Persamaan eksponen

Persamaan biasa menjadi persamaan eksponen apabila persamaan itu mengandungi pemboleh ubah dalam indeks. Secara umum, persamaan eksponen boleh ditulis seperti ini: a^f(x) = b^g(x), dengan a, b>0. Contoh tipikal persamaan eksponen ialah 2^x = 8. Di sini agak jelas bahawa jawapannya ialah tiga kerana dua kuasa tiga ialah lapan. Seterusnya, kita lihat kaedah yang lebih matematik.

Persamaan eksponen yang mudah

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen, sangat membantu jika persamaan itu dapat diubah kepada bentuk a^f(x) = b^g(x) dengan a = b. Jelaslah bahawa jika asasnya sama, kedua-dua kuasa sama apabila indeksnya juga sama. Jadi, kita hanya perlu menyelesaikan persamaan f(x) = g(x). Contoh tadi boleh diubah seperti berikut: kita tulis lapan sebagai kuasa bagi dua, 2^x = 2³. Sekarang asasnya sama, jadi kita hanya menyamakan kedua-dua indeks dan terus memperoleh jawapan x = 3. Kita boleh menjadikan contoh ini lebih sukar, misalnya: 2^2x = 8. Selepas diubah, kita sekali lagi memperoleh 2^2x = 2³ dan menyelesaikan 2x = 3. Jawapannya ialah 1.5.

Satu lagi kes mudah berlaku apabila salah satu belah persamaan ialah satu. Ambil contoh ini:

$$5^{3x-2}=1$$

Persamaan ini kelihatan rumit, tetapi jika anda tahu hukum indeks, anda tahu bahawa satu hanya boleh diperoleh dengan dua cara: sama ada asasnya satu, dan satu kuasa apa-apa indeks tetap satu, atau indeksnya sifar, dan apa-apa nombor kuasa sifar ialah satu. Sudah tentu kita menggunakan sifat yang kedua dan menulis semula persamaan tadi seperti ini: 5^{3x − 2} = 5⁰. Sekarang persamaan berada dalam bentuk yang sudah kita tahu cara menyelesaikannya (lihat perenggan sebelumnya). Kita hanya perlu membandingkan indeks. Di sini kita memperoleh persamaan 3x − 2 = 0, iaitu persamaan linear yang sangat mudah.

Mengambil logaritma bagi persamaan eksponen

Jika persamaan tidak dapat diubah kepada bentuk dengan asas yang sama, kita boleh cuba kaedah mengambil logaritma. Cikgu kami selalu berkata, “Anak-anak, kalau tak tahu nak buat apa, ambil sahaja logaritma!” Dan dia memang betul. Jika anda mempunyai persamaan eksponen dengan asas yang berbeza, dan asas-asas itu tidak dapat (atau tidak berbaloi) diubah menjadi asas yang sama, ambil logaritma bagi seluruh persamaan. Daripada persamaan asal

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

kita memperoleh

$$\log a^{f(x)}=\log b^{g(x)}$$

dan berdasarkan hukum logaritma, kita memperoleh

$$f(x)\cdot \log a=g(x)\cdot \log b.$$

Jadi, ambil contoh ini

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

Asas-asasnya tidak sama dan tidak dapat diubah, jadi kita ambil logaritma bagi seluruh persamaan:

$$\log (2^x\cdot 5^{2x})=\log (3^{x-2})$$

Sekarang kita gunakan hukum logaritma untuk “memecahkan” kurungan pertama

$$\log 2^x+\log 5^{2x}=\log 3^{x-2}$$

Kemudian kita gunakan sekali lagi hukum logaritma untuk “memindahkan” indeks ke hadapan logaritma.

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=(x-2)\log 3$$

Kita kembangkan sebelah kanan persamaan:

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=x\log 3-2\log 3$$

Kita pindahkan sebutan yang mengandungi anu ke sebelah kiri persamaan:

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5-x\cdot \log 3=-2\log 3$$

Seterusnya, kita faktorkan x:

$$x(\log 2+2\log 5-\log 3)=-2\log 3$$

Kita ungkapkan x:

$$x=\frac{-2\log 3}{\log 2+2\log 5-\log 3}$$

Pada hakikatnya, inilah jawapannya. Kita boleh menggunakan hukum logaritma sekali lagi dan menukar 2log 5 kepada log 5² = log 25, tetapi itulah perkara terakhir yang boleh dilakukan pada jawapan ini.

Penggantian

Persamaan eksponen juga boleh diselesaikan dengan penggantian. Mari kita lihat contoh:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Katakan a = 7^x. Kita ubah persamaan asal dengan menggantikan 7^x dengan a. Kita memperoleh persamaan berikut (yang bukan lagi persamaan eksponen):

$$a^2+a-6=0.$$

Ini ialah persamaan kuadratik biasa. Punca-puncanya ialah nombor 2 dan −3.

Sekarang kita gantikan punca-punca ini ke dalam penggantian a = 7^x, iaitu 2 = 7^x. Kita ambil logaritma:

$$\log 2=x\cdot \log 7$$

dan ungkapkan x:

$$x=\frac{\log 2}{\log 7}$$

Punca kedua tidak perlu digantikan kerana punca itu negatif: penggantian akan menghasilkan logaritma bagi nombor negatif, dan hal ini mustahil. Dengan itu, kita memperoleh penyelesaian persamaan eksponen ini.

Contoh

Selesaikan persamaan eksponen berikut:

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

Pada pandangan pertama, asas di kedua-dua belah tidak sama. Sedih. Tetapi pada pandangan kedua, kita tentu dapat melihat operasi yang membolehkan kita memperoleh asas yang sama. Sebagai ganti lapan, kita gunakan 2³, yang sama dengan lapan. Dengan menggunakan hukum kuasa bagi kuasa, kita memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

Sekarang asasnya sama, dan kita boleh menyelesaikan persamaan linear yang mudah 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

Selesaikan persamaan eksponen berikut:

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

Seperti biasa, asasnya tidak sama. Namun, kita semua mungkin dapat meneka bahawa asas-asas ini boleh diubah. Di sebelah kiri, kita gunakan hukum pendaraban kuasa dengan indeks yang sama, dan di sebelah kanan kita gunakan hukum yang sama seperti tadi untuk menukar 100^{x − 1} kepada 10^{2(x − 1)}:

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

Sekali lagi kita mempunyai asas yang sama dan boleh menyelesaikan persamaan linear biasa:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

Selesaikan persamaan eksponen:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Seperti biasa, kita perlu memperoleh asas yang sama terlebih dahulu. Di sini pemfaktoran membantu: kita faktorkan 3^x daripada ungkapan di sebelah kiri. Kemudian kita tambahkan ungkapan dalam kurungan dan memperoleh persamaan yang mudah.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

Sekarang sebelah kiri sudah diubah, dan tiba masanya untuk mengubah sebelah kanan. Jelas sekali nombor ini ialah tiga kuasa tiga:

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

Tinggal langkah terakhir: asasnya sama, jadi kita samakan indeks:

$$x=3$$

Selesaikan persamaan eksponen berikut:

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

Dalam kes ini, kita cuba mengubah persamaan eksponen menjadi persamaan kuadratik biasa. Cara terbaik ialah menggunakan penggantian 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Sekarang kita mempunyai persamaan kuadratik biasa, jadi kita kira pembeza layan dan punca-puncanya:

$$\begin{array}{rcl}D& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

Kita masih perlu menggantikan hasil-hasil ini kembali ke dalam penggantian. Hasil pertama:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

Hasil kedua:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$