할인에 또 할인

어느 가게가 할인 행사를 한다. 20% 할인에, 이미 할인된 상품을 20% 더 할인해 준다고 한다. 얼마나 아낄 수 있을까? 두 할인을 그냥 더해서 40%라고 하고 싶어진다. 하지만 실제로는 36%만 아낄 수 있다.

왜 40%가 아닐까

모든 것은 두 번째 할인을 무엇에 대해 계산하느냐에 달려 있다. 두 번째 할인은 원래 가격이 아니라 할인된 가격에 대해 계산한다. 나머지는 보통의 백분율 계산이다.

100,000원짜리 재킷으로 계산해 보자. 먼저 첫 번째 할인 금액, 즉 100,000원의 20%를 구한다.

$\frac{20}{100} \cdot 100,000 = 20,000$

할인 금액을 원래 가격에서 뺀다.

$100,000 - 20,000 = 80,000$

첫 번째 할인 뒤 재킷의 가격은 80,000원이다. 두 번째 할인 금액은 이 새 가격의 20%이다.

$\frac{20}{100} \cdot 80,000 = 16,000$

이것도 뺀다.

$80,000 - 16,000 = 64,000$

재킷의 최종 가격은 64,000원이다. 모두 합해서 아낀 금액은 다음과 같다.

$100,000 - 64,000 = 36,000$

이 36,000원은 원래 가격 100,000원의 36%이다. 두 번째 할인은 더 적은 금액에 대해 계산했기 때문에 20,000원이 아니라 16,000원만 깎아 주었다.

뺄셈은 아예 생략할 수 있다. 20% 할인을 받으면 가격의 100%에서 20%를 뺀 80%를 내므로 가격에 0.8을 곱하면 된다. 두 번째 할인은 0.8을 한 번 더 곱하는 것이다.

$0.8 \cdot 0.8 = 0.64$

원래 가격의 64%를 내므로 할인율은 100%에서 64%를 뺀 36%이다. 재킷으로 계산하면 다음과 같다.

$100,000 \cdot 0.64 = 64,000$

첫 번째 할인 뒤에는 80%, 두 번째 할인 뒤에는 64%를 낸다

파란색은 내야 할 가격, 빨간색은 마지막 할인으로 깎인 부분, 회색 점선은 첫 번째 할인에서 이미 사라진 부분이다. 세 번째 막대의 빨간 부분은 두 번째 막대보다 짧다. 똑같이 20% 할인인데도 더 짧은 막대에 대해 계산하기 때문이다.

원래 가격 c와 임의의 할인율 a%, b%에 대하여 두 번 할인한 뒤의 가격은 다음과 같다.

$c \cdot (1 - \frac{a}{100}) \cdot (1 - \frac{b}{100})$

흥미롭게도 할인의 순서는 결과에 영향을 주지 않는다. 10% 할인 뒤 30% 할인을 하든, 30% 할인 뒤 10% 할인을 하든 가격은 같다. 곱셈은 교환법칙이 성립하기 때문이다. 그러니 가게가 아무리 생색을 내도 더 유리한 순서는 없다.

먼저 20% 올렸다가 다시 20% 내린 상품에도 비슷한 함정이 있다. 가격이 원래대로 돌아온 것처럼 보이지만, 20% 올리는 것은 1.2를 곱하는 것이므로 다음을 얻는다.

$1.2 \cdot 0.8 = 0.96$

가격은 원래 가격의 96%, 즉 4% 낮아진다. 500,000원짜리 휴대폰은 가격을 올리면 다음과 같아진다.

$500,000 \cdot 1.2 = 600,000$

이제 20% 할인은 600,000원에 대해 계산한다.

$600,000 \cdot 0.8 = 480,000$

휴대폰의 최종 가격은 480,000원으로, 처음보다 20,000원 싸다. 책을 이용한 비슷한 예는 백분율 글에 있다.

두 번 할인한 뒤의 가격은 계산기로도 구할 수 있다. 할인율은 퍼센트로 입력한다.

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