Kita jabarkan ruas kanan persamaan:

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=x\log 3-2\log 3$$

Bentuk-bentuk yang memuat variabel kita pindahkan ke ruas kiri:

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5-x\cdot \log 3=-2\log 3$$

Selanjutnya, x kita keluarkan sebagai faktor:

$$x(\log 2+2\log 5-\log 3)=-2\log 3$$

Variabel x kita isolasi di ruas kiri:

$$x=\frac{-2\log 3}{\log 2+2\log 5-\log 3}$$

Pada dasarnya, inilah hasilnya. Kita masih bisa menerapkan sifat-sifat logaritma sekali lagi dan mengubah 2log 5 menjadi log 5² = log 25, tetapi itu benar-benar hal terakhir yang bisa dilakukan dengan hasil ini.

Substitusi

Persamaan eksponensial juga dapat diselesaikan dengan substitusi. Kita lihat pada contoh:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Sekarang kita misalkan a = 7^x. Persamaan semula kita ubah dengan mengganti 7^x dengan a. Diperoleh persamaan berikut (yang bukan lagi persamaan eksponensial):

$$a^2+a-6=0.$$

Ini adalah persamaan kuadrat biasa. Akar-akarnya adalah bilangan 2 dan −3.

Akar-akar ini sekarang kita substitusikan kembali ke pemisalan a = 7^x (substitusi balik). Jadi, 2 = 7^x. Kita logaritmakan:

$$\log 2=x\cdot \log 7$$

lalu variabelnya kita isolasi:

$$x=\frac{\log 2}{\log 7}$$

Akar kedua tidak perlu disubstitusikan, karena negatif. Setelah disubstitusikan, kita akan memperoleh logaritma bilangan negatif, dan itu tidak mungkin. Hasil persamaan eksponensial ini pun sudah diperoleh.

Contoh soal

Selesaikan persamaan eksponensial berikut:

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

Sekilas terlihat bahwa bilangan pokok di kedua ruas tidak sama. Sayang sekali. Namun, jika diperhatikan lagi, kita pasti melihat cara mengubahnya agar bilangan pokoknya sama. Sebagai pengganti 8, kita cukup memakai 2³, yang sama dengan delapan. Dengan rumus pangkat dari pangkat, diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

Sekarang bilangan pokoknya sudah sama, dan kita bisa menyelesaikan persamaan linear sederhana 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

Selesaikan persamaan eksponensial berikut:

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

Seperti biasa, terlihat bahwa bilangan pokoknya tidak sama. Namun, kita semua tentu menduga bahwa keduanya bisa disamakan. Pada ruas kiri kita terapkan rumus perkalian perpangkatan dengan pangkat yang sama, dan pada ruas kanan kita terapkan rumus yang sama seperti tadi, sehingga 100^{x − 1} menjadi 10^{2(x − 1)}:

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

Bilangan pokoknya sudah sama lagi, dan kita bisa menyelesaikan persamaan linear biasa:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

Selesaikan persamaan eksponensial:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Seperti biasa, kita harus lebih dulu mengusahakan bilangan pokok yang sama. Di sini kita gunakan pemfaktoran: dari bentuk di ruas kiri kita keluarkan 3^x. Lalu isi tanda kurung kita jumlahkan dan diperoleh persamaan sederhana.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

Ruas kiri sudah kita ubah, sekarang saatnya mengubah ruas kanan. Cukup jelas bahwa 27 adalah tiga pangkat tiga:

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

Tinggal langkah terakhir: bilangan pokoknya sama, sehingga pangkatnya kita samakan:

$$x=3$$

Selesaikan persamaan eksponensial berikut:

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

Di sini kita mencoba mengubah persamaan eksponensial menjadi persamaan kuadrat biasa. Cara paling mudah adalah dengan substitusi 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Sekarang kita sudah mempunyai persamaan kuadrat biasa, sehingga kita hitung diskriminan dan akar-akarnya:

$$\begin{array}{rcl}D& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

Hasil-hasil sementara ini masih harus kita substitusikan kembali ke pemisalan. Hasil pertama:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

Hasil kedua:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$