Linjära olikheter

Linjära olikheter löser du med ungefär samma omformningar som när du räknar en vanlig linjär ekvation. En linjär olikhet har oftast formen ax + b>0 (eller med mindre än, större än eller lika med, mindre än eller lika med). Nu räcker det att skriva om olikheten till följande form, så är svaret klart: x>−b/a. Vi antar förstås att a>0. För negativt a skulle olikhetstecknet vändas vid divisionen, och vi skulle få x<−b/a.

Vanlig linjär olikhet

En linjär olikhet kan du lösa med ekvivalenta omformningar av olikheter.

• Ett enkelt exempel kan se ut så här:

  $$3x+9>3$$

  Först flyttar vi alla termer utan obekant till högerledet. Vi adderar alltså −9 till olikheten och får:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Sedan dividerar vi hela olikheten med tre:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Det är lösningen på hela olikheten. Olikheten gäller för alla x > −2.

  Olikheten kan vi också lösa grafiskt. Om vi har olikheten 3x + 9 > 3 ritar vi graferna till två funktioner, en för vänsterledet och en för högerledet. Vi får funktionerna f(x) = 3x + 9 och g(x) = 3. Deras grafer ser ut så här:

  

  Vi ser att graferna skär varandra i en punkt x₁, vars x-koordinat är precis −2. Vi ser också att för alla x > x₁, alltså för alla x i intervallet ]−2, +∞[, ligger den röda funktionen 3x + 9 ”ovanför” den blå funktionen 3 (här betyder ”ovanför” att den har större y-koordinat). Det stämmer med resultatet som vi nyss räknade fram.

• Ibland är det praktiskt att multiplicera hela olikheten med minus ett, om du har många minustecken. Då måste du, förutom själva värdena i olikheten, också vända olikhetstecknet, så att större än blir mindre än och tvärtom:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Det gäller förstås varje gång du multiplicerar hela olikheten med ett negativt tal. Här är ett snabbt exempel till:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  I första steget adderar vi som vanligt −2x till olikheten, så att alla termer med variabeln hamnar i vänsterledet. Samtidigt subtraherar vi åtta, så att konstanterna hamnar i högerledet. Sedan multiplicerar vi bara hela olikheten med $-\frac{1}{5}$.

  För att illustrera kan du titta på den grafiska lösningen, där vi ritar de två funktionerna f(x) = −3x + 8 och g(x) = 2x − 7.

  

  Vi ser att den röda grafen till −3x + 8 ligger under den blå grafen till 2x − 7 precis när x > 3.

Variabel i nämnaren

En linjär olikhet som innehåller bråk med variabel i nämnaren löser du på ett lite krångligare sätt. Ett exempel är olikheten:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Vi kan inte multiplicera olikheten med den obekanta i nämnaren, eftersom vi inte vet vilket tecken den har. Om variabelns värde vore negativt, skulle vi nämligen behöva vända olikhetstecknet. Därför kan vi inte bara multiplicera olikheten med variabeln i nämnaren. Det vore ingen ekvivalent omformning av olikheter.

Vi börjar i stället med att skriva om olikheten så att vi får ett enda bråk i vänsterledet och noll i högerledet. Först adderar vi −4 till olikheten, och då får vi:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Nu måste vi skriva uttrycket i vänsterledet som ett enda bråk. Vi multiplicerar talet −1 med bråket $\frac{x}{x}$, så att båda termerna får gemensam nämnare, och sedan adderar vi bara bråken:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Nu står vi inför frågan: när är ett bråk positivt? Ett bråk är positivt om både täljaren och nämnaren är positiva, eller om båda är negativa. Om den ena är positiv och den andra negativ är bråket negativt. Bråket $\frac{4}{3}$ är till exempel ett positivt tal. Bråket $\frac{-3}{4}$ är ett negativt tal. Bråket $\frac{-3}{-4}$ är återigen ett positivt tal, eftersom minustecknen tar ut varandra. Allmänt kan vi skriva:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{positivt}}{\text{positivt}}& =& \text{positivt}\\ \frac{\text{positivt}}{\text{negativt}}& =& \text{negativt}\\ \frac{\text{negativt}}{\text{positivt}}& =& \text{negativt}\\ \frac{\text{negativt}}{\text{negativt}}& =& \text{positivt}\end{array}$$

Vi måste alltså lösa två uppsättningar av olikheter. Vi börjar med att undersöka när både täljaren och nämnaren är positiva:

1. För att både täljaren och nämnaren ska vara positiva måste båda dessa olikheter gälla samtidigt:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   I den första olikheten flyttar vi bara över 2 till andra sidan och multiplicerar med −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Då har vi lösningen på den första olikheten. Den andra olikheten, x > 0, behöver vi inte räkna mer på. Nu måste vi bilda snittet av de två lösningarna, eftersom vi är intresserade av fallen när båda lösningarna gäller samtidigt, dvs. när täljaren är positiv och nämnaren är positiv. Den första lösningen kan vi skriva som intervallet ]−∞, 2[ och den andra som intervallet ]0, +∞[. Nu bildar vi snittet av intervallen:

   $$]-\mathrm{\infty },2[\cap ]0,+\mathrm{\infty }[=]0,2[$$

   Det är en del av lösningen på olikheten. Om du sätter in tal från det här intervallet gäller olikheten. Om vi till exempel sätter x = 1, som är ett tal i intervallet ]0, 2[, får vi olikheten $\frac{2}{1}+3>4$, vilket är 5 > 4. Nu återstår att undersöka fallet när både täljaren och nämnaren är negativa.

