Ekvivalente omforminger av ulikheter
Når vi omformer ulikheter, bruker vi ekvivalente omforminger, som er kjennetegnet av at de ikke endrer løsningene til ulikheten. Poenget med ekvivalente omforminger er å få ulikheten over på en enklere form, som vi kan regne ut svaret fra.
Hva er en ulikhet
Vi har gitt to funksjoner f(x) og g(x). Med en ulikhet mener vi uttrykk på en av disse formene:
Løsningen av ulikheten er alle x fra (vanligvis) mengden av reelle tall som oppfyller ulikheten. Et eksempel på en ulikhet: 6x<12. Her er f(x) = 6x og g(x) = 12. 6x er venstre side av ulikheten, 12 er høyre side. Løsningen av denne ulikheten er alle x som er mindre enn to: x<2. Det er altså intervallet ⟨ ← , 2⟩.
Bytte av sider med endring av ulikhetstegnet
Ved likninger kunne vi uten bekymring bytte høyre side med venstre. Det kan vi ikke gjøre med ulikheter. Hvis vi for eksempel har ulikheten x<5, kan det ikke samtidig gjelde at 5 < x. I det første tilfellet er x mindre enn fem, i det andre er x større enn fem. Men hvis vi bytter sidene og samtidig endrer ulikhetstegnet, er det en ekvivalent omforming.
Hvis vi har ulikheten f(x) < g(x), kan vi altså også skrive g(x) > f(x). Vi har byttet sidene, men samtidig skrevet > i stedet for <. Tilsvarende for mindre enn eller lik: Ulikheten f(x) ≤ g(x) kan vi skrive om til g(x) ≥ f(x).
Addisjon av et uttrykk
Til en ulikhet kan vi legge til et tall eller en funksjon som er definert i det samme området som vi løser ulikheten i. Eksempel: Vi har ulikheten x>0. Til denne ulikheten kan vi for eksempel legge til tallet tre. Vi får ulikheten x + 3>3. Det er logisk.
På samme måte kan vi legge til en hel funksjon. Hvis vi har ulikheten x > −3x + 7, kan vi legge til 3x og får:
Vi kan selvfølgelig også trekke fra et uttrykk — eller med andre ord legge til et negativt tall.
Multiplikasjon av ulikheten med et positivt uttrykk
Vi kan ikke lenger bare gange ulikheten med et uttrykk, slik vi kunne gjøre med likninger. Hvis vi ganger med et uttrykk som alltid er positivt, går det bra. Men hvis vi ganger med et negativt uttrykk, må vi endre ulikhetstegnet (se neste avsnitt). Og akkurat som ved likninger må vi selvfølgelig ikke gange med et uttrykk som er null!
Hva betyr et alltid positivt uttrykk? Det enkleste uttrykket som alltid er positivt, er et positivt tall. Hvis vi har ulikheten x>2, kan vi gange den med ti, som er et positivt tall, og ulikheten endrer seg ikke. Vi får ulikheten 10x>20. Selvfølgelig kan vi også dele med et positivt tall, så fra denne omformede ulikheten kan vi dele på fem og få ulikheten 2x>4.
Men vi kan ikke bare gange ulikheten med variabelen x, fordi variabelen x generelt kan ha både positive og negative verdier, og det er ikke tillatt. Det finnes likevel situasjoner der x alltid er positiv. Hvis vi for eksempel regner på en geometrioppgave, kan det hende at variabelen x står for lengden av et linjestykke. En lengde kan ikke være negativ (i verste fall null), så hvis vi vet at x er lik lengden av et linjestykke, kan vi gange ulikheten med variabelen x.
Et annet uttrykk som aldri er negativt, er et kvadrat. Hvis du kvadrerer et tall, blir det positivt (eller null). Hvis vi har ulikheten
kan vi gange den med uttrykket x2. Vi får: 1>2x2. Selvfølgelig under forutsetning av at x ikke er lik null. Det finnes flere funksjoner som alltid er positive. De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus har som verdimengde mengden [−1, 1]. Det er ikke alltid positivt. Men hvis vi legger til to, får vi verdimengden [1, 3], som er et positivt intervall. Med en slik funksjon kunne vi ganget ulikheten. Hvis vi hadde ulikheten
kan vi gange hele ulikheten med uttrykket cos(x) + 3, siden det er en alltid positiv funksjon. Vi får:
Multiplikasjon av ulikheten med et alltid negativt uttrykk
Med negative tall og uttrykk er situasjonen mer komplisert. Se på dette eksempelet: 1<2. Denne ulikheten stemmer selvfølgelig. Hva om vi ganger hele ulikheten med minus én? Vi får −1<−2. Stemmer denne ulikheten? Nei, minus to er mindre enn minus én. Multiplikasjon med et negativt tall er åpenbart ikke en ekvivalent omforming av ulikheten.
