Transformări echivalente ale inecuațiilor

Când transformăm inecuațiile, folosim transformări echivalente, care se caracterizează prin faptul că nu schimbă validitatea inecuației. Scopul transformărilor echivalente este să aducem inecuația la o formă mai simplă, din care putem calcula deja soluția inecuației.

Ce este o inecuație

Se dau două funcții f(x) și g(x). Prin inecuație înțelegem atunci expresii de una dintre aceste forme:

$$\begin{array}{rcl}f(x)<g(x),& & f(x)>g(x)\\ f(x)\le g(x),& & f(x)\ge g(x)\end{array}$$

Soluțiile inecuației sunt toate valorile x din (de obicei) mulțimea numerelor reale pentru care inecuația este satisfăcută. Un exemplu de inecuație: 6x<12. Aici f(x) = 6x și g(x) = 12. 6x este membrul stâng al inecuației, 12 este membrul drept. Soluțiile acestei inecuații sunt toate valorile x mai mici decât doi: x<2. Adică intervalul (−∞, 2).

Schimbarea membrilor cu schimbarea semnului

La ecuații puteam schimba fără grijă membrul drept cu cel stâng. La inecuații nu putem face asta. De exemplu, avem inecuația x<5; nu poate avea loc în același timp 5 < x. În primul caz x este mai mic decât cinci, în al doilea x este mai mare decât cinci. Totuși, dacă odată cu schimbarea membrilor schimbăm și sensul semnului inegalității, vorbim deja de transformări echivalente.

Dacă avem deci inecuația f(x) < g(x), putem scrie și g(x) > f(x). Am schimbat membrii, dar în același timp am scris > în loc de <. În mod asemănător pentru „mai mic sau egal”: inecuația f(x) ≤ g(x) o putem transforma în g(x) ≥ f(x).

Adunarea unei expresii

La o inecuație putem aduna un număr sau o funcție definită pe aceeași mulțime pe care rezolvăm inecuația. Exemplu: avem inecuația x>0. La această inecuație putem aduna, de exemplu, numărul trei. Obținem inecuația x + 3>3. Are logică.

Similar, putem aduna o funcție întreagă. Dacă avem inecuația x > −3x + 7, putem aduna la inecuație 3x și obținem:

$$\begin{array}{rcl}x& >& -3x+7/+3x\\ x+3x& >& -3x+3x+7\\ 4x& >& 7\end{array}$$

Expresia o putem, bineînțeles, și scădea — adică putem aduna un număr negativ.

Înmulțirea inecuației cu o expresie pozitivă

Inecuația nu o mai putem înmulți pur și simplu cu o expresie oarecare, așa cum puteam face la ecuații. Dacă înmulțim cu o expresie care este întotdeauna pozitivă, e în regulă. Dar dacă înmulțim cu o expresie negativă, trebuie să schimbăm sensul semnului (vezi capitolul următor). Desigur, la fel ca la ecuații, nu avem voie să înmulțim cu o expresie nulă!

Ce înseamnă o expresie întotdeauna pozitivă? Cea mai simplă expresie întotdeauna pozitivă este un număr pozitiv. Deci, dacă avem inecuația x>2, o putem înmulți cu zece, care este un număr pozitiv, iar validitatea inecuației nu se schimbă. Obținem inecuația 10x>20. Desigur, putem și împărți la un număr pozitiv, deci din această inecuație transformată putem obține, împărțind la cinci, inecuația 2x>4.

Nu putem însă înmulți inecuația pur și simplu cu variabila x, pentru că, în general, variabila x poate lua atât valori pozitive, cât și negative, iar asta nu este admisibil. Există însă situații în care x va fi mereu pozitiv. De exemplu, dacă rezolvăm o problemă de geometrie, este posibil ca variabila x să reprezinte lungimea unui segment. Lungimea nu poate fi negativă (în cel mai rău caz este nulă), deci, dacă știm că x va fi egal cu lungimea unui segment, putem înmulți inecuația cu variabila x.

O altă expresie întotdeauna nenegativă este pătratul. Dacă ridici un număr la pătrat, rezultatul va fi pozitiv (sau nul). Deci, dacă avem inecuația

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

o putem înmulți cu expresia x². Obținem: 1>2x². Desigur, cu condiția ca x să nu fie egal cu zero. Există mai multe funcții care sunt întotdeauna pozitive. Funcțiile trigonometrice sinus și cosinus au ca imagine mulțimea [−1, 1]. Aceasta nu este întotdeauna pozitivă. Dar dacă adunăm 2 la ele, obținem imaginea [1, 3], care este deja un interval pozitiv. Cu o astfel de funcție am putea înmulți inecuația. Deci, dacă am avea inecuația

$$\frac{x+3}{\cos (x)+3}\le 3x-5,$$

o putem înmulți în întregime cu expresia cos(x) + 3, pentru că aceasta este o funcție întotdeauna pozitivă. Obținem:

$$x+3\le (3x-5)(\cos (x)+3).$$

Înmulțirea inecuației cu o expresie întotdeauna negativă

Cu numerele și expresiile negative situația este deja mai complicată. Privește un exemplu: 1<2. Această inegalitate este cu siguranță adevărată. Ce se întâmplă dacă înmulțim întreaga inecuație cu minus unu? Obținem −1<−2. Este adevărată această inecuație? Nu este, minus doi este mai mic decât minus unu. Înmulțirea cu un număr negativ nu este, evident, o transformare echivalentă a inecuației.

