Principi di equivalenza delle disequazioni
Quando trasformiamo le disequazioni usiamo i principi di equivalenza, che si distinguono perché non cambiano la validità della disequazione. Lo scopo dei principi di equivalenza è portare la disequazione in una forma più semplice, dalla quale possiamo già calcolare il risultato.
Che cos’è una disequazione
Date due funzioni f(x) e g(x), per disequazione intendiamo le espressioni in una di queste forme:
La soluzione della disequazione è costituita da tutti gli x dell’insieme (di solito) dei numeri reali per i quali la disequazione è verificata. Un esempio di disequazione: 6x<12. Qui vale f(x) = 6x e g(x) = 12. 6x è il primo membro della disequazione, 12 è il secondo membro. La soluzione di questa disequazione sono tutti gli x minori di due: x<2. Cioè l’intervallo (−∞; 2).
Scambio dei membri con cambio del verso
Nelle equazioni potevamo scambiare senza timore il secondo membro con il primo. Nelle disequazioni questo non possiamo farlo. Per esempio, se abbiamo la disequazione x<5, non può valere anche 5 < x. Nel primo caso x è minore di cinque, nel secondo x è maggiore di cinque. Tuttavia, se insieme allo scambio dei membri cambiamo anche il verso della disuguaglianza, si tratta di un principio di equivalenza.
Se quindi abbiamo la disequazione f(x) < g(x), possiamo scrivere anche g(x) > f(x). Abbiamo scambiato i membri, ma allo stesso tempo abbiamo scritto > al posto di <. Analogamente per minore o uguale: la disequazione f(x) ≤ g(x) possiamo trasformarla in g(x) ≥ f(x).
Addizione di un’espressione
Alla disequazione possiamo sommare un numero o una funzione definita nello stesso insieme in cui risolviamo la disequazione. Esempio: abbiamo la disequazione x>0. A questa disequazione possiamo sommare per esempio il numero tre. Otteniamo la disequazione x + 3>3. Ha una sua logica.
Allo stesso modo possiamo sommare un’intera funzione. Se abbiamo la disequazione x > −3x + 7, possiamo sommarle 3x e otteniamo:
Naturalmente possiamo anche sottrarre un’espressione – cioè possiamo sommare un numero negativo.
Moltiplicazione della disequazione per un’espressione positiva
La disequazione, invece, non possiamo moltiplicarla per un’espressione qualsiasi, come potevamo fare con le equazioni. Vale che, se moltiplichiamo per un’espressione sempre positiva, va tutto bene. Ma se moltiplichiamo per un’espressione negativa, dobbiamo cambiare il verso (vedi il capitolo seguente). Naturalmente, come per le equazioni, non dobbiamo moltiplicare per un’espressione nulla!
Che cosa significa espressione sempre positiva? L’espressione più semplice che è sempre positiva è un numero positivo. Quindi, se abbiamo la disequazione x>2, possiamo moltiplicarla per dieci, che è un numero positivo, e la validità della disequazione non cambia. Otteniamo la disequazione 10x>20. Naturalmente possiamo anche dividere per un numero positivo, quindi da questa disequazione trasformata, dividendo per cinque, possiamo ottenere la disequazione 2x>4.
Non possiamo però moltiplicare la disequazione semplicemente per la variabile x, perché in generale la variabile x può assumere sia valori positivi sia negativi, e questo non è ammissibile. Esistono però situazioni in cui x sarà sempre positivo. Per esempio, se risolviamo un problema di geometria, è possibile che la variabile x rappresenti la lunghezza di un segmento. Una lunghezza non può essere negativa (al massimo nulla), quindi, se sappiamo che x sarà uguale alla lunghezza di un segmento, possiamo moltiplicare la disequazione per la variabile x.
Un’altra espressione sempre non negativa è il quadrato. Se elevi un numero al quadrato, sarà positivo (o nullo). Quindi, se abbiamo la disequazione
possiamo moltiplicarla per l’espressione x2. Otteniamo: 1>2x2. Naturalmente a condizione che x non sia uguale a zero. Esistono più funzioni che sono sempre positive. Le funzioni goniometriche seno e coseno hanno come insieme immagine l’insieme [−1; 1]. Questo non è sempre positivo. Ma se a esse sommiamo due, otteniamo l’insieme immagine [1; 3], che è ormai un intervallo di numeri positivi. Potremmo moltiplicare la disequazione per una funzione del genere. Quindi, se avessimo la disequazione
possiamo moltiplicarla tutta per l’espressione cos(x) + 3, perché è una funzione sempre positiva. Otteniamo:
Moltiplicazione della disequazione per un’espressione sempre negativa
Con i numeri e le espressioni negativi la situazione si complica. Guarda un esempio: 1<2. Questa disuguaglianza vale certamente. Che cosa succede se moltiplichiamo tutta la disuguaglianza per meno uno? Otteniamo −1<−2. Vale questa disuguaglianza? Non vale, meno due è minore di meno uno. La moltiplicazione per un numero negativo evidentemente non è un principio di equivalenza per la disequazione.
