Az egyenlőtlenségek ekvivalens átalakításai
Az egyenlőtlenségek átalakításakor ekvivalens átalakításokat használunk, amelyekre jellemző, hogy nem változtatják meg az egyenlőtlenség érvényességét. Az ekvivalens átalakítások célja, hogy az egyenlőtlenséget egyszerűbb alakra hozzuk, amelyből már kiszámíthatjuk az eredményt.
Mi az az egyenlőtlenség
Adott két függvény, f(x) és g(x). Egyenlőtlenségen az alábbi alakok valamelyikében felírt kifejezéseket értjük:
Az egyenlőtlenség megoldása azok az x értékek – általában a valós számok halmazából –, amelyekre az egyenlőtlenség teljesül. Példa egyenlőtlenségre: 6x<12. Itt f(x) = 6x és g(x) = 12. A 6x az egyenlőtlenség bal oldala, a 12 a jobb oldala. Ennek az egyenlőtlenségnek minden kettőnél kisebb x megoldása: x<2. Ez a ]−∞; 2[ intervallum.
Az oldalak felcserélése a jel megváltoztatásával
Az egyenleteknél gond nélkül felcserélhettük a jobb és a bal oldalt. Az egyenlőtlenségeknél ezt nem tehetjük meg. Ha például adott az x<5 egyenlőtlenség, akkor nem teljesülhet egyszerre az 5 < x is. Az első esetben az x kisebb ötnél, a másodikban az x nagyobb ötnél. Ha azonban az oldalak felcserélésével együtt megváltoztatjuk a relációs jelet is, az már ekvivalens átalakítás lesz.
Ha tehát adott az f(x) < g(x) egyenlőtlenség, felírhatjuk azt is, hogy g(x) > f(x). Felcseréltük az oldalakat, de a < helyett > jelet írtunk. Hasonlóan a kisebb vagy egyenlő jelnél: az f(x) ≤ g(x) egyenlőtlenséget átalakíthatjuk g(x) ≥ f(x) alakra.
Kifejezés hozzáadása
Az egyenlőtlenséghez hozzáadhatunk számot vagy olyan függvényt, amely ugyanazon a halmazon van értelmezve, amelyen az egyenlőtlenséget megoldjuk. Példa: adott az x>0 egyenlőtlenség. Ehhez hozzáadhatjuk például a hármat. Az x + 3>3 egyenlőtlenséget kapjuk. Ez logikus is.
Hasonlóan akár egy függvényt is hozzáadhatunk. Ha adott az x > −3x + 7 egyenlőtlenség, hozzáadhatjuk a 3x kifejezést, és ezt kapjuk:
Kifejezést természetesen kivonni is lehet – vagyis hozzáadhatunk negatív számot.
Az egyenlőtlenség szorzása pozitív kifejezéssel
Az egyenlőtlenséget már nem szorozhatjuk meg akármilyen kifejezéssel, ahogy az egyenleteknél megtehettük. Ha olyan kifejezéssel szorzunk, amely mindig pozitív, az rendben van. De ha negatív kifejezéssel szorzunk, meg kell változtatnunk a relációs jelet (lásd a következő fejezetet). Természetesen az egyenleteknél megszokott módon nullával itt sem szorozhatunk!
Mit jelent az, hogy mindig pozitív kifejezés? A legegyszerűbb mindig pozitív kifejezés a pozitív szám. Ha tehát adott az x>2 egyenlőtlenség, megszorozhatjuk tízzel, ami pozitív szám, és az egyenlőtlenség érvényessége nem változik. Megkapjuk a 10x>20 egyenlőtlenséget. Természetesen pozitív számmal oszthatunk is, így ebből az átalakított egyenlőtlenségből öttel osztva megkapjuk a 2x>4 egyenlőtlenséget.
