Ισοδύναμες μετατροπές ανισώσεων

Όταν μετασχηματίζουμε ανισώσεις, χρησιμοποιούμε ισοδύναμες μετατροπές, που χαρακτηρίζονται από το ότι δεν αλλάζουν την ισχύ της ανίσωσης. Σκοπός των ισοδύναμων μετατροπών είναι να φέρουμε την ανίσωση σε μια απλούστερη μορφή, από την οποία μπορούμε πια να υπολογίσουμε το αποτέλεσμα της ανίσωσης.

Τι είναι η ανίσωση

Έχουμε δύο συναρτήσεις f(x) και g(x). Ως ανίσωση εννοούμε τότε παραστάσεις με μία από αυτές τις μορφές:

$$\begin{array}{rcl}f(x)<g(x),& & f(x)>g(x)\\ f(x)\le g(x),& & f(x)\ge g(x)\end{array}$$

Λύσεις της ανίσωσης είναι όλα τα x από το (συνήθως) σύνολο των πραγματικών αριθμών για τα οποία ικανοποιείται η ανίσωση. Παράδειγμα ανίσωσης: 6x<12. Εδώ ισχύει f(x) = 6x και g(x) = 12. Το 6x είναι το πρώτο μέλος της ανίσωσης, το 12 είναι το δεύτερο μέλος. Λύσεις αυτής της ανίσωσης είναι όλα τα x που είναι μικρότερα από δύο: x<2. Δηλαδή το διάστημα (−∞, 2).

Εναλλαγή των μελών με αλλαγή του συμβόλου

Στις εξισώσεις μπορούσαμε άφοβα να εναλλάξουμε το δεύτερο μέλος με το πρώτο. Αυτό στις ανισώσεις δεν μπορούμε να το κάνουμε. Για παράδειγμα, αν έχουμε την ανίσωση x<5, δεν μπορεί ταυτόχρονα να ισχύει 5 < x. Στην πρώτη περίπτωση το x είναι μικρότερο από πέντε, στη δεύτερη το x είναι μεγαλύτερο από πέντε. Ωστόσο, αν μαζί με την εναλλαγή των μελών αλλάξουμε και το σύμβολο της ανισότητας, πρόκειται πια για ισοδύναμες μετατροπές.

Αν λοιπόν έχουμε την ανίσωση f(x) < g(x), μπορούμε επίσης να γράψουμε g(x) > f(x). Αλλάξαμε τα μέλη, αλλά ταυτόχρονα γράψαμε αντί για < το >. Παρόμοια για το μικρότερο ή ίσο: την ανίσωση f(x) ≤ g(x) μπορούμε να τη μετασχηματίσουμε σε g(x) ≥ f(x).

Πρόσθεση παράστασης

Στην ανίσωση μπορούμε να προσθέσουμε αριθμό ή συνάρτηση που ορίζεται στο ίδιο σύνολο στο οποίο λύνουμε την ανίσωση. Παράδειγμα: έχουμε την ανίσωση x>0. Σε αυτή την ανίσωση μπορούμε να προσθέσουμε, για παράδειγμα, τον αριθμό τρία. Παίρνουμε την ανίσωση x + 3>3. Αυτό έχει λογική.

Παρόμοια μπορούμε να προσθέσουμε ολόκληρη συνάρτηση. Αν έχουμε την ανίσωση x > −3x + 7, μπορούμε να προσθέσουμε στην ανίσωση το 3x και παίρνουμε:

$$\begin{array}{rcl}x& >& -3x+7/+3x\\ x+3x& >& -3x+3x+7\\ 4x& >& 7\end{array}$$

Την παράσταση μπορούμε φυσικά και να την αφαιρέσουμε – δηλαδή μπορούμε να προσθέσουμε αρνητικό αριθμό.