Tuttavia, se moltiplicando per un numero negativo cambiamo anche il verso della disuguaglianza, sarà una trasformazione equivalente. Se moltiplichiamo la disuguaglianza 1<2 per −1 e allo stesso tempo scriviamo > al posto di <, eseguiamo una trasformazione equivalente e otteniamo la disuguaglianza −1>−2.
Moltiplicare per numeri negativi è semplice, la situazione è peggiore con la moltiplicazione per espressioni (funzioni). Perché non possiamo moltiplicare la disequazione per la variabile x? Perché, se la variabile assumesse valori positivi, il verso non cambierebbe. Se assumesse valori negativi, dovremmo cambiare il verso. In generale possono verificarsi entrambi i casi: se non abbiamo limitato x in alcun modo, la variabile può essere sia negativa sia positiva. Esempio:
Un procedimento sbagliato sarebbe moltiplicare la disequazione per la variabile x. Otterremmo infatti 1>x, cioè la soluzione sarebbero tutti gli x minori di uno (naturalmente ancora con la condizione che x sia diverso da zero). Ma che cosa succede se nella disequazione iniziale sostituiamo a x il numero −1? Otteniamo:
che certamente non è vero. Perciò non possiamo moltiplicare la disequazione semplicemente per la variabile x.
Tuttavia, così come nel capitolo precedente avevamo espressioni sempre positive, possiamo avere espressioni sempre negative. Le otteniamo nel modo più semplice mettendo il segno meno davanti a un’espressione sempre positiva. Nel capitolo precedente abbiamo visto che la funzione cos(x) + 3 è sempre positiva. Se mettiamo il meno davanti a tutta l’espressione, otteniamo una funzione sempre negativa: −(cos(x) + 3).
Elevamento a potenza ed estrazione di radice con esponente naturale
L’elevamento a potenza di una disequazione in generale non è un principio di equivalenza, come per le equazioni. Guarda la disequazione seguente: x>−2. Che cosa succede se la eleviamo al quadrato? Otteniamo: x2>4. È una disequazione equivalente? Che cosa succede se in entrambe le disequazioni sostituiamo a x zero? Nel primo caso abbiamo 0>−2, che è vero. Nel secondo caso abbiamo 0>4, che non è vero. Non abbiamo quindi eseguito una trasformazione equivalente.
Quando possiamo elevare la disequazione a una potenza con esponente naturale? Se entrambi i membri sono non negativi (positivi o nulli). Allora andrà tutto senza problemi. Esempio:
Un altro esempio può essere il valore assoluto, che ci restituisce un numero non negativo. Quindi questa disequazione possiamo elevarla al quadrato senza timore:
Esattamente come la potenza si comporta anche la radice. Se entrambi i membri sono non negativi, possiamo estrarre la radice della disequazione con un indice naturale. Quindi la disequazione precedente possiamo benissimo riportarla indietro alla forma iniziale:
Eliminazione di espressioni superflue
Spesso risolviamo una disequazione della forma f(x)>0. In tal caso accade che la funzione f sia complicata e si possa semplificare eliminando alcune espressioni. Guarda la disequazione seguente: 2x>0. Questa disequazione ha evidentemente soluzione quando x>0. Se x è negativo, è negativo anche 2x. Se moltiplichiamo per due un numero negativo, il numero rimane negativo. Il due non ha la forza di cambiare, dopo la moltiplicazione, il segno dell’espressione che segue.
Possiamo provare a risolvere anche le disequazioni 5x>0, 157x>0 e π x>0. In tutti i casi la soluzione sarà la stessa, x>0. Un coefficiente positivo davanti a x non cambia in alcun modo la validità della disequazione.
Formalmente ci liberiamo di questi coefficienti dividendo la disequazione per il coefficiente dato, così:
Attenzione: per poter eliminare un coefficiente positivo, indichiamolo con a, esso deve necessariamente moltiplicare tutto il primo membro. Non possiamo eliminare il due da questa disequazione: 2x + 7>0, perché il due non moltiplica tutto il primo membro. Possiamo però dividere tutta la disequazione per due e otteniamo la disequazione x + 3,5>0.
Allo stesso modo questo esempio:
Forse sembra complicato, ma l’espressione x2 è sempre non negativa, quindi non ci cambia il segno della parentesi seguente. Questa espressione possiamo quindi eliminarla dalla disequazione – dividiamo la disequazione per x2 e otteniamo:
Dobbiamo solo aggiungere la condizione x2 ≠ 0, perché non possiamo dividere per zero. Tuttavia x2 è nullo solo quando x è nullo e per x = 0 la disuguaglianza non è verificata. Otteniamo infatti (x = 0): 0(0 − 3)>0 e 0>0 non è vero.
Questo non è un metodo a sé, è solo una comoda applicazione del punto precedente sulla moltiplicazione e sulla divisione per un’espressione positiva.
Capitoli: Principi di equivalenza delle equazioni, Principi di equivalenza delle disequazioni
