Transformations équivalentes des inéquations

Pour transformer des inéquations, on utilise des transformations équivalentes, qui ont la propriété de ne pas modifier la validité de l’inéquation. Leur but est de ramener l’inéquation à une forme plus simple, à partir de laquelle on peut calculer le résultat.

Qu’est-ce qu’une inéquation

Considérons deux fonctions données f(x) et g(x). On appelle inéquation une expression de l’une des formes suivantes :

$$\begin{array}{rcl}f(x)<g(x),& & f(x)>g(x)\\ f(x)\le g(x),& & f(x)\ge g(x)\end{array}$$

Les solutions d’une inéquation sont (en général) tous les x de l’ensemble des nombres réels pour lesquels l’inéquation est vérifiée. Exemple d’inéquation : 6x<12. Ici f(x) = 6x et g(x) = 12 ; 6x est le membre de gauche de l’inéquation, 12 le membre de droite. Les solutions de cette inéquation sont tous les x inférieurs à deux : x<2. Il s’agit donc de l’intervalle ]−∞ ; 2[.

Échange des membres et changement du sens de l’inégalité

Pour les équations, nous pouvions sans crainte échanger le membre de droite et le membre de gauche. Ce n’est pas possible pour les inéquations. Par exemple, si nous avons l’inéquation x<5, il ne peut pas être vrai en même temps que 5 < x. Dans le premier cas, x est inférieur à cinq ; dans le second, x est supérieur à cinq. En revanche, si l’on échange les membres tout en changeant en même temps le sens de l’inégalité, il s’agit bien d’une transformation équivalente.

Si nous avons donc l’inéquation f(x) < g(x), nous pouvons aussi écrire g(x) > f(x). Nous avons changé les membres, mais nous avons aussi remplacé < par >. De même, l’inéquation f(x) ≤ g(x) peut s’écrire g(x) ≥ f(x).

Addition d’une expression

À une inéquation, on peut ajouter un nombre ou une fonction définie sur le même ensemble que celui dans lequel on résout l’inéquation. Exemple : soit l’inéquation x>0. On peut lui ajouter par exemple le nombre trois, ce qui donne l’inéquation x + 3>3. Cela a du sens.

On peut également ajouter une fonction entière. Si nous avons l’inéquation x > −3x + 7, on peut ajouter 3x aux deux membres et l’on obtient :

$$\begin{array}{rcl}x& >& -3x+7/+3x\\ x+3x& >& -3x+3x+7\\ 4x& >& 7\end{array}$$

On peut bien sûr aussi soustraire une expression, autrement dit ajouter un nombre négatif.

Multiplication par une expression strictement positive

On ne peut pas simplement multiplier une inéquation par une expression comme on le faisait pour les équations. Si l’on multiplie par une expression toujours strictement positive, cela ne pose pas de problème. Mais si l’on multiplie par une expression négative, il faut changer le sens de l’inégalité (voir la partie suivante). Bien sûr, comme pour les équations, on ne doit jamais multiplier par une expression nulle !

Que signifie « expression toujours strictement positive » ? L’expression toujours strictement positive la plus simple est un nombre strictement positif. Si nous avons l’inéquation x>2, on peut la multiplier par dix, qui est un nombre positif, sans que le sens de l’inégalité ne change. On obtient l’inéquation 10x>20. On peut bien sûr aussi diviser par un nombre positif : en divisant cette inéquation par cinq, on obtient l’inéquation 2x>4.

On ne peut toutefois pas multiplier une inéquation par la variable x tout simplement, car x peut prendre aussi bien des valeurs positives que négatives, ce qui n’est pas admissible. Il existe cependant des situations où x est toujours positif. Par exemple, si l’on traite un problème de géométrie où la variable x représente la longueur d’un segment, cette longueur ne peut pas être négative (au pire elle est nulle). Si nous savons donc que x est égal à la longueur d’un segment, nous pouvons multiplier l’inéquation par la variable x.

Une autre expression toujours positive ou nulle est le carré. Si l’on élève un nombre au carré, le résultat est positif (ou nul). Ainsi, pour l’inéquation

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

on peut la multiplier par x² et l’on obtient : 1>2x². Bien sûr, à condition que x ne soit pas égal à zéro.

Il existe d’autres fonctions toujours strictement positives. Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus ont pour ensemble image l’intervalle [−1 ; 1], elles ne sont donc pas toujours positives. Mais si l’on leur ajoute deux, on obtient l’ensemble image [1 ; 3], qui est un intervalle positif. On pourrait donc multiplier une inéquation par une telle fonction. Ainsi, si nous avons l’inéquation

$$\frac{x+3}{\cos (x)+3}\le 3x-5,$$

nous pouvons la multiplier entièrement par l’expression cos(x) + 3, car c’est une fonction toujours strictement positive. On obtient :

$$x+3\le (3x-5)(\cos (x)+3).$$

Multiplication par une expression toujours strictement négative

Avec les nombres négatifs et les expressions, la situation est plus compliquée. Considérons l’inéquation simple 1<2. Cette inégalité est certainement vraie. Que se passe-t-il si l’on multiplie toute l’inéquation par moins un ? On obtient −1<−2. Cette inégalité est-elle vraie ? Non : moins deux est plus petit que moins un. La multiplication par un nombre négatif n’est donc évidemment pas une transformation équivalente d’une inéquation.

