다각형의 내각의 합
어떤 삼각형이든 내각을 모두 더하면 언제나 180°이다. 예각삼각형이든 둔각삼각형이든, 우표만큼 작든 상관없다. 그러면 사각형, 오각형, 육각형은 어떨까? 내각을 모두 더하면 얼마일까?
삼각형으로 나누기
오각형 ABCDE를 그리고 꼭짓점 A에서 변으로 이어져 있지 않은 모든 꼭짓점으로 대각선을 긋는다. 대각선 AC와 AD이다. 이 대각선들이 오각형을 삼각형 세 개로 나눈다.
색칠한 각을 보자. 삼각형의 각은 모두 오각형의 어느 한 꼭짓점에 있고, 모두 합치면 오각형의 내각을 빈틈없이 채운다. 남는 것도 모자라는 것도 없다. 꼭짓점 A에는 세 삼각형의 각이 모두 모이고, C와 D에는 두 삼각형의 각만 모인다. 따라서 오각형의 내각의 합은 삼각형 세 개의 내각의 합, 즉 3 · 180°와 같다.
볼록다각형이면 언제나 똑같다. 한 꼭짓점에서 이웃한 두 꼭짓점을 뺀 나머지 모든 꼭짓점으로 대각선을 그으면 n각형은 삼각형 n − 2개로 나뉜다. 따라서 n각형의 내각의 합은 다음과 같다.
이 공식은 오목다각형, 즉 어떤 내각이 180°보다 큰 다각형에서도 성립한다. 오목다각형도 삼각형으로 나눌 수 있지만, 대각선이 모두 한 꼭짓점에서 나오지 않을 수도 있다.
사각형은 꼭짓점이 네 개이므로 n = 4를 대입한다.
정사각형에서도 맞는다. 네 직각을 더하면 4 · 90° = 360°이다.
오각형은 n = 5이다.
육각형은 n = 6이다.
꼭짓점이 하나 늘 때마다 삼각형이 하나 늘고, 내각의 합은 180°씩 커진다.
왜 삼각형 n개가 아닐까?
다각형은 다른 방법으로도 나눌 수 있다. 다각형 안에 점 S를 잡고 모든 꼭짓점과 잇는다. 그러면 오각형은 삼각형 다섯 개로 나뉜다. 그래서 내각의 합이 5 · 180°라고 결론짓고 싶어진다. 하지만 이는 틀린 결론이다.
점 S에 모인 삼각형의 각은 오각형의 내각이 아니다. 이 각들을 합치면 360°가 되므로 이를 빼야 한다.
앞과 같은 결과가 나왔다. 360° = 2 · 180°이므로 어떤 볼록 n각형에서도 같은 결과를 얻는다.
정다각형
정다각형은 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같다. 한 내각의 크기는 내각의 합을 각의 개수 n으로 나누어 구한다.
정오각형의 한 내각은
벌은 정육각형으로 집을 짓는다. 벌집은 정육각형을 빈틈없이 이어 붙인 것이다. 각 꼭짓점에 정육각형 세 개가 모이고, 그 각을 합치면 다음과 같기 때문이다.
즉 정확히 한 바퀴를 채운다.
정오각형으로는 이렇게 할 수 없다. 108°인 각 세 개를 합치면 324°이므로 빈틈이 남고, 네 개를 합치면 432°로 너무 크다. 정다각형의 넓이를 구하는 방법은 정n각형의 넓이에서 다룬다.
외각의 합은 360°
외각은 다각형의 한 변을 꼭짓점 너머로 늘였을 때 생긴다. 늘인 선과 다음 변이 이루는 각이다. 오각형의 둘레를 따라 걸어서 한 바퀴 돈다고 생각해 보자. 꼭짓점마다 외각만큼 방향을 바꾼다. 출발점으로 돌아오면 처음과 같은 방향을 보고 있으므로, 한 바퀴, 즉 360°를 돈 것이다.
오른쪽의 시계 문자판은 화살표가 지금까지 모두 몇 도를 돌았는지 보여 준다.
계산으로도 같은 결과가 나온다. 한 꼭짓점에서 내각과 외각은 이웃한 두 각이므로 합이 180°이다. 꼭짓점이 n개이면 모두 n · 180°이다. 그 가운데 (n − 2) · 180°가 내각의 합이고, 외각에는 다음이 남는다.
꼭짓점의 개수는 상관없다. 볼록다각형의 외각의 합은 삼각형이든 백각형이든 언제나 360°이다.
함께 보기
목차: 각, 각의 이등분선 작도하기, 크기가 같은 각의 작도, 호도법, 방향을 정한 각, 다각형의 내각의 합, 도로 경사를 각으로 바꾸기