Totuși, dacă la înmulțirea cu un număr negativ schimbăm în același timp sensul semnului inegalității, va fi deja o transformare echivalentă. Dacă înmulțim inecuația 1<2 cu −1 și în același timp scriem > în loc de <, efectuăm o transformare echivalentă și obținem inecuația −1>−2.

Înmulțirea cu numere negative este simplă, mai rău este la înmulțirea cu expresii (funcții). De ce nu putem înmulți inecuația cu variabila x? Pentru că, dacă variabila ar lua valori pozitive, semnul nu s-ar schimba. Dacă ar lua valori negative, ar trebui să schimbăm semnul. În general pot apărea ambele cazuri; dacă x nu este limitat în niciun fel, variabila poate fi atât negativă, cât și pozitivă. Exemplu:

$$\frac{1}{x}>1$$

Ar fi o greșeală să înmulțim inecuația cu variabila x. Am obține 1>x, adică soluțiile ar fi toate valorile x mai mici decât unu (desigur, cu condiția suplimentară ca x să fie diferit de zero). Dar ce se întâmplă dacă în inecuația inițială înlocuim pe x cu numărul −1? Obținem:

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{-1}& >& 1\\ -1& >& 1\end{array}$$

ceea ce cu siguranță nu este adevărat. De aceea nu putem înmulți inecuația pur și simplu cu variabila x.

Totuși, așa cum în capitolul precedent am avut expresii care sunt întotdeauna pozitive, putem avea expresii care sunt întotdeauna negative. Le obținem cel mai simplu punând semnul minus în fața unei expresii întotdeauna pozitive. În capitolul precedent am văzut că funcția cos(x) + 3 este întotdeauna pozitivă. Dacă punem minus în fața întregii expresii, obținem o funcție întotdeauna negativă: −(cos(x) + 3).

Ridicarea inecuației la o putere naturală și extragerea radicalului de ordin natural

Ridicarea la putere a unei inecuații nu este, în general, o transformare echivalentă, la fel ca la ecuații. Privește următoarea inecuație: x>−2. Ce se întâmplă dacă o ridicăm la pătrat? Obținem: x²>4. Este o inecuație echivalentă? Ce se întâmplă dacă în ambele inecuații înlocuim pe x cu zero? În primul caz avem 0>−2, ceea ce este adevărat. În al doilea caz avem 0>4, ceea ce nu este adevărat. Deci nu am efectuat o transformare echivalentă.

Când putem ridica o inecuație la o putere naturală? Dacă ambii membri sunt nenegativi (pozitivi sau nuli). Atunci nu mai apar probleme. Exemplu:

$$\begin{array}{rcl}5& >& 2{/}^2\\ 25& >& 4\end{array}$$

Un alt exemplu poate fi modulul, care ne dă un număr nenegativ. Putem deci ridica fără grijă la pătrat această inecuație:

$$\begin{array}{rcl}|x|& <& 3{/}^2\\ |x{|}^2& <& 9\end{array}$$

Exact ca puterea se comportă și radicalul. Dacă ambii membri sunt nenegativi, putem extrage din inecuație un radical de ordin natural. Deci inecuația precedentă o putem aduce frumos înapoi la forma inițială, extrăgând radicalul:

$$\begin{array}{rcl}|x{|}^2& <& 9/\sqrt{}\\ |x|& <& 3\end{array}$$

Eliminarea expresiilor inutile

Adesea rezolvăm o inecuație de forma f(x)>0. În acest caz se întâmplă ca funcția f să fie complicată și să poată fi simplificată prin eliminarea unor expresii. Privește următoarea inecuație: 2x>0. Această inecuație are evident soluție când x>0. Dacă x este negativ, atunci și 2x este negativ. Dacă înmulțim un număr negativ cu doi, numărul rămâne negativ. Factorul 2 nu are puterea să schimbe, prin înmulțire, semnul expresiei următoare.

Putem încerca să rezolvăm și inecuațiile 5x>0, 157x>0 și π x>0. În toate cazurile soluția va fi aceeași, x>0. Un coeficient pozitiv în fața lui x nu schimbă în niciun fel validitatea inecuației.

Formal, scăpăm de acești coeficienți împărțind inecuația la coeficientul dat, astfel:

$$\begin{array}{rcl}2x& >& 0/:2\\ x& >& 0\end{array}$$

Atenție: pentru a putea elimina un coeficient pozitiv, să-l notăm a, acesta trebuie neapărat să înmulțească întregul membru stâng. Nu putem elimina factorul 2 din această inecuație: 2x + 7>0, pentru că 2 nu înmulțește întregul membru stâng. Putem însă împărți întreaga inecuație la doi și obținem inecuația x + 3,5>0.

Similar, acest exemplu:

$$x^2\cdot (x-3)>0$$

Poate că pare complicat, dar expresia x² este întotdeauna nenegativă, deci nu ne schimbă semnul parantezei următoare. Această expresie o putem deci elimina din inecuație — împărțim inecuația la x² și obținem:

$$x-3>0$$

Trebuie doar să adăugăm condiția x² ≠ 0, pentru că nu putem împărți la zero. Totuși, x² este nul doar când x este nul, iar pentru x = 0 inegalitatea nu este satisfăcută. Obținem într-adevăr (x = 0): 0(0 − 3)>0, iar 0>0 nu este adevărat.

Aceasta nu este o metodă specială, ci doar o aplicare ingenioasă a punctului precedent despre înmulțirea și împărțirea cu o expresie pozitivă.