Si toutefois, lors d’une multiplication par un nombre négatif, on change en même temps le sens de l’inégalité, cela devient une transformation équivalente. Si l’on multiplie 1<2 par −1 et que l’on écrit > à la place de <, on effectue une transformation équivalente et l’on obtient l’inéquation −1>−2.

La multiplication par des nombres négatifs est simple ; la situation est plus difficile pour la multiplication par des expressions (fonctions). Pourquoi ne peut-on pas multiplier l’inéquation par la variable x ? Si la variable prenait des valeurs positives, le sens de l’inégalité ne changerait pas ; si elle prenait des valeurs négatives, il faudrait le changer. Sans restriction sur x, les deux cas peuvent se présenter : la variable peut être aussi bien négative que positive. Exemple :

$$\frac{1}{x}>1$$

La mauvaise méthode serait de multiplier l’inéquation par la variable x. On obtiendrait 1>x, donc les solutions seraient tous les x inférieurs à un (à condition, bien sûr, que x soit différent de zéro). Mais que se passe-t-il si l’on substitue −1 à x dans l’inéquation d’origine ? On obtient :

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{-1}& >& 1\\ -1& >& 1\end{array}$$

ce qui n’est certainement pas vrai. C’est pourquoi on ne peut pas multiplier une inéquation simplement par la variable x.

Néanmoins, de même que nous avons vu dans la partie précédente des expressions toujours strictement positives, il existe des expressions toujours strictement négatives. Le plus simple est de placer un signe moins devant une expression toujours strictement positive. Dans la partie précédente, nous avons vu que la fonction cos(x) + 3 est toujours strictement positive. Si l’on met un signe moins devant toute l’expression, on obtient une fonction toujours strictement négative : −(cos(x) + 3).

Élévation à une puissance et extraction de racine d’une inéquation

L’élévation d’une inéquation à une puissance n’est en général pas une transformation équivalente, comme pour les équations. Considérons l’inéquation suivante : x>−2. Si on l’élève au carré, on obtient x²>4. Est-ce une inéquation équivalente ? Que se passe-t-il si l’on substitue zéro à x dans les deux inéquations ? Dans la première, on a 0>−2, ce qui est vrai. Dans la seconde, on a 0>4, ce qui est faux. Nous n’avons donc pas effectué une transformation équivalente.

Quand peut-on élever une inéquation à une puissance entière naturelle ? Lorsque les deux membres sont positifs ou nuls. Alors il n’y a pas de problème. Exemple :

$$\begin{array}{rcl}5& >& 2{/}^2\\ 25& >& 4\end{array}$$

Un autre exemple est la valeur absolue, qui renvoie un nombre positif ou nul. On peut donc élever cette inéquation au carré sans crainte :

$$\begin{array}{rcl}|x|& <& 3{/}^2\\ |x{|}^2& <& 9\end{array}$$

De la même façon, la racine se comporte exactement comme la puissance. Si les deux membres sont positifs ou nuls, on peut extraire de l’inéquation une racine d’indice entier naturel. On peut donc revenir à la forme initiale pour l’inéquation précédente :

$$\begin{array}{rcl}|x{|}^2& <& 9/\sqrt{}\\ |x|& <& 3\end{array}$$

Suppression des expressions inutiles

Souvent, on résout une inéquation de la forme f(x)>0. Il arrive alors que la fonction f soit compliquée et puisse être simplifiée en supprimant certains facteurs. Considérons l’inéquation suivante : 2x>0. Elle a manifestement pour solution le cas où x>0. Si x est négatif, alors 2x est aussi négatif : multiplier un nombre négatif par deux ne le rend pas positif. Le facteur deux n’a pas la force de changer le signe de l’expression qui le suit.

On peut encore résoudre les inéquations 5x>0, 157x>0 et π x>0. Dans tous les cas, la solution est la même, x>0. Un coefficient strictement positif devant x ne modifie pas la validité de l’inéquation.

Formellement, on se débarrasse de ces coefficients en divisant l’inéquation par le coefficient, comme ceci :

$$\begin{array}{rcl}2x& >& 0/:2\\ x& >& 0\end{array}$$

Attention : pour pouvoir supprimer un coefficient strictement positif, notons-le a, il doit nécessairement multiplier tout le membre de gauche. On ne peut pas supprimer le deux de l’inéquation 2x + 7>0, car le deux ne multiplie pas tout le membre de gauche. On peut en revanche diviser toute l’inéquation par deux et obtenir l’inéquation x + 3,5>0.

De même, prenons cet exemple :

$$x^2\cdot (x-3)>0$$

Cela paraît compliqué, mais l’expression x² est toujours positive ou nulle, elle ne change donc pas le signe de la parenthèse qui suit. On peut la supprimer de l’inéquation : en divisant l’inéquation par x², on obtient :

$$x-3>0$$

Il faut toutefois ajouter la condition x² ≠ 0, car on ne peut pas diviser par zéro. Or x² est nul seulement lorsque x est nul, et pour x = 0 l’inégalité n’est pas vérifiée. On obtient en effet (x = 0): 0(0 − 3)>0, soit 0>0, ce qui n’est pas vrai.

Il ne s’agit d’aucune méthode particulière, mais simplement d’une application astucieuse du point précédent sur la multiplication et la division par une expression strictement positive.