구간

구간은 수학에서 아주 많이 쓰이고, 온갖 정의에 등장한다. 구간은 양 끝의 두 점으로 범위가 정해진 점들의 집합이다. 구간은 다시 열린구간과 닫힌구간으로 나뉜다.

기본 설명

구간은 일상의 말에서도 쓴다. 예를 들어 “눈 색깔이 규정에 맞지 않으면 유럽 연합에서 10만 원에서 20만 원 사이의 벌금을 받을 수 있다”라고 하자. 이 예에서는 “사이”라는 말을 썼지만, 수학적으로 보면 이는 구간이다. 그런데 여기서 까다로운 질문이 생긴다. 정확히 10만 원의 벌금을 받을 수도 있을까, 아니면 범위의 양 끝 값은 포함되지 않을까? 벌금은 얼마나 세밀하게 정할 수 있을까? 185,419원의 벌금을 매길 수 있을까? 아니면 예를 들어 천 원 단위로만 정할 수 있을까? 즉 185,000원이나 186,000원으로만?

이 모든 것을 수학적 표기가 해결해 준다. 구간을 쓸 때는 중요한 두 가지를 밝혀야 한다. 어떤 집합 안에서 생각하는지(예로 들면 천 원 단위인가? 만 원 단위인가? 1원 단위인가?), 그리고 양 끝점이 구간에 포함되는지(정확히 10만 원이나 20만 원의 벌금을 받을 수 있는지)이다.

다행히 수학에서는 대부분의 경우 구간이 실수의 집합에서 정의되기를 바란다. 그래서 집합을 밝히지 않은 구간을 만나면 실수의 구간이라고 생각하면 된다.

기본 집합은 정했으니, 이제 양 끝점을 포함하는지를 어떻게 나타낼까? 구간은 괄호를 써서 나타낸다. 소괄호는 그 끝점이 구간에 속하지 않는다는 뜻이고, 대괄호는 그 끝점이 구간에 속한다는 뜻이다. 끝점이 구간에 속하면 닫힌구간, 속하지 않으면 열린구간이라고 한다.

예

다음은 몇 가지 예이다(따로 말하지 않으면 모두 실수의 집합에서 생각한다).

• [1, 2]   1부터 2까지의 닫힌구간. 1과 2 사이의 모든 실수가 이 구간에 속하고, 1과 2도 속한다.
• (1, 2)   1부터 2까지의 열린구간. 1과 2 사이의 모든 실수가 이 구간에 속하지만, 1과 2 자신은 속하지 않는다.
• [0, 1)   왼쪽은 닫혀 있고 오른쪽은 열린 구간. 0과 1 사이의 모든 수가 이 구간에 속하고, 0 자신도 속하지만 1은 속하지 않는다.
• (p, q]   왼쪽은 열려 있고 오른쪽은 닫힌 구간. 두 수 p와 q 사이의 모든 수가 이 구간에 속하고, q는 속하지만 p는 속하지 않는다.
• [0, ∞)   왼쪽은 닫혀 있고 오른쪽은 열린 구간. 구간에 무한대가 있으면 그쪽은 열린 구간으로 쓴다. 무한대에는 유한한 끝점이 없으므로 그쪽을 닫는 것은 의미가 없다.
• [1, 5] ⊂ ℕ   여기서는 다르다. 실수의 집합이 아니라 자연수의 집합에서 생각한다. 양쪽이 닫힌 구간이므로 이 구간에는 1, 2, 3, 4, 5의 다섯 수가 있다.
• (1, 5] ⊂ ℕ   앞의 경우와 같지만 왼쪽이 열려 있어서 1은 구간에 속하지 않는다. 구간의 원소를 모두 나열하면 2, 3, 4, 5이다.

집합으로서의 구간

보다시피 구간은 그 구간이 정의된 집합의 부분집합일 뿐이다. 그래서 구간을 집합처럼 다루고 집합의 연산을 할 수 있다. 예를 들어 합집합은 다음과 같다.

$$[0,5]\cup [5,10]=[0,10]$$

열린구간에서는 주의해야 한다. 이때는 등식이 성립하지 않는다. 5가 결과 구간에 속하지 않기 때문이다.

$$(0,5)\cup (5,10)\ne (0,10)$$

올바르게 쓰면 예를 들어 다음과 같다.

$$(0,5)\cup (5,10)=(0,10)-\{5\}$$

열린구간은 언제 쓸까

열린구간과 닫힌구간의 차이는 꼭 이해해야 한다. 열린구간을 쓰는 흔한 예로 로그의 정의역이 있다. 로그에는 양의 실수만 넣을 수 있다. 즉 음수는 물론 0도 넣을 수 없다. 이것을 어떻게 쓸까? 정의역을 D로 나타내면 다음과 같다.

$$D(\ln )=(0,\mathrm{\infty })$$

이 표기는 아무리 작은 양수라도 로그에 넣을 수 있지만 0은 넣을 수 없다는 뜻이다. 예를 들어 1도 구간에 속하고, 0.001도, 0.0000000001도, 10⁻⁶⁶⁶도 속한다. 하지만 0은 구간에 속하지 않는다. 마찬가지로 분수가 들어 있는 함수, 예를 들어 간단한 f(x) = 1/x의 정의역도 쓸 수 있다.

$$D(f)=(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,\mathrm{\infty })$$

이 집합은 0을 뺀 실수의 집합이다. 두 구간 어디에서도 0이 닫힌 쪽의 끝점이 아니므로 합집합에도 0은 없다. 그래도 아무리 작은 양수나 아무리 큰 음수도 쓸 수 있다(음수에서는 −0.001이 −0.1보다 크므로, “아무리 작은”이 아니라 “아무리 큰” 음수라고 한다).

수직선 위의 그림

구간은 보통 수직선 위에 선분으로 나타내고, 양 끝점은 구간이 닫혔는지 열렸는지에 따라 그린다. 닫힌구간이면 점을 나타내는 동그라미를 색칠하고, 열린구간이면 색칠하지 않고 테두리, 즉 원만 그린다.

다음 그림은 모두 2부터 6까지이지만 양 끝이 닫혔는지가 서로 다른 세 구간을 나타낸다. 위에서부터 차례로 구간 [2, 6], (2, 6], (2, 6)이다.