Πολλαπλασιασμός της ανίσωσης με θετική παράσταση

Την ανίσωση δεν μπορούμε πια να την πολλαπλασιάσουμε με οποιαδήποτε παράσταση έτσι απλά, όπως μπορούσαμε στις εξισώσεις. Ισχύει ότι, αν πολλαπλασιάσουμε με παράσταση που είναι πάντα θετική, δεν υπάρχει πρόβλημα. Αν όμως πολλαπλασιάσουμε με αρνητική παράσταση, πρέπει να αλλάξουμε το σύμβολο (βλέπε το επόμενο κεφάλαιο). Φυσικά, όπως και στις εξισώσεις, δεν επιτρέπεται να πολλαπλασιάσουμε με μηδενική παράσταση!

Τι σημαίνει πάντα θετική παράσταση; Η απλούστερη παράσταση που είναι πάντα θετική είναι ο θετικός αριθμός. Αν λοιπόν έχουμε την ανίσωση x>2, μπορούμε να την πολλαπλασιάσουμε με το δέκα, που είναι θετικός αριθμός, και η ισχύς της ανίσωσης δεν αλλάζει. Παίρνουμε την ανίσωση 10x>20. Φυσικά μπορούμε επίσης να διαιρέσουμε με θετικό αριθμό, οπότε από αυτή τη νέα ανίσωση μπορούμε με διαίρεση με το πέντε να πάρουμε την ανίσωση 2x>4.

Δεν μπορούμε όμως να πολλαπλασιάσουμε την ανίσωση απλά με τη μεταβλητή x, επειδή γενικά η μεταβλητή x μπορεί να παίρνει και θετικές και αρνητικές τιμές και αυτό είναι απαράδεκτο. Υπάρχουν όμως καταστάσεις όπου το x θα είναι πάντα θετικό. Για παράδειγμα, αν λύνουμε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα, είναι πιθανό η μεταβλητή x να παριστάνει το μήκος κάποιου ευθυγράμμου τμήματος. Το μήκος δεν μπορεί να είναι αρνητικό (το πολύ μηδενικό), οπότε αν ξέρουμε ότι το x θα είναι ίσο με το μήκος κάποιου ευθυγράμμου τμήματος, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε την ανίσωση με τη μεταβλητή x.

Μια άλλη πάντα μη αρνητική παράσταση είναι το τετράγωνο. Αν υψώσεις κάποιον αριθμό στο τετράγωνο, θα είναι θετικός (ή μηδέν). Αν λοιπόν έχουμε την ανίσωση

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

μπορούμε να την πολλαπλασιάσουμε με την παράσταση x². Παίρνουμε: 1>2x². Φυσικά με τον περιορισμό ότι το x δεν είναι ίσο με μηδέν. Υπάρχουν περισσότερες συναρτήσεις που είναι πάντα θετικές. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο έχουν ως σύνολο τιμών το σύνολο [−1, 1]. Αυτό δεν είναι πάντα θετικό. Αν όμως τους προσθέσουμε το δύο, παίρνουμε σύνολο τιμών [1, 3], που είναι πια θετικό διάστημα. Με μια τέτοια συνάρτηση θα μπορούσαμε να πολλαπλασιάσουμε την ανίσωση. Αν λοιπόν είχαμε την ανίσωση

$$\frac{x+3}{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(x)+3}\le 3x-5,$$

μπορούμε να την πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη με την παράσταση συν(x) + 3, επειδή αυτή είναι πάντα θετική συνάρτηση. Παίρνουμε:

$$x+3\le (3x-5)(\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(x)+3).$$

Πολλαπλασιασμός της ανίσωσης με πάντα αρνητική παράσταση

Με τους αρνητικούς αριθμούς και τις αρνητικές παραστάσεις η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη. Δες ένα παράδειγμα: 1<2. Αυτή η ανισότητα σίγουρα ισχύει. Τι γίνεται αν πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την ανισότητα με το μείον ένα; Παίρνουμε −1<−2. Ισχύει αυτή η ανισότητα; Δεν ισχύει, το μείον δύο είναι μικρότερο από το μείον ένα. Ο πολλαπλασιασμός με αρνητικό αριθμό προφανώς δεν είναι ισοδύναμη μετατροπή της ανίσωσης.

