Transformaciones equivalentes de inecuaciones
Al transformar inecuaciones usamos transformaciones equivalentes, que se caracterizan por no cambiar la validez de la inecuación. El objetivo de las transformaciones equivalentes es llevar la inecuación a una forma más sencilla, de la que ya podamos calcular el resultado.
Qué es una inecuación
Sean dos funciones f(x) y g(x). Por inecuación entendemos entonces expresiones de una de estas formas:
La solución de la inecuación son todos los x (normalmente) del conjunto de los números reales para los que se cumple la inecuación. Un ejemplo de inecuación: 6x<12. Aquí f(x) = 6x y g(x) = 12. 6x es el primer miembro de la inecuación y 12, el segundo. La solución de esta inecuación son todos los x menores que dos: x<2. Es decir, el intervalo (−∞, 2).
Intercambiar los miembros cambiando el signo
En las ecuaciones podíamos intercambiar sin miedo el segundo miembro por el primero. En las inecuaciones no podemos hacerlo. Por ejemplo, si tenemos la inecuación x<5, no puede cumplirse a la vez 5 < x. En el primer caso x es menor que cinco; en el segundo, x es mayor que cinco. Sin embargo, si al intercambiar los miembros cambiamos a la vez el signo de la desigualdad, ya se tratará de transformaciones equivalentes.
Así, si tenemos la inecuación f(x) < g(x), también podemos escribir g(x) > f(x). Hemos cambiado los miembros, pero a la vez hemos escrito > en lugar de <. Análogamente para menor o igual: la inecuación f(x) ≤ g(x) podemos transformarla en g(x) ≥ f(x).
Sumar una expresión
A una inecuación podemos sumarle un número o una función que esté definida en el mismo conjunto en el que resolvemos la inecuación. Ejemplo: tenemos la inecuación x>0. A esta inecuación podemos sumarle, por ejemplo, el número tres. Obtenemos la inecuación x + 3>3. Tiene lógica.
Del mismo modo podemos sumar una función entera. Si tenemos la inecuación x > −3x + 7, podemos sumar a la inecuación 3x y obtenemos:
Por supuesto, también podemos restar una expresión; es decir, podemos sumar un número negativo.
Multiplicar la inecuación por una expresión positiva
A una inecuación ya no podemos multiplicarla sin más por una expresión cualquiera, como podíamos hacer con las ecuaciones. Si multiplicamos por una expresión que es siempre positiva, no hay problema. Pero si multiplicamos por una expresión negativa, debemos cambiar el signo de la desigualdad (véase el apartado siguiente). ¡Por supuesto, igual que en las ecuaciones, no podemos multiplicar por una expresión nula!
¿Qué significa una expresión siempre positiva? La expresión más sencilla que es siempre positiva es un número positivo. Así, si tenemos la inecuación x>2, podemos multiplicarla por diez, que es un número positivo, y la validez de la inecuación no cambia. Obtenemos la inecuación 10x>20. Por supuesto, también podemos dividir entre un número positivo, de modo que de esta inecuación transformada podemos obtener, dividiendo entre cinco, la inecuación 2x>4.
Lo que no podemos hacer es multiplicar la inecuación sin más por la variable x, porque en general la variable x puede tomar tanto valores positivos como negativos y eso no es admisible. Pero hay situaciones en las que x será siempre positiva. Por ejemplo, si resolvemos un problema de geometría, es posible que la variable x represente la longitud de un segmento. La longitud no puede ser negativa (como mucho, nula), así que si sabemos que x será igual a la longitud de un segmento, podemos multiplicar la inecuación por la variable x.
Otra expresión siempre no negativa es el cuadrado. Si elevas un número al cuadrado, será positivo (o nulo). Así, si tenemos la inecuación
podemos multiplicarla por la expresión x2. Obtenemos: 1>2x2. Por supuesto, con la condición de que x no sea igual a cero. Existen más funciones que son siempre positivas. Las funciones trigonométricas seno y coseno tienen como recorrido el conjunto [−1, 1]. Eso no es siempre positivo. Pero si les sumamos un dos, obtenemos el recorrido [1, 3], que ya es un intervalo positivo. Una función así sí podríamos usarla para multiplicar una inecuación. Así que, si tuviéramos la inecuación
podemos multiplicarla entera por la expresión cos(x) + 3, porque es una función siempre positiva. Obtenemos:
Multiplicar la inecuación por una expresión siempre negativa
Con los números y las expresiones negativas la situación ya es más complicada. Observa un ejemplo: 1<2. Esta desigualdad se cumple, sin duda. ¿Qué pasa si multiplicamos toda la desigualdad por menos uno? Obtenemos −1<−2. ¿Se cumple esta desigualdad? No se cumple, menos dos es menor que menos uno. Multiplicar por un número negativo, evidentemente, no es una transformación equivalente de una inecuación.
