사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 성질

사인과 코사인은 기본적인 삼각함수이다.

사인

직각삼각형에서 각 알파의 사인은 빗변의 길이에 대한 대변의 길이의 비이다.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{대변의 길이}}{\text{빗변의 길이}}$$

사인 함수의 그래프를 사인 곡선이라고 한다. 다음 그림에서 그래프를 볼 수 있다.

사인은 주기함수이고 주기는 2π이다. 그 밖의 성질은 다음과 같다.

• 정의역은 실수 전체의 집합이다.
• 치역은 구간 [−1, 1]이다.
• 사인은 무수히 많은 점에서 최댓값을 갖는다. 정확히 말하면 “첫” 최댓값은 $x=\frac{\pi }{2}$에서 갖고, 주기함수이므로 k가 정수일 때 모든 점 $\frac{\pi }{2}+2k\pi$에서도 최댓값을 갖는다. 최댓값은 1이다.
• 최솟값도 마찬가지이다. 사인은 k가 정수일 때 점 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$에서 최솟값을 갖고, 그 값은 −1이다.
• 사인은 기함수이고 유계함수이다.

코사인

직각삼각형에서 각 알파의 코사인은 빗변의 길이에 대한 이웃변의 길이의 비이다. 즉 계산기로 각 알파의 코사인을 구하면 다음 몫의 값을 얻는다.

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{이웃변의 길이}}{\text{빗변의 길이}}.$$

코사인 함수의 그래프를 코사인 곡선이라고 한다. 다음 그림에서 그래프를 볼 수 있다.

코사인은 주기함수이고 주기는 2π이다. 그 밖의 성질은 다음과 같다.

• 정의역은 실수 전체의 집합이다.
• 치역은 구간 [−1, 1]이다.
• 코사인은 무수히 많은 점에서 최댓값을 갖는다. 정확히 말하면 “첫” 최댓값은 x = 0에서 갖고, 주기함수이므로 k가 정수일 때 모든 점 2kπ에서도 최댓값을 갖는다. 최댓값은 1이다.
• 최솟값도 마찬가지이다. 코사인은 k가 정수일 때 점 π + 2kπ에서 최솟값을 갖고, 그 값은 −1이다.
• 코사인은 우함수이고 유계함수이다.

탄젠트

직각삼각형에서 각 알파의 탄젠트는 이웃변의 길이에 대한 대변의 길이의 비이다. 탄젠트는 tan로 나타낸다(체코 등에서는 tg라고도 쓴다).

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{대변의 길이}}{\text{이웃변의 길이}}$$

이 함수의 그래프는 다음과 같은 곡선이다.

탄젠트가 앞의 함수들과 가장 다른 점은 주기이다. 주기는 2π가 아니라 π이다. 그 밖의 성질은 다음과 같다.

• 정의역 D(tan)는 다음 집합이다.

$$D(\tan )=\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• 치역은 실수 전체의 집합이다.
• 탄젠트는 최댓값도 최솟값도 없고 유계가 아니다.
• 탄젠트는 기함수이다.

코탄젠트

각 알파의 코탄젠트는 대변의 길이에 대한 이웃변의 길이의 비이다. 코탄젠트는 cot로 나타낸다.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{이웃변의 길이}}{\text{대변의 길이}}$$

이 함수의 그래프는 다음과 같은 곡선이다.

그 밖의 성질은 다음과 같다.

• 주기는 탄젠트와 같이 π이다.
• 정의역 D(cot)는 다음 집합이다.

$$D(\cot )=\mathbb{R}-\left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• 치역은 실수 전체의 집합이다.
• 코탄젠트는 최댓값도 최솟값도 없고 유계가 아니다.
• 코탄젠트는 기함수이다.

사인과 코사인의 관계

삼각함수들은 서로 밀접한 관계가 있다. 사인 함수와 코사인 함수의 그래프를 함께 보면 서로 크게 다르지 않고, 한쪽이 다른 쪽을 조금 평행이동한 것일 뿐이라는 것을 알 수 있다.

함수에 넣는 값에 언제나 π/2를 더하면 코사인 함수가 된다.

반대로 코사인에서 π/2를 빼면 사인이 된다.

따라서 다음 공식을 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

탄젠트와 코탄젠트를 사인과 코사인으로 나타내기

탄젠트 함수는 사인과 코사인으로 쉽게 나타낼 수 있다. 탄젠트가 무엇인지, 즉 이웃변의 길이에 대한 대변의 길이의 비라는 것만 떠올리면 된다. 다음 삼각형을 이용하자.

각 베타의 탄젠트는 무엇과 같을까?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

분자나 분모를 어떻게 나타낼 수 있을까? 변 b의 길이와 변 c의 길이는 무엇과 같을까? 각 베타의 사인은 다음과 같다.

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

이 공식에서 |b|에 대해 정리한다.

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

각 베타의 코사인은 다음과 같다.

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

|c|에 대해 정리한다.

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

이제 변 b와 c의 길이를 사인과 코사인으로 나타냈다. 이 결과를 처음의 탄젠트 식에 대입한다.

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

분자와 분모를 |a|로 약분하면 최종 공식을 얻는다.

$$\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

따라서 탄젠트는 사인을 코사인으로 나눈 몫으로 쓸 수 있다. 유도는 생략하지만, 코탄젠트는 분자와 분모를 바꾼 분수, 즉 코사인을 사인으로 나눈 몫으로 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

탄젠트와 코탄젠트의 관계

사인과 코사인이 비슷한 것처럼 탄젠트와 코탄젠트도 비슷하다. 두 그래프를 한 그림에서 보자.

탄젠트를 나타내는 곡선을 어떻게 코탄젠트를 나타내는 곡선으로 바꿀까? 먼저 π/2만큼 평행이동한다.

코탄젠트에 가까워졌지만 곡선의 방향이 여전히 반대이다. 코탄젠트는 각 구간에서 감소하는데, 평행이동한 이 곡선은 증가한다. 이 문제는 변수 x의 부호를 바꾸어 해결한다.

따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

특수각의 삼각함수 값

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 몇몇 깔끔한 각에서 깔끔한 값을 갖는다. 기본적인 값을 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$