Ωστόσο, αν κατά τον πολλαπλασιασμό με αρνητικό αριθμό αλλάξουμε ταυτόχρονα το σύμβολο της ανισότητας, θα είναι πια ισοδύναμη μετατροπή. Αν την ανισότητα 1<2 την πολλαπλασιάσουμε με −1 και ταυτόχρονα γράψουμε αντί για < το >, κάνουμε ισοδύναμη μετατροπή και παίρνουμε την ανισότητα −1>−2.

Ο πολλαπλασιασμός με αρνητικούς αριθμούς είναι απλός, χειρότερη είναι η κατάσταση στον πολλαπλασιασμό με παραστάσεις (συναρτήσεις). Γιατί δεν μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε την ανίσωση με τη μεταβλητή x; Επειδή αν η μεταβλητή έπαιρνε θετικές τιμές, το σύμβολο δεν θα άλλαζε. Αν έπαιρνε αρνητικές τιμές, θα έπρεπε να αλλάξουμε το σύμβολο. Γενικά μπορούν να συμβούν και οι δύο περιπτώσεις, αν δεν έχουμε το x περιορισμένο με κάποιον τρόπο, η μεταβλητή μπορεί να είναι και αρνητική και θετική. Παράδειγμα:

$$\frac{1}{x}>1$$

Λάθος διαδικασία θα ήταν να πολλαπλασιάσουμε την ανίσωση με τη μεταβλητή x. Θα παίρναμε δηλαδή 1>x, άρα λύσεις είναι όλα τα x που είναι μικρότερα από ένα (φυσικά ακόμα με τον περιορισμό ότι το x είναι διάφορο του μηδενός). Τι γίνεται όμως αν στην αρχική ανίσωση αντικαταστήσουμε στο x τον αριθμό −1; Παίρνουμε:

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{-1}& >& 1\\ -1& >& 1\end{array}$$

κάτι που σίγουρα δεν είναι αλήθεια. Γι' αυτό δεν μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε την ανίσωση με τη μεταβλητή x έτσι απλά.

Ωστόσο, όπως στο προηγούμενο κεφάλαιο είχαμε παραστάσεις που είναι πάντα θετικές, μπορούμε να έχουμε παραστάσεις που είναι πάντα αρνητικές. Τις παίρνουμε πολύ εύκολα αν βάλουμε ένα μείον μπροστά από πάντα θετική παράσταση. Στο προηγούμενο κεφάλαιο είπαμε ότι η συνάρτηση συν(x) + 3 είναι πάντα θετική. Αν βάλουμε μείον μπροστά από ολόκληρη την παράσταση, παίρνουμε πάντα αρνητική συνάρτηση: −(συν(x) + 3).

Ύψωση σε δύναμη και εξαγωγή ρίζας της ανίσωσης με φυσικό αριθμό

Η ύψωση της ανίσωσης σε δύναμη γενικά δεν είναι ισοδύναμη μετατροπή, όπως και στις εξισώσεις. Δες την ακόλουθη ανίσωση: x>−2. Τι γίνεται αν την υψώσουμε στο τετράγωνο; Παίρνουμε: x²>4. Είναι ισοδύναμη ανίσωση; Τι συμβαίνει αν αντικαταστήσουμε και στις δύο ανισώσεις το x με μηδέν; Στην πρώτη περίπτωση έχουμε 0>−2, που είναι αλήθεια. Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε 0>4, που δεν είναι αλήθεια. Δεν κάναμε λοιπόν ισοδύναμη μετατροπή.

