무한대에서 무한대로 발산하는 극한

함수의 극한은 해석학에서 가장 중요한 개념 가운데 하나이다. 어떤 점의 근방에서 함수가 어떻게 행동하는지 알려 주고, 이를 이용해 예를 들어 함수의 연속을 정의할 수 있다. 함수의 극한을 이용하면 함수가 아예 정의되지 않은 곳에서도 함수가 어떻게 행동하는지 이해할 수 있다.

무한대에서 무한대로 발산하는 극한

앞의 두 극한을 합친 것이다. x가 양의 무한대나 음의 무한대로 갈 때 함수의 극한을 구하는데, 극한 자체도 양의 무한대나 음의 무한대가 된다.

다음이 성립하면 점 ∞에서 함수가 ∞로 발산한다고 한다.

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x>A\Rightarrow f(x)>K)$$

다음이 성립하면 점 −∞에서 그렇다고 한다.

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x<A\Rightarrow f(x)>K).$$

x가 −∞로 갈 때도 마찬가지이다. 정의는 앞의 원리를 합친 것이다. 무한대에서 극한을 구하는데 그것이 다시 무한대여야 한다면, y축 위의 모든 경계 K에 대해 x축 위의 경계 A를 찾을 수 있어서, x > A인, 즉 경계 A 뒤의 모든 점에서 함숫값 f(x)가 정한 경계 K보다 크다는 것이다. 다시 말해 함수 f(x)는 한없이 커진다. y축 위에 어떤 경계를 잡아도 함수는 언젠가 그 경계를 넘는다.

간단한 함수 f(x) = x를 생각해 보자. y축 위에 경계 K를 잡으면 모든 x > K에서 K보다 큰 함숫값을 얻는다.