Lineære ulikheter

Lineære ulikheter løses med omtrent de samme omformingene som når du regner ut en vanlig lineær likning. En lineær ulikhet har vanligvis denne formen: ax + b>0 (eventuelt mindre enn, større enn eller lik og mindre enn eller lik). Nå holder det bare å skrive om ulikheten til følgende form, og svaret er klart: x>−b/a. Vi forutsetter selvfølgelig at a>0. For negativ a ville ulikhetstegnet snudd seg ved divisjonen, og vi ville fått x<−b/a.

Vanlig lineær ulikhet

En lineær ulikhet kan løses med ekvivalente omforminger av ulikheter.

• Et enkelt eksempel kan se slik ut:

  $$3x+9>3$$

  Først flytter vi alle uttrykk uten ukjent over på høyre side. Vi legger altså tallet −9 til ulikheten, og da får vi ulikheten:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Deretter deler vi hele ulikheten på tre:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Det er løsningen av hele ulikheten. Ulikheten har løsning for alle x > −2.

  Vi kunne også løst ulikheten grafisk. Hvis vi har ulikheten 3x + 9 > 3, tegner vi grafene til to funksjoner — venstre og høyre side av ulikheten. Vi får funksjonene f(x) = 3x + 9 og g(x) = 3. Grafene deres ser slik ut:

  

  Vi ser at disse grafene skjærer hverandre i ett punkt x₁, som har førstekoordinat nøyaktig −2. Vi ser også at for alle x > x₁, altså for alle x fra intervallet ⟨ − 2, → ⟩, ligger den røde funksjonen 3x + 9 «over» den blå funksjonen 3 (her betyr «over» at den har større y-koordinat). Det stemmer med resultatet vi nettopp regnet oss fram til.

• Noen ganger er det praktisk, hvis du har mange minustegn, å gange hele ulikheten med minus én. I dette tilfellet må du i tillegg til selve verdiene i ulikheten også snu ulikhetstegnet — gjøre større enn om til mindre enn og omvendt:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Dette gjelder selvfølgelig hver gang du ganger hele ulikheten med et hvilket som helst negativt tall. Enda et raskt eksempel:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  I det første trinnet legger vi som vanlig −2x til ulikheten, slik at vi flytter alle uttrykk med variabelen over på venstre side. Samtidig trekker vi fra åtte, slik at vi flytter konstantene over på høyre side. Så ganger vi bare hele ulikheten med $-\frac{1}{5}$.

  For illustrasjon kan du se på den grafiske løsningen av ulikheten, der vi tegner inn to funksjoner f(x) = −3x + 8 og g(x) = 2x − 7.

  

  Vi ser at den røde grafen til funksjonen −3x + 8 ligger under den blå grafen til funksjonen 2x − 7 alltid når x > 3.

Variabel i nevneren

En lineær ulikhet som inneholder brøker med variabel i nevneren, løses på en litt mer sammensatt måte. Et eksempel kan være ulikheten:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Vi kan ikke gange ulikheten med den ukjente i nevneren, fordi vi ikke kjenner fortegnet til den. Hvis verdien til variabelen var negativ, måtte vi nemlig snudd ulikhetstegnet. Derfor kan vi ikke bare gange ulikheten med variabelen i nevneren. Det ville ikke vært en ekvivalent omforming av ulikheter.

Vi begynner å omforme ulikheten slik at vi får én brøk på venstre side og null på høyre side. Først legger vi altså −4 til ulikheten, og da får vi formen:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Nå må vi skrive uttrykket på venstre side som én brøk. Vi ganger altså tallet −1 med brøken $\frac{x}{x}$, slik at vi får begge uttrykkene over på felles nevner, og så legger vi bare sammen brøkene:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Nå står vi overfor spørsmålet — når er en brøk positiv? En brøk er positiv hvis både telleren og nevneren er positive, eller hvis både telleren og nevneren er negative. Hvis den ene er positiv og den andre negativ, er brøken negativ. Hvis vi for eksempel har brøken $\frac{4}{3}$, er hele brøken et positivt tall. Hvis vi har brøken $\frac{-3}{4}$, er brøken et negativt tall. Brøken $\frac{-3}{-4}$ er igjen et positivt tall, fordi minustegnene går ut mot hverandre. Generelt kan vi skrive:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{positivt}}{\text{positivt}}& =& \text{positivt}\\ \frac{\text{positivt}}{\text{negativt}}& =& \text{negativt}\\ \frac{\text{negativt}}{\text{positivt}}& =& \text{negativt}\\ \frac{\text{negativt}}{\text{negativt}}& =& \text{positivt}\end{array}$$

Vi må altså løse to sett med ulikheter. Vi begynner med å finne når både telleren og nevneren er positive:

1. For at både telleren og nevneren skal være positive, må begge disse ulikhetene gjelde samtidig:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   I den første ulikheten flytter vi bare 2 over på den andre siden og ganger med −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Vi har løsningen av den første ulikheten. I den andre ulikheten x > 0 er det ikke noe mer å løse. Nå må vi ta snittet av disse løsningene, fordi vi er interessert i tilfellene der begge løsningene gjelder samtidig, altså når telleren er positiv og nevneren samtidig er positiv. Den første løsningen kan vi skrive som intervallet ⟨ ← , 2⟩, den andre løsningen kan vi skrive som intervallet ⟨0, → ⟩. Nå tar vi snittet av disse intervallene:

   $$⟨\leftarrow ,2⟩\cap ⟨0,\to ⟩=⟨0,2⟩$$

   Det er en løsning av ulikheten. Hvis du setter inn tall fra dette intervallet, vil ulikheten gjelde. Hvis vi for eksempel setter inn x = 1 for x, som er et tall fra intervallet ⟨0, 2⟩, får vi ulikheten $\frac{2}{1}+3>4$, som er lik 5 > 4. Nå gjenstår det å undersøke tilfellet der både telleren og nevneren er negative.