Men hvis vi samtidig med multiplikasjonen med et negativt tall endrer ulikhetstegnet, blir det en ekvivalent omforming. Hvis vi ganger ulikheten 1<2 med −1 og samtidig skriver > i stedet for <, gjør vi en ekvivalent omforming og får ulikheten −1>−2.
Å gange med negative tall er enkelt, verre er det med å gange med uttrykk (funksjoner). Hvorfor kan vi ikke gange ulikheten med variabelen x? Fordi hvis variabelen har positive verdier, skal ulikhetstegnet ikke endres. Hvis den har negative verdier, må vi endre ulikhetstegnet. Generelt kan begge tilfellene inntreffe: Hvis vi ikke har begrenset x på noen måte, kan variabelen være både negativ og positiv. Eksempel:
Det ville være en feil framgangsmåte å gange ulikheten med variabelen x. Da ville vi nemlig fått 1>x, altså at løsningen er alle x som er mindre enn én (selvfølgelig fortsatt med betingelsen at x er forskjellig fra null). Men hva om vi setter inn −1 for x i den opprinnelige ulikheten? Vi får:
og det stemmer selvfølgelig ikke. Derfor kan vi ikke bare gange ulikheten med variabelen x.
Men på samme måte som vi i forrige avsnitt hadde uttrykk som alltid er positive, kan vi ha uttrykk som alltid er negative. Enklest får vi dem ved å sette et minustegn foran et alltid positivt uttrykk. I forrige avsnitt viste vi at funksjonen cos(x) + 3 alltid er positiv. Hvis vi setter et minus foran hele uttrykket, får vi en alltid negativ funksjon: −(cos(x) + 3).
Potensering og rotuttrekking av ulikheten med et naturlig tall
Å opphøye en ulikhet i en potens er generelt ikke en ekvivalent omforming, på samme måte som for likninger. Se på følgende ulikhet: x>−2. Hva om vi kvadrerer den? Vi får: x2>4. Er det en ekvivalent ulikhet? Hva skjer hvis vi setter inn null for x i begge ulikhetene? I det første tilfellet har vi 0>−2, som stemmer. I det andre tilfellet har vi 0>4, som ikke stemmer. Vi har altså ikke gjort en ekvivalent omforming.
Når kan vi opphøye en ulikhet i et naturlig tall? Hvis begge sidene er ikke-negative (positive eller null). Da går det helt fint. Et eksempel:
Et annet eksempel kan være absoluttverdien, som gir oss et ikke-negativt tall. Denne ulikheten kan vi derfor trygt kvadrere:
Roten oppfører seg helt likt som potensen. Hvis begge sidene er ikke-negative, kan vi ta den n-te roten av ulikheten for et naturlig tall n. Den forrige ulikheten kan vi altså fint ta kvadratroten av for å komme tilbake til den opprinnelige formen:
Fjerne unødvendige uttrykk
Ofte løser vi en ulikhet på formen f(x)>0. Da hender det at funksjonen f er sammensatt og kan forenkles ved å fjerne noen uttrykk. Se på følgende ulikhet: 2x>0. Denne ulikheten har åpenbart løsning når x>0. Hvis x er negativ, er også 2x negativ. Hvis vi ganger et negativt tall med to, forblir tallet negativt. To har ikke kraft til å endre fortegnet på uttrykket det ganges med.
Vi kan også prøve å løse ulikhetene 5x>0, 157x>0 og π x>0. I alle tilfellene blir løsningen den samme, x>0. En positiv koeffisient foran x endrer ikke løsningene til ulikheten.
Formelt blir vi kvitt disse koeffisientene ved å dele ulikheten på koeffisienten, slik:
Vær oppmerksom på at for å kunne fjerne en positiv koeffisient, la oss kalle den a, må den gange hele venstre side. Vi kan ikke fjerne to fra denne ulikheten: 2x + 7>0, fordi to ikke ganger hele venstre side. Men vi kan dele hele ulikheten på to og får ulikheten x + 3,5>0.
Tilsvarende i dette eksempelet:
Det kan se vanskelig ut, men uttrykket x2 er alltid ikke-negativt, så det endrer ikke fortegnet på parentesen som følger. Dette uttrykket kan vi derfor fjerne fra ulikheten — vi deler ulikheten på x2 og får:
Vi må bare legge til betingelsen x2 ≠ 0, fordi vi ikke kan dele på null. Men x2 er null bare når x er null, og for x = 0 er ulikheten ikke oppfylt. Vi får nemlig (x = 0): 0(0 − 3)>0, og 0>0 stemmer ikke.
Dette er ingen ekstra metode, bare en smart anvendelse av det forrige punktet om multiplikasjon og divisjon med et positivt uttrykk.
Kapitler: Ekvivalente omforminger av likninger, Ekvivalente omforminger av ulikheter
