Giới hạn vô cực tại vô cực

Giới hạn của hàm số là một trong những khái niệm quan trọng nhất của giải tích toán học. Nó mô tả dáng điệu của một hàm số trong lân cận của một điểm nhất định; nhờ đó ta có thể, chẳng hạn, định nghĩa tính liên tục của hàm số. Giới hạn của hàm số còn giúp ta hiểu dáng điệu của hàm số ngay cả tại những điểm mà hàm số hoàn toàn không xác định.

Giới hạn vô cực tại vô cực

Đây là sự kết hợp của các loại giới hạn trước: ta tìm giới hạn của hàm số khi x dần tới dương hoặc âm vô cực, và bản thân giới hạn cũng là dương hoặc âm vô cực.

Ta nói ∞ là giới hạn của hàm số tại ∞ nếu

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D)(x>A\Rightarrow f(x)>K)$$

và tại −∞ nếu

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D)(x<A\Rightarrow f(x)>K).$$

Giới hạn −∞ được định nghĩa tương tự. Định nghĩa kết hợp các ý tưởng trước. Nó nói rằng nếu ta tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn đó cũng là vô cực, thì với mỗi ngưỡng K trên trục tung ta tìm được một ngưỡng A trên trục hoành sao cho mọi giá trị f(x) với x > A, tức là sau ngưỡng A, đều lớn hơn ngưỡng K đã chọn. Nói cách khác: hàm số f(x) tăng lên vô hạn. Dù chọn ngưỡng nào trên trục tung, sớm muộn hàm số cũng vượt qua nó.

Có thể hình dung hàm số đơn giản f(x) = x. Nếu chọn ngưỡng K trên trục tung thì với mọi x > K ta được các giá trị của hàm số lớn hơn K.