등식의 성질과 방정식의 변형

방정식을 풀 때는 방정식의 해를 바꾸지 않는 변형(동치 변형)을 쓴다. 이런 변형의 목적은 방정식을 더 간단한 꼴로 바꾸어 답을 구할 수 있게 하는 것이다.

방정식이란

먼저 방정식이 무엇이고 어떻게 쓰는지 간단히 보자. 두 함수 f(x)와 g(x)가 있으면 이 둘이 같다고 놓아 방정식을 얻을 수 있다.

$f (x) = g (x)$

이때 f(x)를 방정식의 좌변, g(x)를 우변이라고 한다. 추상적인 함수 f(x)와 g(x) 대신 구체적인 함수, 예를 들어 f(x) = 3x와 g(x) = x + 2를 생각할 수 있다. 그러면 방정식은 다음과 같다.

$3 x = x + 2$

방정식의 해는 (예를 들어) 집합 S인데, S의 모든 x를 방정식에 대입해도 방정식이 여전히 성립한다. 따라서 위 방정식의 해는 다음 집합이다.

$S = {1} .$

방정식에 대입하면 다음을 얻는다.

$3 \cdot 1 = 1 + 2$

방정식의 동치 변형은 방정식의 해를 바꾸지 않는 변형이다. 즉 함수 f(x)를 바꿔 f₁(x)를 얻고, 같은 변형으로 함수 g(x)에서 g₁(x)를 얻었을 때, 여전히 다음 등식이 성립하는 변형이다.

$f_{1} (x) = g_{1} (x) .$

방정식의 동치 변형 가운데 가장 간단한 것은 좌변과 우변을 바꾸는 것이다(부등식에서는 안 된다!). 다음이 성립하면

$f (x) = g (x),$

좌변과 우변을 바꾼 다음 식도 성립한다는 것은 분명하다.

$g (x) = f (x) .$

방정식은 방정식이란 무엇인가 글에서 더 자세히 다룬다.

덧셈

가장 간단한 예는 방정식의 양변에 어떤 식을 더하는 것이다. 변형은 언제나 방정식의 양변에 똑같이 한다. 다음 방정식을 보자.

$x - 3 = 1.$

이 방정식은 양변에 3을 더해서 풀 수 있다. 방정식을 변형할 때는 보통 변형을 시작한 줄 끝에 빗금을 긋고 그 뒤에 어떤 변형을 했는지 적는다.

$\begin{array}{rcl} x - 3 & = & 1 / + 3 \\ 3 + x - 3 & = & 1 + 3 \\ x & = & 4 \end{array}$

일반적으로 두 함수 f(x)와 g(x)에 세 번째 함수 h(x)를 더해도 방정식의 해는 바뀌지 않는다.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) / + h (x) \\ f (x) + h (x) & = & g (x) + h (x) \end{array}$

보다시피 수뿐 아니라 함수도 더할 수 있다.

$x = 2 x + 6$

보통 변수는 좌변에 두므로 양변에 −2x를 더한다. 즉 2x를 뺀다.

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x + 6 / - 2 x \\ x - 2 x & = & 2 x - 2 x + 6 \\ - x & = & 6 \\ x & = & - 6 \end{array}$

물론 필요하면 분수도 더할 수 있다.

$x - \frac{1}{2} = 471$

2분의 1을 더하면 답이 나온다.

$\begin{array}{rcl} x - \frac{1}{2} & = & 471 / + \frac{1}{2} \\ x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & = & 471 + \frac{1}{2} \\ x & = & 471.5 \end{array}$

더하기는 보통 어떤 식을 방정식의 한쪽에서 다른 쪽으로 “옮길” 때 쓴다(이항). 다음 방정식을 보자.

$3 = 2 x + 17,$

변수가 있는 식 2x를 좌변으로 어떻게 옮길까? 방정식 전체에 −2x를 더하면 된다. 2x − 2x = 0이므로 우변에서는 2x 대신 0이 된다. 그리고 좌변에는 −2x가 생긴다.