Πότε μπορούμε να υψώσουμε την ανίσωση σε δύναμη με φυσικό εκθέτη; Αν και τα δύο μέλη είναι μη αρνητικά (θετικά ή μηδέν). Τότε δεν θα υπάρχει πρόβλημα. Ένα παράδειγμα:

$$\begin{array}{rcl}5& >& 2{/}^2\\ 25& >& 4\end{array}$$

Ένα άλλο παράδειγμα μπορεί να είναι η απόλυτη τιμή, που μας δίνει μη αρνητικό αριθμό. Αυτή την ανίσωση μπορούμε λοιπόν άφοβα να την υψώσουμε στο τετράγωνο:

$$\begin{array}{rcl}|x|& <& 3{/}^2\\ |x{|}^2& <& 9\end{array}$$

Ακριβώς όπως η δύναμη συμπεριφέρεται και η ρίζα. Αν και τα δύο μέλη είναι μη αρνητικά, μπορούμε να πάρουμε ρίζα της ανίσωσης με φυσικό δείκτη. Την προηγούμενη ανίσωση μπορούμε λοιπόν πάλι ωραία να την επαναφέρουμε στην αρχική μορφή με εξαγωγή ρίζας:

$$\begin{array}{rcl}|x{|}^2& <& 9/\sqrt{}\\ |x|& <& 3\end{array}$$

Απαλοιφή περιττών παραστάσεων

Συχνά λύνουμε ανίσωση που έχει τη μορφή f(x)>0. Σε μια τέτοια περίπτωση συμβαίνει η συνάρτηση f να είναι περίπλοκη και να μπορεί να απλοποιηθεί παραλείποντας κάποιες παραστάσεις. Δες την ακόλουθη ανίσωση: 2x>0. Αυτή η ανίσωση έχει προφανώς λύση όταν x>0. Αν το x είναι αρνητικό, τότε είναι αρνητικό και το 2x. Αν πολλαπλασιάσουμε έναν αρνητικό αριθμό με το δύο, ο αριθμός μένει αρνητικός. Το δύο δεν έχει τη δύναμη να αλλάξει, μετά τον πολλαπλασιασμό, το πρόσημο της επόμενης παράστασης.

Μπορούμε ακόμα να δοκιμάσουμε να λύσουμε τις ανισώσεις 5x>0, 157x>0 και π x>0. Σε όλες τις περιπτώσεις η λύση θα είναι η ίδια, x>0. Ο θετικός συντελεστής μπροστά από το x δεν αλλάζει σε τίποτα την ισχύ της ανίσωσης.

Τυπικά απαλλασσόμαστε από αυτούς τους συντελεστές διαιρώντας την ανίσωση με τον δοσμένο συντελεστή, έτσι:

$$\begin{array}{rcl}2x& >& 0/:2\\ x& >& 0\end{array}$$

Πρόσεχε ότι, για να μπορέσουμε να απαλείψουμε θετικό συντελεστή, ας τον πούμε a, πρέπει αναγκαστικά να πολλαπλασιάζει ολόκληρο το πρώτο μέλος. Δεν μπορούμε να απαλείψουμε το δύο από αυτή την ανίσωση: 2x + 7>0, επειδή το δύο δεν πολλαπλασιάζει ολόκληρο το πρώτο μέλος. Μπορούμε όμως να διαιρέσουμε ολόκληρη την ανίσωση με το δύο και παίρνουμε την ανίσωση x + 3,5>0.

Παρόμοια αυτό το παράδειγμα:

$$x^2\cdot (x-3)>0$$

Ίσως φαίνεται περίπλοκο, ωστόσο η παράσταση x² είναι πάντα μη αρνητική, άρα δεν θα αλλάξει το πρόσημο της επόμενης παρένθεσης. Αυτή την παράσταση μπορούμε λοιπόν να την απαλείψουμε από την ανίσωση – διαιρούμε την ανίσωση με το x² και παίρνουμε:

$$x-3>0$$

Απλά πρέπει να προσθέσουμε τον περιορισμό ότι x² ≠ 0, επειδή δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν. Ωστόσο το x² είναι μηδέν μόνο όταν το x είναι μηδέν και για x = 0 η ανισότητα δεν ικανοποιείται. Παίρνουμε δηλαδή (x = 0): 0(0 − 3)>0 και το 0>0 δεν είναι αλήθεια.

Αυτή δεν είναι κάποια ιδιαίτερη μέθοδος, είναι απλά μια έξυπνη εφαρμογή του προηγούμενου σημείου για πολλαπλασιασμό και διαίρεση με θετική παράσταση.