Äquivalenzumformungen von Ungleichungen

Beim Umformen von Ungleichungen verwenden wir Äquivalenzumformungen, die sich dadurch auszeichnen, dass sie die Gültigkeit der Ungleichung nicht ändern. Der Sinn von Äquivalenzumformungen ist es, die Ungleichung in eine einfachere Form zu bringen, aus der wir das Ergebnis der Ungleichung schon berechnen können.

Was ist eine Ungleichung

Gegeben sind zwei Funktionen f(x) und g(x). Unter einer Ungleichung verstehen wir dann Ausdrücke in einer dieser Formen:

$$\begin{array}{rcl}f(x)<g(x),& & f(x)>g(x)\\ f(x)\le g(x),& & f(x)\ge g(x)\end{array}$$

Die Lösungen der Ungleichung sind alle x aus (üblicherweise) der Menge der reellen Zahlen, für die die Ungleichung erfüllt ist. Ein Beispiel für eine Ungleichung: 6x<12. Hier gilt f(x) = 6x und g(x) = 12. 6x ist die linke Seite der Ungleichung, 12 ist die rechte Seite. Die Lösungen dieser Ungleichung sind alle x, die kleiner als zwei sind: x<2. Also das Intervall ]−∞; 2[.

Vertauschen der Seiten mit Änderung des Ungleichheitszeichens

Bei Gleichungen konnten wir die rechte Seite unbesorgt mit der linken vertauschen. Das können wir bei Ungleichungen nicht tun. Haben wir zum Beispiel die Ungleichung x<5, kann nicht zugleich 5 < x gelten. Im ersten Fall ist x kleiner als fünf, im zweiten ist x größer als fünf. Ändern wir aber beim Vertauschen der Seiten zugleich das Ungleichheitszeichen, handelt es sich bereits um eine Äquivalenzumformung.

Haben wir also die Ungleichung f(x) < g(x), dann können wir auch g(x) > f(x) schreiben. Wir haben die Seiten getauscht, aber zugleich statt < das Zeichen > geschrieben. Entsprechend für kleiner oder gleich: Die Ungleichung f(x) ≤ g(x) können wir zu g(x) ≥ f(x) umformen.

Addieren eines Terms

Zur Ungleichung können wir eine Zahl oder eine Funktion addieren, die auf derselben Menge definiert ist, auf der wir die Ungleichung lösen. Beispiel: Wir haben die Ungleichung x>0. Zu dieser Ungleichung können wir zum Beispiel die Zahl drei addieren. Wir erhalten die Ungleichung x + 3>3. Das ist logisch.

Ähnlich können wir eine ganze Funktion addieren. Haben wir die Ungleichung x > −3x + 7, können wir zur Ungleichung 3x addieren und erhalten:

$$\begin{array}{rcl}x& >& -3x+7/+3x\\ x+3x& >& -3x+3x+7\\ 4x& >& 7\end{array}$$

Einen Term können wir selbstverständlich auch subtrahieren – also eine negative Zahl addieren.

Multiplizieren der Ungleichung mit einem positiven Term

Eine Ungleichung können wir nicht mehr einfach so mit einem Term multiplizieren, wie wir es bei Gleichungen konnten. Es gilt: Multiplizieren wir mit einem Term, der immer positiv ist, ist das in Ordnung. Multiplizieren wir aber mit einem negativen Term, müssen wir das Ungleichheitszeichen ändern (siehe nächstes Kapitel). Natürlich dürfen wir, genau wie bei Gleichungen, nicht mit einem Term multiplizieren, der null ist!

Was bedeutet ein immer positiver Term? Der einfachste Term, der immer positiv ist, ist eine positive Zahl. Haben wir also die Ungleichung x>2, können wir sie mit zehn multiplizieren, was eine positive Zahl ist, und die Gültigkeit der Ungleichung ändert sich nicht. Wir erhalten die Ungleichung 10x>20. Natürlich können wir auch durch eine positive Zahl dividieren, sodass wir aus dieser umgeformten Ungleichung durch Dividieren durch fünf die Ungleichung 2x>4 erhalten.