Az egyenlőtlenséget viszont nem szorozhatjuk meg csak úgy az x változóval, mert az x változó általában pozitív és negatív értékeket is felvehet, és ez nem megengedett. Vannak azonban helyzetek, amikor az x mindig pozitív. Ha például valamilyen geometriai feladatot számolunk, előfordulhat, hogy az x változó egy szakasz hosszát jelenti. A hossz nem lehet negatív (legrosszabb esetben nulla), ezért ha tudjuk, hogy az x egy szakasz hosszával egyenlő, az egyenlőtlenséget megszorozhatjuk az x változóval.
Egy másik mindig nemnegatív kifejezés a négyzet. Ha egy számot négyzetre emelsz, pozitív (vagy nulla) számot kapsz. Ha tehát adott az
egyenlőtlenség, megszorozhatjuk az x2 kifejezéssel. Ezt kapjuk: 1>2x2. Természetesen azzal a kikötéssel, hogy az x nem nulla. Több olyan függvény is van, amely mindig pozitív. A szögfüggvények közül a szinusz és a koszinusz értékkészlete a [−1; 1] halmaz. Ez nem mindig pozitív. De ha hozzáadunk kettőt, az értékkészlet [1; 3] lesz, ami már pozitív intervallum. Ilyen függvénnyel már szorozhatnánk az egyenlőtlenséget. Ha tehát adott az
egyenlőtlenség, az egészet megszorozhatjuk a cos(x) + 3 kifejezéssel, mert ez mindig pozitív függvény. Ezt kapjuk:
Az egyenlőtlenség szorzása mindig negatív kifejezéssel
A negatív számokkal és kifejezésekkel már bonyolultabb a helyzet. Nézd meg a következő mintapéldát: 1<2. Ez az egyenlőtlenség biztosan igaz. Mi történik, ha az egészet megszorozzuk mínusz eggyel? Azt kapjuk, hogy −1<−2. Igaz ez az egyenlőtlenség? Nem igaz, a mínusz kettő kisebb a mínusz egynél. A negatív számmal való szorzás tehát nyilvánvalóan nem ekvivalens átalakítása az egyenlőtlenségnek.
Ha azonban negatív számmal szorozva egyúttal megváltoztatjuk a relációs jelet is, az már ekvivalens átalakítás lesz. Ha az 1<2 egyenlőtlenséget megszorozzuk −1-gyel, és közben a < helyett > jelet írunk, ekvivalens átalakítást végzünk, és a −1>−2 egyenlőtlenséget kapjuk.
A negatív számokkal való szorzás egyszerű, nehezebb a helyzet a kifejezések (függvények) szorzásánál. Miért nem szorozhatjuk meg az egyenlőtlenséget az x változóval? Mert ha a változó pozitív értékeket venne fel, a jel nem változna. Ha negatív értékeket venne fel, meg kellene fordítanunk a jelet. Általában mindkét eset előfordulhat: ha az x-et semmi nem korlátozza, lehet negatív is, pozitív is. Példa:
Rossz eljárás lenne az egyenlőtlenséget megszorozni az x változóval. Ekkor ugyanis az 1>x egyenlőtlenséget kapnánk, vagyis megoldás minden egynél kisebb x (természetesen még azzal a kikötéssel, hogy az x nem nulla). De mi történik, ha az eredeti egyenlőtlenségbe az x helyére a −1 számot helyettesítjük? Azt kapjuk, hogy:
ami biztosan nem igaz. Ezért nem szorozhatjuk meg az egyenlőtlenséget csak úgy az x változóval.
Ahogy azonban az előző fejezetben voltak mindig pozitív kifejezések, lehetnek mindig negatív kifejezések is. A legegyszerűbben úgy kapunk ilyet, hogy egy mindig pozitív kifejezés elé mínuszjelet teszünk. Az előző fejezetben megmutattuk, hogy a cos(x) + 3 függvény mindig pozitív. Ha az egész kifejezés elé mínuszt írunk, mindig negatív függvényt kapunk: −(cos(x) + 3).