Sin embargo, si al multiplicar por un número negativo cambiamos a la vez el signo de la desigualdad, entonces sí será una transformación equivalente. Si multiplicamos la desigualdad 1<2 por −1 y a la vez escribimos > en lugar de <, hacemos una transformación equivalente y obtenemos la desigualdad −1>−2.
Multiplicar por números negativos es sencillo; peor es la situación al multiplicar por expresiones (funciones). ¿Por qué no podemos multiplicar la inecuación por la variable x? Porque si la variable tomara valores positivos, el signo no cambiaría. Si tomara valores negativos, tendríamos que cambiar el signo. En general pueden darse ambos casos; si x no tiene ninguna restricción, la variable puede ser tanto negativa como positiva. Ejemplo:
Un procedimiento incorrecto sería multiplicar la inecuación por la variable x. Obtendríamos 1>x, es decir, la solución serían todos los x menores que uno (por supuesto, aún con la condición de que x sea distinto de cero). ¿Pero qué pasa si en la inecuación original sustituimos x por el número −1? Obtenemos:
lo cual, evidentemente, no es verdad. Por eso no podemos multiplicar la inecuación sin más por la variable x.
Sin embargo, igual que en el apartado anterior teníamos expresiones que son siempre positivas, podemos tener expresiones que son siempre negativas. Las obtenemos de la forma más sencilla poniendo un signo menos delante de una expresión siempre positiva. En el apartado anterior vimos que la función cos(x) + 3 es siempre positiva. Si ponemos un menos delante de toda la expresión, obtenemos una función siempre negativa: −(cos(x) + 3).
Elevar una inecuación a una potencia natural y extraer su raíz
Elevar una inecuación a una potencia no es, en general, una transformación equivalente, igual que en las ecuaciones. Observa la inecuación siguiente: x>−2. ¿Qué pasa si la elevamos al cuadrado? Obtenemos: x2>4. ¿Es una inecuación equivalente? ¿Qué ocurre si sustituimos x por cero en ambas inecuaciones? En la primera tenemos 0>−2, que es verdad. En la segunda tenemos 0>4, que no es verdad. No hemos hecho, pues, una transformación equivalente.
¿Cuándo podemos elevar una inecuación a una potencia con exponente natural? Si ambos miembros son no negativos (positivos o nulos). Entonces ya no habrá problemas. Ejemplo:
Otro ejemplo puede ser el valor absoluto, que nos devuelve un número no negativo. Así, esta inecuación podemos elevarla al cuadrado sin miedo:
Exactamente igual que la potencia se comporta la raíz. Si ambos miembros son no negativos, podemos extraer en ambos miembros de la inecuación una raíz de índice natural. Así, a la inecuación anterior podemos volver a extraerle la raíz y recuperar su forma original:
Eliminar expresiones innecesarias
A menudo resolvemos una inecuación de la forma f(x)>0. En tal caso a veces ocurre que la función f es complicada y podría simplificarse omitiendo algunas expresiones. Observa la inecuación siguiente: 2x>0. Esta inecuación tiene evidentemente solución cuando x>0. Si x es negativo, también 2x es negativo. Si multiplicamos por dos un número negativo, el número sigue siendo negativo. El dos no tiene fuerza para cambiar, tras la multiplicación, el signo de la expresión siguiente.
Podemos probar a resolver también las inecuaciones 5x>0, 157x>0 y π x>0. En todos los casos la solución será la misma, x>0. Un coeficiente positivo delante de x no cambia en absoluto la validez de la inecuación.
Formalmente nos libramos de estos coeficientes dividiendo la inecuación entre el coeficiente dado, así:
Ojo: para poder eliminar un coeficiente positivo, llamémoslo a, este debe multiplicar necesariamente a todo el primer miembro. No podemos eliminar el dos de esta inecuación: 2x + 7>0, porque el dos no multiplica a todo el primer miembro. Pero sí podemos dividir toda la inecuación entre dos y obtenemos la inecuación x + 3,5>0.
Del mismo modo, este ejemplo:
Quizá parezca complicado; sin embargo, la expresión x2 es siempre no negativa, así que no nos cambiará el signo del paréntesis siguiente. Podemos, pues, eliminar esta expresión de la inecuación: dividimos la inecuación entre x2 y obtenemos:
Solo tenemos que añadir la condición de que x2 ≠ 0, porque no podemos dividir entre cero. Ahora bien, x2 es nulo solo cuando x es nulo, y para x = 0 no se cumple la desigualdad. Obtenemos, en efecto, (x = 0): 0(0 − 3)>0 y 0>0 no es verdad.
No es ningún método especial, es solo una aplicación hábil del punto anterior sobre multiplicar y dividir por una expresión positiva.
Capítulos: Transformaciones equivalentes de ecuaciones, Transformaciones equivalentes de inecuaciones