$\begin{array}{rcl} 3 & = & 2 x + 17 / - 2 x \\ 3 - 2 x & = & 2 x - 2 x + 17 \\ 3 - 2 x & = & 17 \end{array}$

곱셈

방정식의 양변에 어떤 함수를 곱할 수도 있다. 유일한 조건은 그 함수가 0이 아니어야 한다는 것이다. 양변에 0을 곱할 수 없고, 0으로 정리되는 함수, 예를 들어 f(x) = x − x를 곱할 수도 없다. 그래서 다음 방정식이 있으면

$3 x = 7,$

양변에 2를 곱할 수 있다.

$\begin{array}{rcl} 3 x & = & 7 / \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 x & = & 2 \cdot 7 \\ 6 x & = & 14 \end{array}$

이 변형은 별 의미가 없었지만, 곱셈은 예를 들어 분수를 없애야 할 때 쓴다.

$3 = \frac{2}{5 x}$

양변에 우변 분수의 분모를 곱하면 분수의 성질에 따라 식 5x가 깔끔하게 약분된다.

$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{2}{5 x} / \cdot 5 x \\ 5 x \cdot 3 & = & 5 x \cdot \frac{2}{5 x} \end{array}$

이제 분수에 식 5x를 곱하면 5x가 분자로 가고, 분모와 분자에 모두 5x가 있으므로 약분할 수 있다.

$\begin{array}{rcl} 15 x & = & \frac{5 x \cdot 2}{5 x} \\ 15 x & = & 2 \end{array}$

이 절의 처음에 0을 곱하면 안 된다고 했다. 그런데 지금 식 5x를 곱했다. 이 식에는 변수가 있어서 변수에 0을 넣으면 식 전체가 0이 되고, 결국 0을 곱한 셈이 된다. 어떻게 해야 할까?

이럴 때는 이 변형을 할 수 있는 조건을 정한다. 즉 x가 0이 아닐 때만 5x를 곱할 수 있다고 써야 한다. 그런데 곱한 방정식을 다시 보자. 식 5x는 이미 방정식에 있고 분수의 분모에 있다. 이는 무엇을 뜻할까? 0으로는 나눌 수 없으므로 함수 $\frac{2}{5 x}$ 의 정의역 자체가 x가 0이 되는 것을 막는다.

다시 정리하면, 방정식에는 분모에 식 5x가 있는 분수가 있다. 0으로는 나눌 수 없으므로 방정식은 x가 0이 아닐 때만 의미가 있다. 그래서 필요한 조건은 분모에 있는 함수의 정의역이 이미 보장해 주므로, 방정식 전체에 걱정 없이 5x를 곱할 수 있다.

복잡한 식 곱하기

중요한 점이 있다. 방정식에 어떤 식을 곱할 때는 언제나 우변 전체와 좌변 전체에 곱해야 한다. 다음 방정식을 예로 보자.

$x + 2 = x - 4$

양변에 2를 곱하려면 다음과 같이 양변 전체에 곱해야 한다.

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (x + 2) & = & 2 \cdot (x - 4) \\ 2 x + 4 & = & 2 x - 8 \end{array}$

괄호를 쓰지 않으면 틀린 결과를 얻는다.

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot x + 2 & = & 2 \cdot x - 4 \\ 2 x + 2 & = & 2 x - 4 \end{array}$

앞의 결과와 다르다는 것을 알 수 있다. 더 복잡한 식을 곱할 때도 마찬가지로 방정식 전체에 곱해야 한다. 다음 방정식을 예로 보자.

$2 x + 1 = \frac{2}{x + 3} .$

우변 분모의 변수를 없애기 위해 양변에 식 x + 3을 곱한다.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & \frac{2}{x + 3} / \cdot (x + 3) \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & (x + 3) \frac{2}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \end{array}$

분수를 식 x + 3으로 깔끔하게 약분할 수 있는 꼴이 되었다.

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \end{array}$

이제 좌변을 전개하고, 마지막으로 2를 빼서 2를 좌변으로 “옮기면” 우변이 0이 된다.