Wir können die Ungleichung aber nicht einfach mit der Variablen x multiplizieren, weil die Variable x im Allgemeinen sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann und das nicht zulässig ist. Es gibt aber Situationen, in denen x immer positiv sein wird. Rechnen wir zum Beispiel eine geometrische Aufgabe, ist es möglich, dass die Variable x die Länge einer Strecke darstellt. Eine Länge kann nicht negativ sein (schlimmstenfalls null), wenn wir also wissen, dass x gleich der Länge einer Strecke ist, können wir die Ungleichung mit der Variablen x multiplizieren.

Ein weiterer immer nichtnegativer Term ist das Quadrat. Quadrierst du eine Zahl, dann ist sie positiv (oder null). Haben wir also die Ungleichung

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

können wir sie mit dem Term x² multiplizieren. Wir erhalten: 1>2x². Natürlich unter der Bedingung, dass x nicht gleich null ist. Es gibt weitere Funktionen, die immer positiv sind. Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus haben als Wertemenge die Menge [−1; 1]. Die ist nicht immer positiv. Addieren wir aber zwei dazu, erhalten wir die Wertemenge [1; 3], was bereits ein positives Intervall ist. Mit einer solchen Funktion könnten wir die Ungleichung multiplizieren. Hätten wir also die Ungleichung

$$\frac{x+3}{\cos (x)+3}\le 3x-5,$$

können wir sie als Ganzes mit dem Term cos(x) + 3 multiplizieren, weil das eine immer positive Funktion ist. Wir erhalten:

$$x+3\le (3x-5)(\cos (x)+3).$$

Multiplizieren der Ungleichung mit einem immer negativen Term

Mit negativen Zahlen und Termen ist die Situation schon komplizierter. Sieh dir ein Beispiel an: 1<2. Diese Ungleichung gilt sicher. Was, wenn wir die ganze Ungleichung mit minus eins multiplizieren? Wir erhalten −1<−2. Gilt diese Ungleichung? Sie gilt nicht, minus zwei ist kleiner als minus eins. Das Multiplizieren mit einer negativen Zahl ist offensichtlich keine Äquivalenzumformung der Ungleichung.

Ändern wir aber beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl in der Ungleichung zugleich das Ungleichheitszeichen, ist es doch eine Äquivalenzumformung. Multiplizieren wir die Ungleichung 1<2 mit −1 und schreiben zugleich statt < das Zeichen >, führen wir damit eine Äquivalenzumformung durch und erhalten die Ungleichung −1>−2.

Das Multiplizieren mit negativen Zahlen ist einfach, schlimmer ist die Situation beim Multiplizieren mit Termen (Funktionen). Warum können wir die Ungleichung nicht mit der Variablen x multiplizieren? Weil sich das Zeichen nicht änderte, wenn die Variable positive Werte annähme. Nähme sie negative Werte an, müssten wir das Zeichen ändern. Im Allgemeinen können beide Fälle eintreten: Ist x in keiner Weise beschränkt, kann die Variable sowohl negativ als auch positiv sein. Beispiel:

$$\frac{1}{x}>1$$

Ein falsches Vorgehen wäre es, die Ungleichung mit der Variablen x zu multiplizieren. Wir erhielten nämlich 1>x, also wären die Lösungen alle x, die kleiner als eins sind (natürlich noch mit der Bedingung, dass x ungleich null ist). Was aber, wenn wir in die ursprüngliche Ungleichung für x die Zahl −1 einsetzen? Wir erhalten:

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{-1}& >& 1\\ -1& >& 1\end{array}$$

was sicher nicht stimmt. Deshalb können wir die Ungleichung nicht einfach mit der Variablen x multiplizieren.

Ähnlich wie wir im vorherigen Kapitel Terme hatten, die immer positiv sind, können wir aber Terme haben, die immer negativ sind. Am einfachsten erhalten wir sie, indem wir vor einen immer positiven Term ein Minus setzen. Im vorherigen Kapitel haben wir gesehen, dass die Funktion cos(x) + 3 immer positiv ist. Setzen wir vor den ganzen Term ein Minus, erhalten wir eine immer negative Funktion: −(cos(x) + 3).

