Transformações equivalentes de inequações

Ao transformar inequações, usamos as transformações equivalentes, que se caracterizam por não alterar a validade da inequação. O objetivo das transformações equivalentes é levar a inequação a uma forma mais simples, da qual já podemos calcular o resultado.

O que é uma inequação

Temos duas funções f(x) e g(x). Chamamos de inequação as expressões em uma destas formas:

$$\begin{array}{rcl}f(x)<g(x),& & f(x)>g(x)\\ f(x)\le g(x),& & f(x)\ge g(x)\end{array}$$

A solução da inequação são todos os x do conjunto (em geral) dos números reais para os quais a inequação é satisfeita. Exemplo de inequação: 6x<12. Aqui, f(x) = 6x e g(x) = 12. 6x é o primeiro membro da inequação e 12 é o segundo membro. A solução dessa inequação são todos os x menores que dois: x<2. Ou seja, o intervalo ]−∞, 2[.

Troca dos membros com mudança de sinal

Nas equações podíamos trocar sem receio o segundo membro pelo primeiro. Nas inequações não podemos fazer isso. Por exemplo, se temos a inequação x<5, não pode valer também 5 < x. No primeiro caso, x é menor que cinco; no segundo, x é maior que cinco. No entanto, se, ao trocar os membros, mudarmos ao mesmo tempo o sinal de desigualdade, já se trata de uma transformação equivalente.

Assim, se temos a inequação f(x) < g(x), também podemos escrever g(x) > f(x). Trocamos os membros, mas ao mesmo tempo escrevemos > no lugar de <. De modo análogo para “menor ou igual”: a inequação f(x) ≤ g(x) pode ser transformada em g(x) ≥ f(x).

Adição de uma expressão

Podemos somar à inequação um número ou uma função definida no mesmo conjunto em que resolvemos a inequação. Exemplo: temos a inequação x>0. Podemos somar a ela, por exemplo, o número três. Obtemos a inequação x + 3>3. Isso faz sentido.

Da mesma forma, podemos somar uma função inteira. Se temos a inequação x > −3x + 7, podemos somar 3x à inequação e obtemos:

$$\begin{array}{rcl}x& >& -3x+7/+3x\\ x+3x& >& -3x+3x+7\\ 4x& >& 7\end{array}$$

Também podemos, naturalmente, subtrair uma expressão, ou seja, somar um número negativo.

Multiplicação da inequação por uma expressão positiva

Já não podemos simplesmente multiplicar a inequação por uma expressão qualquer, como fazíamos nas equações. Se multiplicamos por uma expressão que é sempre positiva, não há problema. Mas, se multiplicamos por uma expressão negativa, precisamos mudar o sinal (veja o próximo capítulo). Naturalmente, assim como nas equações, não podemos multiplicar por uma expressão nula!

O que significa uma expressão sempre positiva? A expressão mais simples que é sempre positiva é um número positivo. Então, se temos a inequação x>2, podemos multiplicá-la por dez, que é um número positivo, e a validade da inequação não muda. Obtemos a inequação 10x>20. Naturalmente também podemos dividir por um número positivo; assim, dessa inequação transformada, dividindo por cinco, podemos obter a inequação 2x>4.

Mas não podemos simplesmente multiplicar a inequação pela variável x, porque, em geral, a variável x pode assumir tanto valores positivos quanto negativos, e isso não é permitido. Existem, porém, situações em que x será sempre positivo. Por exemplo, se resolvemos um problema de geometria, é possível que a variável x represente o comprimento de um segmento. Um comprimento não pode ser negativo (no pior dos casos, é nulo), então, se sabemos que x é igual ao comprimento de um segmento, podemos multiplicar a inequação pela variável x.

Outra expressão sempre não negativa é o quadrado. Se você elevar um número ao quadrado, ele será positivo (ou nulo). Então, se temos a inequação

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

podemos multiplicá-la pela expressão x². Obtemos: 1>2x². Naturalmente, com a condição de que x não seja igual a zero. Existem outras funções que são sempre positivas. As funções trigonométricas seno e cosseno têm como conjunto imagem o conjunto [−1, 1]. Isso nem sempre é positivo. Mas, se somarmos dois a elas, obtemos o conjunto imagem [1, 3], que já é um intervalo positivo. Poderíamos multiplicar uma inequação por uma função assim. Então, se tivéssemos a inequação

$$\frac{x+3}{\cos (x)+3}\le 3x-5,$$

podemos multiplicá-la inteira pela expressão cos(x) + 3, porque essa é uma função sempre positiva. Obtemos:

$$x+3\le (3x-5)(\cos (x)+3).$$

Multiplicação da inequação por uma expressão sempre negativa

Com números e expressões negativos, a situação já é mais complicada. Observe um exemplo: 1<2. Essa desigualdade certamente é verdadeira. E se multiplicarmos a desigualdade inteira por menos um? Obtemos −1<−2. Essa desigualdade é verdadeira? Não é: menos dois é menor que menos um. Multiplicar por um número negativo, evidentemente, não é uma transformação equivalente da inequação.

