Ækvivalente omformninger af uligheder

Når vi omformer uligheder, bruger vi ækvivalente omformninger, som kendetegnes ved, at de ikke ændrer ulighedens løsninger. Meningen med ækvivalente omformninger er at bringe uligheden på en enklere form, hvorudfra vi kan beregne ulighedens resultat.

Hvad er en ulighed

Vi har to funktioner f(x) og g(x). Ved en ulighed forstår vi så udtryk på en af disse former:

$$\begin{array}{rcl}f(x)<g(x),& & f(x)>g(x)\\ f(x)\le g(x),& & f(x)\ge g(x)\end{array}$$

Løsningerne til en ulighed er alle de x fra (som regel) mængden af reelle tal, for hvilke uligheden er opfyldt. Et eksempel på en ulighed: 6x<12. Her gælder, at f(x) = 6x og g(x) = 12. 6x er ulighedens venstreside, 12 er højresiden. Løsningerne til denne ulighed er alle de x, som er mindre end to: x<2. Altså intervallet ]−∞; 2[.

Ombytning af siderne med ændring af ulighedstegnet

Ved ligninger kunne vi uden bekymring bytte om på højre og venstre side. Det kan vi ikke gøre ved uligheder. Hvis vi for eksempel har uligheden x<5, kan der ikke samtidig gælde 5 < x. I det første tilfælde er x mindre end fem, i det andet er x større end fem. Men hvis vi samtidig med ombytningen af siderne vender ulighedstegnet, er der tale om ækvivalente omformninger.

Hvis vi altså har uligheden f(x) < g(x), kan vi også skrive g(x) > f(x). Vi har byttet om på siderne, men samtidig skrevet > i stedet for <. Tilsvarende for mindre end eller lig med: uligheden f(x) ≤ g(x) kan vi omforme til g(x) ≥ f(x).

Addition af et udtryk

Til en ulighed kan vi lægge et tal eller en funktion, der er defineret på det samme område, som vi løser uligheden på. Et eksempel: vi har uligheden x>0. Til denne ulighed kan vi for eksempel lægge tallet tre. Vi får uligheden x + 3>3. Det giver mening.

Tilsvarende kan vi lægge en hel funktion til. Hvis vi har uligheden x > −3x + 7, kan vi lægge 3x til uligheden og får:

$$\begin{array}{rcl}x& >& -3x+7/+3x\\ x+3x& >& -3x+3x+7\\ 4x& >& 7\end{array}$$

Et udtryk kan vi naturligvis også trække fra — eller med andre ord lægge et negativt tal til.

Multiplikation af en ulighed med et positivt udtryk

En ulighed kan vi ikke længere bare gange med et udtryk, som vi kunne gøre ved ligninger. Der gælder, at hvis vi ganger med et udtryk, der altid er positivt, er det i orden. Men hvis vi ganger med et negativt udtryk, skal vi vende ulighedstegnet (se næste afsnit). Og ligesom ved ligninger må vi selvfølgelig ikke gange med et udtryk, der er nul!

Hvad betyder et altid positivt udtryk? Det enkleste udtryk, der altid er positivt, er et positivt tal. Hvis vi altså har uligheden x>2, kan vi gange den med ti, som er et positivt tal, og ulighedens løsninger ændrer sig ikke. Vi får uligheden 10x>20. Vi kan selvfølgelig også dividere med et positivt tal, så af denne omformede ulighed kan vi ved at dividere med fem få uligheden 2x>4.

Men vi kan ikke bare gange uligheden med variablen x, for generelt kan variablen x antage både positive og negative værdier, og det er ikke tilladt. Der findes dog situationer, hvor x altid er positivt. Hvis vi for eksempel regner en geometrisk opgave, er det muligt, at variablen x repræsenterer længden af et linjestykke. En længde kan ikke være negativ (i værste fald nul), så hvis vi ved, at x er lig med længden af et linjestykke, kan vi gange uligheden med variablen x.

Et andet udtryk, der altid er ikke-negativt, er kvadratet. Hvis du opløfter et tal i anden potens, bliver det positivt (eller nul). Hvis vi altså har uligheden

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

kan vi gange den med udtrykket x². Vi får: 1>2x². Selvfølgelig under forudsætning af, at x ikke er lig med nul. Der findes flere funktioner, som altid er positive. De trigonometriske funktioner sinus og cosinus har for eksempel som værdimængde mængden [−1; 1]. Den er ikke altid positiv. Men hvis vi lægger to til dem, får vi værdimængden [1; 3], som allerede er et positivt interval. Med en sådan funktion kunne vi gange uligheden. Hvis vi altså havde uligheden

$$\frac{x+3}{\cos (x)+3}\le 3x-5,$$

kan vi gange hele uligheden med udtrykket cos(x) + 3, fordi det er en altid positiv funktion. Vi får:

$$x+3\le (3x-5)(\cos (x)+3).$$

Multiplikation af en ulighed med et altid negativt udtryk

Med negative tal og udtryk er situationen mere kompliceret. Se et eksempel: 1<2. Denne ulighed gælder helt sikkert. Hvad hvis vi ganger hele uligheden med minus en? Vi får −1<−2. Gælder denne ulighed? Nej, minus to er mindre end minus en. Multiplikation med et negativt tal er åbenbart ikke en ækvivalent omformning af uligheden.

