Ekvivalenta omformningar av olikheter
När vi formar om olikheter använder vi ekvivalenta omformningar, som kännetecknas av att de inte ändrar olikhetens lösningar. Meningen med ekvivalenta omformningar är att få olikheten på en enklare form, från vilken vi redan kan beräkna lösningen.
Vad är en olikhet
Vi har två funktioner f(x) och g(x). Med en olikhet menar vi då ett uttryck på en av följande former:
Lösningen till en olikhet är alla x i (vanligen) mängden av reella tal för vilka olikheten är uppfylld. Ett exempel på en olikhet är 6x<12. Här är f(x) = 6x och g(x) = 12. 6x är olikhetens vänsterled och 12 är högerledet. Lösningen är alla x som är mindre än två: x<2. Det är alltså intervallet ]−∞, 2[.
Byte av led med ändrat olikhetstecken
Vid ekvationer kunde vi utan oro byta plats på högerled och vänsterled. Det kan vi inte göra med olikheter. Om vi till exempel har olikheten x<5 kan det inte samtidigt gälla att 5 < x. I det första fallet är x mindre än fem, i det andra är x större än fem. Men om vi samtidigt med bytet av led ändrar olikhetstecknet blir det en ekvivalent omformning.
Om vi alltså har olikheten f(x) < g(x) kan vi också skriva g(x) > f(x). Vi bytte led, men skrev samtidigt > i stället för <. På samma sätt för mindre än eller lika med: olikheten f(x) ≤ g(x) kan vi forma om till g(x) ≥ f(x).
Addition av ett uttryck
Till en olikhet kan vi addera ett tal eller en funktion som är definierad på samma mängd som den vi löser olikheten på. Exempel: vi har olikheten x>0. Till den kan vi till exempel addera talet tre. Då får vi olikheten x + 3>3. Det är logiskt.
På samma sätt kan vi addera en hel funktion. Om vi har olikheten x > −3x + 7 kan vi addera 3x till olikheten och får:
Vi kan förstås också subtrahera ett uttryck, alltså addera ett negativt tal.
Multiplikation av en olikhet med ett positivt uttryck
En olikhet kan vi inte längre bara multiplicera med ett godtyckligt uttryck, som vi kunde göra med ekvationer. Multiplicerar vi med ett uttryck som alltid är positivt går det bra. Men multiplicerar vi med ett negativt uttryck måste vi vända olikhetstecknet (se nästa avsnitt). Och precis som vid ekvationer får vi förstås inte multiplicera med ett uttryck som är noll!
Vad menas med ett uttryck som alltid är positivt? Det enklaste uttrycket som alltid är positivt är ett positivt tal. Om vi har olikheten x>2 kan vi alltså multiplicera den med tio, som är ett positivt tal, och olikhetens lösningar ändras inte. Vi får olikheten 10x>20. Vi kan förstås också dividera med ett positivt tal, så av den här omformade olikheten kan vi genom division med fem få olikheten 2x>4.
Men vi kan inte bara multiplicera en olikhet med variabeln x, eftersom variabeln x i allmänhet kan anta både positiva och negativa värden, och det är inte tillåtet. Det finns dock situationer där x alltid är positivt. Om vi till exempel räknar en geometriuppgift kan det hända att variabeln x står för längden av en sträcka. En längd kan inte vara negativ (i värsta fall noll), så om vi vet att x är lika med längden av någon sträcka kan vi multiplicera olikheten med variabeln x.
Ett annat alltid icke-negativt uttryck är en kvadrat. Om du kvadrerar ett tal blir det positivt (eller noll). Om vi alltså har olikheten
kan vi multiplicera den med uttrycket x2. Vi får: 1>2x2. Förstås under villkoret att x inte är lika med noll. Det finns fler funktioner som alltid är positiva. De trigonometriska funktionerna sinus och cosinus har som värdemängd intervallet [−1, 1]. Det är inte alltid positivt. Men om vi adderar två till dem får vi värdemängden [1, 3], och det är ett positivt intervall. Med en sådan funktion kunde vi multiplicera en olikhet. Om vi till exempel hade olikheten
kan vi multiplicera hela den med uttrycket cos(x) + 3, eftersom det är en alltid positiv funktion. Vi får:
Multiplikation av en olikhet med ett alltid negativt uttryck
Med negativa tal och uttryck blir situationen mer komplicerad. Titta på det här exemplet: 1<2. Den olikheten gäller förstås. Vad händer om vi multiplicerar hela olikheten med minus ett? Vi får −1<−2. Gäller den olikheten? Nej, minus två är mindre än minus ett. Multiplikation med ett negativt tal är alltså uppenbarligen ingen ekvivalent omformning av en olikhet.
