Equivalente bewerkingen van ongelijkheden
Bij het herleiden van ongelijkheden gebruiken we equivalente bewerkingen. Die hebben als kenmerk dat ze de geldigheid van de ongelijkheid niet veranderen. Het doel van equivalente bewerkingen is om de ongelijkheid in een eenvoudigere vorm te brengen, waaruit we de oplossing van de ongelijkheid al kunnen berekenen.
Wat is een ongelijkheid
We hebben twee functies f(x) en g(x). Onder een ongelijkheid verstaan we dan uitdrukkingen in een van deze vormen:
De oplossing van een ongelijkheid bestaat uit alle x uit (meestal) de verzameling van de reële getallen waarvoor aan de ongelijkheid is voldaan. Een voorbeeld van een ongelijkheid: 6x<12. Hier geldt f(x) = 6x en g(x) = 12. 6x is de linkerkant van de ongelijkheid, 12 is de rechterkant. De oplossing van deze ongelijkheid zijn alle x die kleiner zijn dan twee: x<2. Dat is dus het interval ⟨ ← , 2⟩.
Kanten verwisselen met omdraaien van het teken
Bij vergelijkingen mochten we zonder zorgen de rechterkant en de linkerkant verwisselen. Bij ongelijkheden kunnen we dat niet doen. Als we bijvoorbeeld de ongelijkheid x<5 hebben, kan niet tegelijk gelden 5 < x. In het eerste geval is x kleiner dan vijf, in het tweede geval is x groter dan vijf. Als we met het verwisselen van de kanten echter ook het ongelijkheidsteken omdraaien, is het wel een equivalente bewerking.
Als we dus de ongelijkheid f(x) < g(x) hebben, kunnen we ook schrijven g(x) > f(x). We hebben de kanten verwisseld, maar tegelijk in plaats van < het teken > geschreven. Op dezelfde manier bij kleiner dan of gelijk aan: de ongelijkheid f(x) ≤ g(x) kunnen we herleiden tot g(x) ≥ f(x).
Een uitdrukking optellen
Bij een ongelijkheid kunnen we een getal of een functie optellen die gedefinieerd is op dezelfde verzameling waarin we de ongelijkheid oplossen. Een voorbeeld: we hebben de ongelijkheid x>0. Bij deze ongelijkheid kunnen we bijvoorbeeld het getal drie optellen. We krijgen de ongelijkheid x + 3>3. Dat is logisch.
Op dezelfde manier kunnen we een hele functie optellen. Als we de ongelijkheid x > −3x + 7 hebben, kunnen we bij de ongelijkheid 3x optellen en krijgen we:
Een uitdrukking kunnen we vanzelfsprekend ook aftrekken, oftewel we kunnen een negatief getal optellen.
De ongelijkheid met een positieve uitdrukking vermenigvuldigen
Een ongelijkheid kunnen we niet zomaar met een uitdrukking vermenigvuldigen, zoals we dat bij vergelijkingen konden. Als we vermenigvuldigen met een uitdrukking die altijd positief is, is dat prima. Maar als we met een negatieve uitdrukking vermenigvuldigen, moeten we het ongelijkheidsteken omdraaien (zie het volgende onderdeel). Net als bij vergelijkingen mogen we natuurlijk niet met een uitdrukking vermenigvuldigen die nul is!
Wat betekent altijd positieve uitdrukking? De eenvoudigste uitdrukking die altijd positief is, is een positief getal. Als we dus de ongelijkheid x>2 hebben, kunnen we die met tien vermenigvuldigen, een positief getal, en de geldigheid van de ongelijkheid verandert niet. We krijgen de ongelijkheid 10x>20. We kunnen natuurlijk ook door een positief getal delen, dus uit deze herleide ongelijkheid kunnen we door te delen door vijf de ongelijkheid 2x>4 krijgen.
We kunnen de ongelijkheid echter niet zomaar met de variabele x vermenigvuldigen, want in het algemeen kan de variabele x zowel positieve als negatieve waarden aannemen en dat is niet toegestaan. Er zijn wel situaties waarin x altijd positief is. Als we bijvoorbeeld een meetkundige opgave uitrekenen, is het mogelijk dat de variabele x de lengte van een lijnstuk voorstelt. Een lengte kan niet negatief zijn (hooguit nul), dus als we weten dat x gelijk is aan de lengte van een lijnstuk, mogen we de ongelijkheid met de variabele x vermenigvuldigen.
Een andere altijd niet-negatieve uitdrukking is een kwadraat. Als je een getal kwadrateert, is het positief (of nul). Als we dus de ongelijkheid
hebben, kunnen we die met de uitdrukking x2 vermenigvuldigen. We krijgen: 1>2x2. Natuurlijk onder de voorwaarde dat x niet gelijk is aan nul. Er zijn meer functies die altijd positief zijn. De goniometrische functies sinus en cosinus hebben als bereik de verzameling [−1, 1]. Dat is niet altijd positief. Maar als we er twee bij optellen, krijgen we het bereik [1, 3], en dat is wel een positief interval. Met zo'n functie zouden we de ongelijkheid kunnen vermenigvuldigen. Als we dus de ongelijkheid
hadden, kunnen we die helemaal met de uitdrukking cos(x) + 3 vermenigvuldigen, omdat dat altijd een positieve functie is. We krijgen:
De ongelijkheid met een altijd negatieve uitdrukking vermenigvuldigen
Met negatieve getallen en uitdrukkingen is de situatie ingewikkelder. Bekijk dit voorbeeld: 1<2. Deze ongelijkheid klopt zeker. Wat als we de hele ongelijkheid met min één vermenigvuldigen? We krijgen −1<−2. Klopt deze ongelijkheid? Nee, min twee is kleiner dan min één. Vermenigvuldigen met een negatief getal is dus duidelijk geen equivalente bewerking van een ongelijkheid.