Men hvis vi ved multiplikation med et negativt tal samtidig vender ulighedstegnet, bliver det en ækvivalent omformning. Hvis vi ganger uligheden 1<2 med −1 og samtidig skriver > i stedet for <, foretager vi en ækvivalent omformning og får uligheden −1>−2.

Multiplikation med negative tal er enkel, værre er situationen ved multiplikation med udtryk (funktioner). Hvorfor kan vi ikke gange uligheden med variablen x? Fordi hvis variablen antog positive værdier, skulle ulighedstegnet ikke ændres. Hvis den antog negative værdier, skulle vi vende ulighedstegnet. Generelt kan begge tilfælde forekomme; hvis vi ikke har begrænset x på nogen måde, kan variablen være både negativ og positiv. Et eksempel:

$$\frac{1}{x}>1$$

En forkert fremgangsmåde ville være at gange uligheden med variablen x. Så ville vi nemlig få 1>x, altså at løsningerne er alle de x, som er mindre end en (selvfølgelig stadig med betingelsen, at x er forskellig fra nul). Men hvad hvis vi i den oprindelige ulighed indsætter tallet −1 for x? Vi får:

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{-1}& >& 1\\ -1& >& 1\end{array}$$

hvilket bestemt ikke er sandt. Derfor kan vi ikke bare gange uligheden med variablen x.

Men ligesom vi i det foregående afsnit havde udtryk, der altid er positive, kan vi have udtryk, der altid er negative. Det får vi lettest ved at sætte et minus foran et altid positivt udtryk. I det foregående afsnit nævnte vi, at funktionen cos(x) + 3 altid er positiv. Hvis vi sætter et minus foran hele udtrykket, får vi en altid negativ funktion: −(cos(x) + 3).

Opløftning i potens og udtrækning af rod i en ulighed med et naturligt tal

Opløftning i potens af en ulighed er generelt ikke en ækvivalent omformning, ligesom ved ligninger. Se på følgende ulighed: x>−2. Hvad hvis vi kvadrerer den? Vi får: x²>4. Er det en ækvivalent ulighed? Hvad sker der, hvis vi indsætter nul for x i begge uligheder? I det første tilfælde har vi 0>−2, hvilket er sandt. I det andet tilfælde har vi 0>4, hvilket ikke er sandt. Vi har altså ikke foretaget en ækvivalent omformning.

Hvornår kan vi opløfte en ulighed i en potens med et naturligt tal? Hvis begge sider er ikke-negative (positive eller nul). Så er det ganske uproblematisk. Et eksempel:

$$\begin{array}{rcl}5& >& 2{/}^2\\ 25& >& 4\end{array}$$

Et andet eksempel kan være den numeriske værdi, som giver os et ikke-negativt tal. Denne ulighed kan vi altså uden bekymring kvadrere:

$$\begin{array}{rcl}|x|& <& 3{/}^2\\ |x{|}^2& <& 9\end{array}$$

Roden opfører sig helt på samme måde som potensen. Hvis begge sider er ikke-negative, kan vi tage en rod med et naturligt tal som rodeksponent af uligheden. Den foregående ulighed kan vi altså pænt føre tilbage til den oprindelige form ved at tage kvadratroden:

$$\begin{array}{rcl}|x{|}^2& <& 9/\sqrt{}\\ |x|& <& 3\end{array}$$

Fjernelse af overflødige udtryk

Ofte løser vi en ulighed på formen f(x)>0. I så fald sker det, at funktionen f er sammensat og kunne forenkles ved at udelade nogle udtryk. Se på følgende ulighed: 2x>0. Denne ulighed er åbenbart opfyldt, når x>0. Hvis x er negativt, er 2x også negativt. Hvis vi ganger et negativt tal med to, forbliver tallet negativt. Totallet har ikke kraft til at ændre fortegnet på det udtryk, det ganger.

Vi kan også prøve at løse uligheder som 5x>0, 157x>0 og π x>0. I alle tilfælde bliver løsningen den samme, x>0. En positiv koefficient foran x ændrer slet ikke ulighedens løsninger.

Formelt slipper vi af med disse koefficienter ved at dividere uligheden med den givne koefficient, sådan her:

$$\begin{array}{rcl}2x& >& 0/:2\\ x& >& 0\end{array}$$

Pas på, at for at kunne fjerne en positiv koefficient, lad os kalde den a, skal den nødvendigvis gange hele venstresiden. Vi kan ikke fjerne totallet fra denne ulighed: 2x + 7>0, fordi to ikke ganger hele venstresiden. Men vi kan dividere hele uligheden med to og får uligheden x + 3,5>0.

Tilsvarende dette eksempel:

$$x^2\cdot (x-3)>0$$

Det ser måske kompliceret ud, men udtrykket x² er altid ikke-negativt, så det ændrer ikke fortegnet på den følgende parentes. Dette udtryk kan vi derfor fjerne fra uligheden — vi dividerer uligheden med x² og får:

$$x-3>0$$

Vi skal bare tilføje betingelsen, at x² ≠ 0, fordi vi ikke kan dividere med nul. Men x² er kun nul, når x er nul, og for x = 0 er uligheden ikke opfyldt. Vi får nemlig (x = 0): 0(0 − 3)>0, og 0>0 er ikke sandt.

Det er ingen ekstra metode, bare en snedig anvendelse af det foregående punkt om multiplikation og division med et positivt udtryk.