2. I tilfellet der både telleren og nevneren skal være negative, løser vi ulikhetene:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Igjen løser vi raskt ulikheten 2 − x < 0:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   Den andre løsningen er igjen enkelt og greit x < 0. Vi skriver det som intervaller: ⟨2, → ⟩ og ⟨ ← , 0⟩ og tar snittet:

   $$⟨2,\to ⟩\cap ⟨\leftarrow ,0⟩=\mathrm{\varnothing }$$

   Vi fikk den tomme mengden. Hva betyr det? At brøken $\frac{2-x}{x}$ aldri kan ha negativ teller og samtidig negativ nevner.

De to forrige resultatene tar vi bare unionen av, og får den endelige løsningsmengden L:

$$L=⟨0,2⟩\cup \mathrm{\varnothing }=⟨0,2⟩$$

Ulikheten $\frac{2}{x}+3>4$ har løsning for alle x fra intervallet ⟨0, 2⟩. Vi kan tegne en graf der vi viser funksjonene $f(x)=\frac{2}{x}+3$ og g(x) = 4:

Vi ser at den røde grafen til funksjonen $f(x)=\frac{2}{x}+3$ ligger over den blå grafen til funksjonen g(x) = 4 nøyaktig i intervallet ⟨0, 2⟩.

Lineære ulikheter med absoluttverdi

Litt mer moro er det gjerne med ulikheter som inneholder absoluttverdi. Du må nemlig regne for seg når uttrykket i absoluttverdien er positivt og fortegnet dermed ikke endres, og når uttrykket er negativt og fortegnet endres — det oppstår i grunnen to ulikheter i én. Et enkelt eksempel:

$$|x+5|<12$$

Aller først må vi bestemme nullpunktet, som er tallet der hele uttrykket i absoluttverdien blir lik null når vi setter det inn, og som brukes til å bestemme intervallene der fortegnet endres og der det ikke endres. Først løser vi altså likningen

$$x+5=0$$

Vi ser at svaret er x = −5. Dette resultatet deler verdiene av x i to intervaller. I det ene har funksjonen x + 5 positive verdier, og i det andre negative. I intervallet ⟨ ← , −5⟩ får vi altså negative tall, og i intervallet [−5, → ⟩ positive, eller rettere sagt ikke-negative. For å vise det, står det på første linje et tall fra det første intervallet, på andre linje fra det andre:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Hva forteller dette oss? At hvis vi setter inn en verdi større enn minus fem for x, endrer ikke absoluttverdien resultatet, fordi x + 5 blir et positivt tall. Og omvendt, hvis verdien av x er mindre enn minus fem, blir resultatet av x + 5 negativt, og absoluttverdien gjør det om til positivt. Derfor må vi skille mellom disse to tilfellene i ulikheten.

Først regner vi ut resultatet i tilfellet der vi tar x fra intervallet [−5, → ⟩. Nå endres ikke fortegnet, vi fjerner bare absoluttverdien.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & ⟨\leftarrow ,7⟩\end{array}$$

Vi har nesten den første løsningen. Vi må nemlig fortsatt ta snittet med intervallet vi for øyeblikket velger x fra. Vi beveger oss nemlig i intervallet [−5, → ⟩, så løsningen av denne lineære ulikheten kan for eksempel ikke være x = −15, fordi den ikke ligger i intervallet vårt. Vi må altså ta snittet:

$$[-5,\to ⟩\cap ⟨\leftarrow ,7⟩=[-5,7⟩$$

Det er det første resultatet. Nå må vi regne ut resultatet i tilfellet der vi tar x fra intervallet ⟨ ← , −5⟩. I dette intervallet endrer absoluttverdien fortegnet. Hvis vi vil fjerne absoluttverdien fra ulikheten, må vi altså sørge for fortegnsendringen selv, det vil si at vi ganger uttrykket under absoluttverdien med tallet −1 og dermed endrer fortegnet på uttrykket. Vi skriver det om slik:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Vi legger til 5 i ulikheten:

$$-x<17$$

Og ganger med −1:

$$x>-17$$

Vi får dermed resultatet:

$$x\in ⟨-17,\to ⟩$$

Men igjen som før velger vi verdien av x fra intervallet ⟨ ← , −5⟩, så vi må fortsatt ta snittet av dette intervallet med resultatet vårt:

$$⟨-17,\to ⟩\cap ⟨\leftarrow ,-5⟩=⟨-17,-5⟩$$

Nå har vi begge resultatene, som vi bare tar unionen av:

$$x\in [-5,7⟩\cup ⟨-17,-5⟩=⟨-17,7⟩$$

For å kontrollere kan vi se på grafene til disse funksjonene:

Noen ord til om når du bruker lukket og når åpent intervall. Hvis vi har en streng ulikhet, altså x>0, bruker vi åpent intervall, fordi x ikke kan være lik null. Hvis vi ikke har en streng ulikhet, x ≥ 0, bruker vi lukket intervall, fordi x kan være lik null. Hvis du for eksempel setter inn x = 7 i ulikheten vi nettopp løste, som «så vidt» ikke er med i løsningen av ulikheten, får du:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

Ulikheten gjelder ikke, 12 er ikke mindre enn 12.