Potenzieren und Wurzelziehen der Ungleichung mit einer natürlichen Zahl

Das Potenzieren einer Ungleichung ist im Allgemeinen keine Äquivalenzumformung, ähnlich wie bei Gleichungen. Sieh dir die folgende Ungleichung an: x>−2. Was, wenn wir sie quadrieren? Wir erhalten: x²>4. Ist das eine äquivalente Ungleichung? Was passiert, wenn wir in beide Ungleichungen für x null einsetzen? Im ersten Fall haben wir 0>−2, das stimmt. Im zweiten Fall haben wir 0>4, das stimmt nicht. Wir haben also keine Äquivalenzumformung durchgeführt.

Wann können wir die Ungleichung mit einer natürlichen Zahl potenzieren? Wenn beide Seiten nichtnegativ sind (positiv oder null). Dann ist es kein Problem. Ein Beispiel:

$$\begin{array}{rcl}5& >& 2{/}^2\\ 25& >& 4\end{array}$$

Ein weiteres Beispiel kann der Betrag sein, der uns eine nichtnegative Zahl liefert. Diese Ungleichung können wir also unbesorgt quadrieren:

$$\begin{array}{rcl}|x|& <& 3{/}^2\\ |x{|}^2& <& 9\end{array}$$

Ganz genauso wie die Potenz verhält sich auch die Wurzel. Sind beide Seiten nichtnegativ, können wir aus der Ungleichung die Wurzel mit einem natürlichen Wurzelexponenten ziehen. Die vorherige Ungleichung können wir also wieder schön zurück in die ursprüngliche Form bringen:

$$\begin{array}{rcl}|x{|}^2& <& 9/\sqrt{}\\ |x|& <& 3\end{array}$$

Entfernen überflüssiger Terme

Oft lösen wir eine Ungleichung der Form f(x)>0. In diesem Fall kommt es vor, dass die Funktion f kompliziert ist und sich durch Weglassen mancher Terme vereinfachen ließe. Sieh dir die folgende Ungleichung an: 2x>0. Diese Ungleichung ist offensichtlich genau dann erfüllt, wenn x>0 ist. Ist x negativ, dann ist auch 2x negativ. Multiplizieren wir eine negative Zahl mit zwei, bleibt die Zahl negativ. Die Zwei hat nicht die Kraft, nach dem Multiplizieren das Vorzeichen des folgenden Terms zu ändern.

Wir können noch versuchen, die Ungleichungen 5x>0, 157x>0 und π x>0 zu lösen. In allen Fällen wird die Lösung gleich sein, x>0. Ein positiver Koeffizient vor x ändert die Gültigkeit der Ungleichung in keiner Weise.

Formal werden wir diese Koeffizienten los, indem wir die Ungleichung durch den gegebenen Koeffizienten dividieren, so:

$$\begin{array}{rcl}2x& >& 0/:2\\ x& >& 0\end{array}$$

Achte darauf: Damit wir einen positiven Koeffizienten, nennen wir ihn a, entfernen können, muss er die ganze linke Seite multiplizieren. Wir können die Zwei aus dieser Ungleichung nicht entfernen: 2x + 7>0, weil die Zwei nicht die ganze linke Seite multipliziert. Wir können aber die ganze Ungleichung durch zwei dividieren und erhalten die Ungleichung x + 3,5>0.

Ähnlich dieses Beispiel:

$$x^2\cdot (x-3)>0$$

Vielleicht sieht das kompliziert aus, aber der Term x² ist immer nichtnegativ, ändert also das Vorzeichen der folgenden Klammer nicht. Diesen Term können wir deshalb aus der Ungleichung entfernen – wir dividieren die Ungleichung durch x² und erhalten:

$$x-3>0$$

Wir müssen nur die Bedingung x² ≠ 0 hinzufügen, weil wir nicht durch null dividieren dürfen. x² ist jedoch nur dann null, wenn x null ist, und für x = 0 ist die Ungleichung nicht erfüllt. Wir erhalten nämlich (x = 0): 0(0 − 3)>0 und 0>0 stimmt nicht.

Das ist keine besondere Methode, es ist nur eine geschickte Anwendung des vorherigen Punktes über das Multiplizieren und Dividieren mit einem positiven Term.