2. När både täljaren och nämnaren ska vara negativa löser vi olikheterna:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Vi löser snabbt olikheten 2 − x < 0 på samma sätt som förut:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   Den andra lösningen är återigen helt enkelt x < 0. Vi skriver dem som intervall: ]2, +∞[ och ]−∞, 0[, och bildar snittet:

   $$]2,+\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty },0[=\mathrm{\varnothing }$$

   Vi fick den tomma mängden. Vad betyder det? Att bråket $\frac{2-x}{x}$ aldrig kan ha både negativ täljare och negativ nämnare.

Till sist bildar vi unionen av de två resultaten och får lösningsmängden S:

$$S=]0,2[\cup \mathrm{\varnothing }=]0,2[$$

Olikheten $\frac{2}{x}+3>4$ gäller för alla x i intervallet ]0, 2[. Vi kan rita en graf med funktionerna $f(x)=\frac{2}{x}+3$ och g(x) = 4:

Vi ser att den röda grafen till $f(x)=\frac{2}{x}+3$ ligger ovanför den blå grafen till g(x) = 4 precis i intervallet ]0, 2[.

Linjära olikheter med absolutbelopp

Olikheter som innehåller absolutbelopp är lite mer besvärliga. Du måste nämligen räkna separat för fallet när uttrycket i absolutbeloppet är positivt, så att tecknet inte ändras, och för fallet när uttrycket är negativt, så att tecknet ändras. Det blir i princip två olikheter i en. Så här ser ett enkelt exempel ut:

$$|x+5|<12$$

Allra först måste vi bestämma nollstället, alltså det tal som gör att hela uttrycket i absolutbeloppet blir noll. Det används för att bestämma intervallen där tecknet ändras och där det inte ändras. Först löser vi alltså ekvationen

$$x+5=0$$

Vi ser att lösningen är x = −5. Det här resultatet delar upp värdena på x i två intervall. I det ena är funktionen x + 5 positiv och i det andra negativ. I intervallet ]−∞, −5[ får vi alltså negativa tal och i intervallet [−5, +∞[ positiva, eller närmare bestämt icke-negativa. Som exempel står på första raden ett tal från det första intervallet och på andra raden ett från det andra:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Vad säger det oss? Att om vi sätter in ett värde på x som är större än minus fem ändrar absolutbeloppet inte resultatet, eftersom x + 5 är ett positivt tal. Om värdet på x däremot är mindre än minus fem blir resultatet av x + 5 negativt, och absolutbeloppet gör det positivt. Därför måste vi skilja på de här två fallen i olikheten.

Först räknar vi ut resultatet när vi tar x från intervallet [−5, +∞[. Då ändras inte tecknet, eftersom vi bara tar bort absolutbeloppet.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & ]-\mathrm{\infty },7[\end{array}$$

Nästan klart med första lösningen. Vi måste nämligen också bilda snittet med det intervall som vi just nu väljer x från. Vi rör oss i intervallet [−5, +∞[, så lösningen på den här linjära olikheten kan till exempel inte vara x = −15, eftersom det inte ligger i vårt intervall. Vi måste alltså bilda snittet:

$$[-5,+\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty },7[=[-5,7[$$

Det är det första resultatet. Nu måste vi räkna ut resultatet när vi tar x från intervallet ]−∞, −5[. I det här intervallet byter absolutbeloppet tecken. Om vi vill ta bort absolutbeloppet från olikheten måste vi alltså själva ordna teckenbytet, dvs. multiplicera uttrycket i absolutbeloppet med −1, så att uttrycket byter tecken. Vi skriver om det så här:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Vi adderar 5 till olikheten:

$$-x<17$$

Och multiplicerar med −1:

$$x>-17$$

Vi får alltså resultatet:

$$x\in ]-17,+\mathrm{\infty }[$$

Men precis som förut väljer vi värdet på x från intervallet ]−∞, −5[, så vi måste också bilda snittet av det intervallet och vårt resultat:

$$]-17,+\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty },-5[=]-17,-5[$$

Nu har vi båda resultaten, och vi bildar bara unionen av dem:

$$x\in [-5,7[\cup ]-17,-5[=]-17,7[$$

För att kontrollera kan vi titta på graferna till de här funktionerna:

Några ord till om när du ska använda ett slutet och när ett öppet intervall. Om vi har en strikt olikhet, t.ex. x>0, använder vi ett öppet intervall, eftersom x inte kan vara lika med noll. Om vi inte har en strikt olikhet, x ≥ 0, använder vi ett slutet intervall, eftersom x får vara lika med noll. Om du till exempel sätter in x = 7 i olikheten som vi nyss löste, ett tal som ”precis” inte ingår i lösningen, får du:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

Olikheten gäller inte, 12 är inte mindre än 12.