Men om vi samtidigt med multiplikationen med ett negativt tal vänder olikhetstecknet blir det en ekvivalent omformning. Om vi multiplicerar olikheten 1<2 med −1 och samtidigt skriver > i stället för < gör vi en ekvivalent omformning och får olikheten −1>−2.
Multiplikation med negativa tal är enkelt, värre är det vid multiplikation med uttryck (funktioner). Varför kan vi inte multiplicera en olikhet med variabeln x? Därför att om variabeln antog positiva värden skulle olikhetstecknet inte ändras. Om den antog negativa värden skulle vi vända olikhetstecknet. I allmänhet kan båda fallen inträffa, om vi inte har begränsat x på något sätt kan variabeln vara både negativ och positiv. Exempel:
Ett felaktigt tillvägagångssätt vore att multiplicera olikheten med variabeln x. Då skulle vi få 1>x, alltså att lösningen är alla x som är mindre än ett (förstås med villkoret att x är skilt från noll). Men vad händer om vi sätter in −1 för x i den ursprungliga olikheten? Vi får:
vilket förstås inte stämmer. Därför kan vi inte bara multiplicera olikheten med variabeln x.
Men på samma sätt som vi i förra avsnittet hade uttryck som alltid är positiva kan vi ha uttryck som alltid är negativa. Enklast får vi dem genom att sätta ett minustecken framför ett alltid positivt uttryck. I förra avsnittet såg vi att funktionen cos(x) + 3 alltid är positiv. Sätter vi ett minus framför hela uttrycket får vi en alltid negativ funktion: −(cos(x) + 3).
Potensering och rotutdragning av en olikhet med ett positivt heltal
Potensering av en olikhet är i allmänhet ingen ekvivalent omformning, på samma sätt som vid ekvationer. Titta på följande olikhet: x>−2. Vad händer om vi kvadrerar den? Vi får: x2>4. Är det en ekvivalent olikhet? Vad händer om vi sätter in noll för x i båda olikheterna? I det första fallet har vi 0>−2, vilket är sant. I det andra fallet har vi 0>4, vilket inte är sant. Vi gjorde alltså ingen ekvivalent omformning.
När kan vi upphöja en olikhet till ett positivt heltal? Om båda leden är icke-negativa (positiva eller noll). Då blir det inga problem. Ett exempel:
Ett annat exempel är absolutbeloppet, som ger oss ett icke-negativt tal. Den här olikheten kan vi alltså utan oro kvadrera:
Precis som potensen beter sig också roten. Om båda leden är icke-negativa kan vi dra roten ur båda leden med ett positivt heltal som rotexponent. Den förra olikheten kan vi alltså fint dra roten ur och komma tillbaka till den ursprungliga formen:
Att ta bort onödiga uttryck
Ofta löser vi en olikhet på formen f(x)>0. Då händer det att funktionen f är komplicerad och kan förenklas genom att några uttryck tas bort. Titta på följande olikhet: 2x>0. Den har uppenbarligen lösningen x>0. Om x är negativt är också 2x negativt. Om vi multiplicerar ett negativt tal med två förblir talet negativt. Tvåan orkar inte ändra tecknet på uttrycket som följer.
Vi kan också prova att lösa olikheterna 5x>0, 157x>0 och π x>0. I alla fallen blir lösningen densamma, x>0. En positiv koefficient framför x ändrar inte olikhetens lösningar.
Formellt blir vi av med sådana koefficienter genom att dividera olikheten med koefficienten, så här:
Observera att för att vi ska kunna ta bort en positiv koefficient, som vi kallar a, måste den nödvändigtvis multiplicera hela vänsterledet. Vi kan inte ta bort tvåan i den här olikheten: 2x + 7>0, eftersom tvåan inte multiplicerar hela vänsterledet. Men vi kan dividera hela olikheten med två, och då får vi olikheten x + 3,5>0.
Likadant är det med det här exemplet:
Det kanske ser komplicerat ut, men uttrycket x2 är alltid icke-negativt, så det ändrar inte tecknet på parentesen som följer. Det uttrycket kan vi alltså ta bort ur olikheten – vi dividerar olikheten med x2 och får:
Vi måste bara lägga till villkoret att x2 ≠ 0, eftersom vi inte kan dividera med noll. Men x2 är noll bara när x är noll, och för x = 0 är olikheten inte uppfylld. Vi får nämligen (x = 0): 0(0 − 3)>0, och 0>0 är inte sant.
Det här är ingen extra metod, det är bara en smidig tillämpning av föregående punkt om multiplikation och division med ett positivt uttryck.
Kapitel: Ekvivalenta omformningar av ekvationer, Ekvivalenta omformningar av olikheter