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \\ 2 x^{2} + x + 6 x + 3 & = & 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 3 & = & 2 / - 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 1 & = & 0 \end{array}$

나눗셈

방정식의 양변에 곱할 수 있는 것처럼 나눌 수도 있다. 곱셈과 같은 제한, 즉 0으로 나눌 수 없다는 제한이 있다. 나눗셈은 곱셈으로 쉽게 바꿀 수 있기 때문이다. 방정식을 식 w로 나누는 것은 분수 1/w을 곱하는 것과 같다. 나눗셈은 예를 들어 다음과 같은 문제에서 자주 쓴다.

$12 x = 7$

이런 방정식에서는 더 할 수 있는 것이 별로 없다. 양변을 12로 나누면 x의 값을 얻는다.

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / \div 12 \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

양변에 1/12을 곱해도 같은 결과를 얻는다.

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / \cdot \frac{1}{12} \\ 12 x \cdot \frac{1}{12} & = & 7 \cdot \frac{1}{12} \\ \frac{12 x}{12} & = & \frac{7}{12} \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

양변 제곱하기

방정식을 변형할 때 거듭제곱을 쓸 수도 있지만, 몇 가지 제한이 있다. 먼저 거듭제곱에 대해 떠올려 보자. 다음 등식은 성립할까?

$\sqrt{x^{2}} = x$

어떤 수를 제곱한 다음 그 제곱근을 구하면 원래 수가 다시 나올까? 함정이 있는 질문이고, 답은 언제나 그렇지는 않다는 것이다. x에 음수, 예를 들어 −3을 넣어 보자.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{(- 3)^{2}} & = & - 3 \\ \sqrt{9} & = & - 3 \\ 3 & \neq & - 3 \end{array}$

보다시피 등식은 더 이상 성립하지 않는다. 음수를 제곱하면 양수가 되는데, 그 양수의 제곱근을 구하면 다시 양수가 나오기 때문이다. 이 등식은 언제 성립할까? 양수, 정확히는 음이 아닌 수만 다룬다는 것을 알 때이다. 그래서 양수만 다룬다는 것을 알 때 방정식의 양변을 제곱할 수 있다.

예를 들어 기하에서는 선분의 길이가 들어 있는 방정식을 자주 다루는데, 길이는 음수가 될 수 없으므로 걱정 없이 제곱할 수 있다. 제곱하거나 제곱근을 구할 때도 방정식 전체에 해야 한다는 규칙은 같다. 예를 보자.

$\sqrt{x + 2} = x + 4$

양수만 다룬다고 하자. 그러면 양변을 제곱할 수 있다.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x + 2} & = & x + 4 /^{2} \\ {(\sqrt{x + 2})}^{2} & = & (x + 4)^{2} \\ x + 2 & = & x^{2} + 8 x + 16 \\ x^{2} + 7 x + 14 & = & 0 \end{array}$

이차방정식을 얻었고, 해당 글에서 설명한 방법으로 풀 수 있다.

제곱해야 하는데 양수만 다루는지 확신할 수 없는 방정식은 어떻게 풀까? 그냥 제곱한 다음 검산을 하면 된다. 제곱하면 원래 방정식의 해가 아닌 값이 나올 수 있기 때문이다. 예를 보자.

$\sqrt{x} = x - 2$

양변을 제곱한다.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 /^{2} \\ {(\sqrt{x})}^{2} & = & (x - 2)^{2} \\ x & = & x^{2} - 4 x + 4 \\ x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \end{array}$

다시 이차방정식이 나왔으므로 알맞은 방법, 예를 들어 인수분해로 푼다(자세한 방법은 해당 글에 있다).

$(x - 1) (x - 4) = 0$

두 근은 1과 4이다. 그런데 동치가 아닌 변형을 했으므로 검산을 해야 한다. 두 값을 원래 방정식에 대입해 어느 것이 원래 방정식의 해인지 확인한다. 먼저 1을 대입한다.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{1} & = & 1 - 2 \\ 1 & \neq & - 1 \end{array}$

확인해 보니 1은 원래 방정식의 해가 아니다. 4는 어떨까?

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{4} & = & 4 - 2 \\ 2 & = & 2 \end{array}$

4는 원래 방정식의 해이므로 답을 찾았다.

목차: 등식의 성질과 방정식의 변형, 부등식의 성질과 부등식의 변형

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