Als we bij het vermenigvuldigen met een negatief getal echter tegelijk het ongelijkheidsteken omdraaien, is het wel een equivalente bewerking. Als we de ongelijkheid 1<2 met −1 vermenigvuldigen en tegelijk in plaats van < het teken > schrijven, voeren we een equivalente bewerking uit en krijgen we de ongelijkheid −1>−2.
Vermenigvuldigen met negatieve getallen is eenvoudig, lastiger wordt het bij het vermenigvuldigen met uitdrukkingen (functies). Waarom kunnen we de ongelijkheid niet met de variabele x vermenigvuldigen? Omdat het teken niet zou veranderen als de variabele positieve waarden aanneemt. Als de variabele negatieve waarden aanneemt, zouden we het teken moeten omdraaien. In het algemeen kunnen beide gevallen voorkomen: als x op geen enkele manier beperkt is, kan de variabele zowel negatief als positief zijn. Een voorbeeld:
Een verkeerde werkwijze zou zijn om de ongelijkheid met de variabele x te vermenigvuldigen. We zouden dan namelijk 1>x krijgen, dus de oplossing zijn alle x die kleiner zijn dan één (natuurlijk nog met de voorwaarde dat x ongelijk is aan nul). Maar wat als we in de oorspronkelijke ongelijkheid voor x het getal −1 invullen? We krijgen:
en dat is zeker niet waar. Daarom kunnen we de ongelijkheid niet zomaar met de variabele x vermenigvuldigen.
Net zoals we in het vorige onderdeel uitdrukkingen hadden die altijd positief zijn, kunnen we uitdrukkingen hebben die altijd negatief zijn. Die krijgen we het eenvoudigst door een minteken voor een altijd positieve uitdrukking te zetten. In het vorige onderdeel hebben we gezien dat de functie cos(x) + 3 altijd positief is. Als we voor de hele uitdrukking een minteken zetten, krijgen we een altijd negatieve functie: −(cos(x) + 3).
Een ongelijkheid tot een natuurlijke macht verheffen en de wortel trekken
Een ongelijkheid kwadrateren is in het algemeen geen equivalente bewerking, net als bij vergelijkingen. Bekijk de volgende ongelijkheid: x>−2. Wat als we die kwadrateren? We krijgen: x2>4. Is dat een equivalente ongelijkheid? Wat gebeurt er als we in beide ongelijkheden voor x nul invullen? In het eerste geval hebben we 0>−2, en dat is waar. In het tweede geval hebben we 0>4, en dat is niet waar. We hebben dus geen equivalente bewerking uitgevoerd.
Wanneer kunnen we een ongelijkheid tot een natuurlijke macht verheffen? Als beide kanten niet-negatief zijn (positief of nul). Dan is er geen enkel probleem. Een voorbeeld:
Een ander voorbeeld kan de absolute waarde zijn, die ons een niet-negatief getal geeft. Deze ongelijkheid kunnen we dus zonder zorgen kwadrateren:
Precies hetzelfde als een macht gedraagt zich ook de wortel. Als beide kanten niet-negatief zijn, kunnen we uit de ongelijkheid een wortel trekken met een natuurlijke wortelexponent. De vorige ongelijkheid kunnen we dus weer mooi terugbrengen tot de oorspronkelijke vorm:
Overbodige uitdrukkingen weghalen
Vaak lossen we een ongelijkheid op die de vorm f(x)>0 heeft. In dat geval komt het voor dat de functie f ingewikkeld is en vereenvoudigd kan worden door enkele uitdrukkingen weg te laten. Bekijk de volgende ongelijkheid: 2x>0. Aan deze ongelijkheid is duidelijk voldaan als x>0. Als x negatief is, is ook 2x negatief. Als je een negatief getal met twee vermenigvuldigt, blijft het getal negatief. De twee heeft niet de kracht om na het vermenigvuldigen het teken van de volgende uitdrukking te veranderen.
We kunnen ook proberen de ongelijkheden 5x>0, 157x>0 en π x>0 op te lossen. In alle gevallen is de oplossing dezelfde, x>0. Een positieve coëfficiënt voor x verandert de geldigheid van de ongelijkheid niet.
Formeel raken we deze coëfficiënten kwijt door de ongelijkheid door de betreffende coëfficiënt te delen, zo:
Let op: om een positieve coëfficiënt, laten we die a noemen, te mogen weghalen, moet die noodzakelijkerwijs de hele linkerkant vermenigvuldigen. We kunnen de twee niet weghalen uit deze ongelijkheid: 2x + 7>0, omdat de twee niet de hele linkerkant vermenigvuldigt. We kunnen wel de hele ongelijkheid door twee delen en dan krijgen we de ongelijkheid x + 3,5>0.
Op dezelfde manier dit voorbeeld:
Misschien lijkt het ingewikkeld, maar de uitdrukking x2 is altijd niet-negatief, dus die verandert het teken van de volgende haakjes niet. Deze uitdrukking kunnen we dus uit de ongelijkheid weghalen: we delen de ongelijkheid door x2 en krijgen:
We moeten alleen de voorwaarde toevoegen dat x2 ≠ 0, omdat we niet door nul mogen delen. x2 is echter alleen nul als x nul is en voor x = 0 is niet aan de ongelijkheid voldaan. We krijgen namelijk (x = 0): 0(0 − 3)>0 en 0>0 is niet waar.
Dit is geen aparte methode, het is gewoon een handige toepassing van het vorige punt over vermenigvuldigen en delen met een positieve uitdrukking.
Hoofdstukken: Equivalente bewerkingen van vergelijkingen, Equivalente bewerkingen van ongelijkheden