Az egyenlőtlenség hatványozása és gyökvonása természetes számmal
Az egyenlőtlenség hatványozása általában nem ekvivalens átalakítás, hasonlóan az egyenletekhez. Nézd meg a következő egyenlőtlenséget: x>−2. Mi történik, ha négyzetre emeljük? Azt kapjuk, hogy x2>4. Ekvivalens ez az egyenlőtlenség? Mi történik, ha mindkét egyenlőtlenségbe az x helyére nullát helyettesítünk? Az elsőben 0>−2 adódik, ami igaz. A másodikban 0>4 adódik, ami nem igaz. Nem ekvivalens átalakítást végeztünk.
Mikor hatványozhatjuk az egyenlőtlenséget természetes számmal? Ha mindkét oldal nemnegatív (pozitív vagy nulla). Akkor már gond nélkül megtehetjük. Mintapélda:
Egy másik példa lehet az abszolút érték, amely nemnegatív számot ad vissza. Ezt az egyenlőtlenséget tehát aggodalom nélkül négyzetre emelhetjük:
A hatványhoz teljesen hasonlóan viselkedik a gyökvonás is. Ha mindkét oldal nemnegatív, az egyenlőtlenség mindkét oldalából gyököt vonhatunk, ha a gyökkitevő természetes szám. Az előző egyenlőtlenségből tehát gyökvonással szépen visszakapjuk az eredeti alakot:
A felesleges kifejezések elhagyása
Gyakran olyan egyenlőtlenséget oldunk meg, amelynek alakja f(x)>0. Ilyenkor előfordul, hogy az f függvény bonyolult, és néhány kifejezés elhagyásával egyszerűsíthető. Nézd meg a következő egyenlőtlenséget: 2x>0. Ennek az egyenlőtlenségnek nyilvánvalóan akkor van megoldása, ha x>0. Ha az x negatív, akkor a 2x is negatív. Ha egy negatív számot megszorzunk kettővel, a szám negatív marad. A kettőnek nincs ereje ahhoz, hogy szorzás után megváltoztassa a következő kifejezés előjelét.
Megpróbálhatjuk megoldani az 5x>0, 157x>0 és π x>0 egyenlőtlenségeket is. Mindegyik esetben ugyanaz a megoldás: x>0. Az x előtt álló pozitív együttható semmiben sem változtatja meg az egyenlőtlenség érvényességét.
Formálisan úgy szabadulunk meg ezektől az együtthatóktól, hogy az egyenlőtlenséget elosztjuk az adott együtthatóval, így:
Vigyázz: ahhoz, hogy elhagyhassuk a pozitív együtthatót, nevezzük a-nak, feltétlenül a teljes bal oldalt kell szoroznia. Nem hagyhatjuk el a kettőt ebből az egyenlőtlenségből: 2x + 7>0, mert a kettő nem szorozza a teljes bal oldalt. Az egész egyenlőtlenséget viszont eloszthatjuk kettővel, és az x + 3,5>0 egyenlőtlenséget kapjuk.
Hasonlóan ez a példa:
Talán bonyolultnak látszik, de az x2 kifejezés mindig nemnegatív, ezért nem változtatja meg a következő zárójel előjelét. Ezt a kifejezést tehát elhagyhatjuk az egyenlőtlenségből – elosztjuk az egyenlőtlenséget az x2 kifejezéssel, és ezt kapjuk:
Csak azt a kikötést kell hozzátennünk, hogy x2 ≠ 0, mert nullával nem oszthatunk. Az x2 azonban csak akkor nulla, ha az x nulla, és az x = 0 esetén az egyenlőtlenség nem teljesül. Azt kapjuk ugyanis, hogy (x = 0): 0(0 − 3)>0, és a 0>0 nem igaz.
Ez nem valami külön módszer, csak a pozitív kifejezéssel való szorzásról és osztásról szóló előző pont ügyes alkalmazása.
Fejezetek: Egyenletek átalakítása, Egyenlőtlenségek átalakítása