No entanto, se, ao multiplicar por um número negativo, mudarmos ao mesmo tempo o sinal de desigualdade, já será uma transformação equivalente. Se multiplicarmos a inequação 1<2 por −1 e escrevermos ao mesmo tempo > no lugar de <, fazemos uma transformação equivalente e obtemos a inequação −1>−2.

Multiplicar por números negativos é simples; a situação é pior na multiplicação por expressões (funções). Por que não podemos multiplicar a inequação pela variável x? Porque, se a variável assumisse valores positivos, o sinal não mudaria. Se assumisse valores negativos, deveríamos mudar o sinal. Em geral, os dois casos podem ocorrer: se não temos x restringido de nenhuma forma, a variável pode ser tanto negativa quanto positiva. Exemplo:

$$\frac{1}{x}>1$$

Um procedimento errado seria multiplicar a inequação pela variável x. Obteríamos 1>x, ou seja, a solução seriam todos os x menores que um (naturalmente, ainda com a condição de que x é diferente de zero). Mas e se substituirmos x pelo número −1 na inequação original? Obtemos:

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{-1}& >& 1\\ -1& >& 1\end{array}$$

o que certamente não é verdade. Por isso não podemos simplesmente multiplicar a inequação pela variável x.

No entanto, assim como no capítulo anterior tínhamos expressões que são sempre positivas, podemos ter expressões que são sempre negativas. O modo mais simples de obtê-las é colocar um sinal de menos na frente de uma expressão sempre positiva. No capítulo anterior vimos que a função cos(x) + 3 é sempre positiva. Se colocarmos um sinal de menos na frente da expressão inteira, obtemos uma função sempre negativa: −(cos(x) + 3).

Potenciação e radiciação da inequação com número natural

Elevar uma inequação a uma potência, em geral, não é uma transformação equivalente, assim como nas equações. Observe a seguinte inequação: x>−2. E se a elevarmos ao quadrado? Obtemos: x²>4. Essa é uma inequação equivalente? O que acontece quando substituímos x por zero nas duas inequações? No primeiro caso temos 0>−2, o que é verdade. No segundo caso temos 0>4, o que não é verdade. Portanto, não fizemos uma transformação equivalente.

Quando podemos elevar uma inequação a uma potência com expoente natural? Se os dois membros são não negativos (positivos ou nulos). Então não há problema. Um exemplo:

$$\begin{array}{rcl}5& >& 2{/}^2\\ 25& >& 4\end{array}$$

Outro exemplo é o valor absoluto, que nos devolve um número não negativo. Assim, podemos elevar esta inequação ao quadrado sem receio:

$$\begin{array}{rcl}|x|& <& 3{/}^2\\ |x{|}^2& <& 9\end{array}$$

A raiz se comporta exatamente como a potência. Se os dois membros são não negativos, podemos extrair da inequação uma raiz de índice natural. Assim, a inequação anterior pode muito bem ser levada de volta à forma original:

$$\begin{array}{rcl}|x{|}^2& <& 9/\sqrt{}\\ |x|& <& 3\end{array}$$

Eliminação de expressões desnecessárias

Muitas vezes resolvemos uma inequação na forma f(x)>0. Nesse caso, acontece de a função f ser complicada e poder ser simplificada eliminando algumas expressões. Observe a seguinte inequação: 2x>0. Essa inequação tem solução, evidentemente, quando x>0. Se x é negativo, então 2x também é negativo. Se multiplicamos um número negativo por dois, o número continua negativo. O dois não tem força para mudar, depois da multiplicação, o sinal da expressão seguinte.

Podemos tentar resolver também as inequações 5x>0, 157x>0 e π x>0. Em todos os casos a solução será a mesma, x>0. Um coeficiente positivo na frente de x não altera de forma alguma a validade da inequação.

Formalmente, nos livramos desses coeficientes dividindo a inequação pelo coeficiente dado, assim:

$$\begin{array}{rcl}2x& >& 0/÷2\\ x& >& 0\end{array}$$

Atenção: para podermos eliminar um coeficiente positivo, que vamos chamar de a, ele precisa necessariamente multiplicar todo o primeiro membro. Não podemos eliminar o dois desta inequação: 2x + 7>0, porque o dois não multiplica todo o primeiro membro. Mas podemos dividir a inequação inteira por dois e obtemos a inequação x + 3,5>0.

Da mesma forma, este exemplo:

$$x^2\cdot (x-3)>0$$

Talvez pareça complicado, mas a expressão x² é sempre não negativa, então não vai mudar o sinal do parêntese seguinte. Assim, podemos eliminar essa expressão da inequação: dividimos a inequação por x² e obtemos:

$$x-3>0$$

Só precisamos acrescentar a condição de que x² ≠ 0, porque não podemos dividir por zero. No entanto, x² é nulo apenas quando x é nulo, e, para x = 0, a desigualdade não é satisfeita. Obtemos, de fato, (x = 0): 0(0 − 3)>0, e 0>0 não é verdade.

Isso não é um método extra; é apenas uma aplicação esperta do ponto anterior sobre multiplicar e dividir por uma expressão positiva.