Epäyhtälön yhtäpitävät muunnokset

Epäyhtälöitä muokatessa käytetään yhtäpitäviä muunnoksia, joille on ominaista, etteivät ne muuta epäyhtälön ratkaisuja. Yhtäpitävien muunnosten tarkoituksena on saattaa epäyhtälö yksinkertaisempaan muotoon, josta epäyhtälön tulos voidaan jo laskea.

Mikä on epäyhtälö

Olkoon annettu kaksi funktiota f(x) ja g(x). Epäyhtälöllä tarkoitetaan lausekkeita, jotka ovat jossakin seuraavista muodoista:

$$\begin{array}{rcl}f(x)<g(x),& & f(x)>g(x)\\ f(x)\le g(x),& & f(x)\ge g(x)\end{array}$$

Epäyhtälön ratkaisuja ovat kaikki (yleensä) reaalilukujen joukkoon kuuluvat x, joilla epäyhtälö toteutuu. Esimerkki epäyhtälöstä: 6x<12. Tässä f(x) = 6x ja g(x) = 12. 6x on epäyhtälön vasen puoli ja 12 oikea puoli. Tämän epäyhtälön ratkaisuja ovat kaikki x, jotka ovat pienempiä kuin kaksi: x<2. Eli väli ]−∞, 2[.

Puolten vaihtaminen ja epäyhtälömerkin muuttaminen

Yhtälöissä voitiin huoletta vaihtaa oikea puoli vasemmaksi. Epäyhtälöissä tätä ei voi tehdä. Jos esimerkiksi on epäyhtälö x<5, ei voi samalla päteä 5 < x. Ensimmäisessä tapauksessa x on pienempi kuin viisi, toisessa x on suurempi kuin viisi. Jos kuitenkin puolten vaihtamisen yhteydessä muutetaan myös epäyhtälömerkki, kyse on jo yhtäpitävästä muunnoksesta.

Jos siis on epäyhtälö f(x) < g(x), voi kirjoittaa myös g(x) > f(x). Puolet vaihdettiin, mutta samalla kirjoitettiin merkin < tilalle >. Samoin pienempi tai yhtä suuri: epäyhtälön f(x) ≤ g(x) voi muuntaa muotoon g(x) ≥ f(x).

Lausekkeen lisääminen

Epäyhtälöön voi lisätä luvun tai funktion, joka on määritelty samassa joukossa, jossa epäyhtälöä ratkaistaan. Esimerkki: olkoon epäyhtälö x>0. Tähän epäyhtälöön voi lisätä vaikkapa luvun kolme. Saadaan epäyhtälö x + 3>3. Siinä on järkeä.

Samoin voi lisätä kokonaisen funktion. Jos on epäyhtälö x > −3x + 7, siihen voi lisätä 3x ja saadaan:

$$\begin{array}{rcl}x& >& -3x+7/+3x\\ x+3x& >& -3x+3x+7\\ 4x& >& 7\end{array}$$

Lausekkeen voi tietenkin myös vähentää — eli voi lisätä negatiivisen luvun.

Epäyhtälön kertominen positiivisella lausekkeella

Epäyhtälöä ei voi enää noin vain kertoa millä tahansa lausekkeella, kuten yhtälöä voitiin. Jos kerrotaan lausekkeella, joka on aina positiivinen, kaikki on kunnossa. Mutta jos kerrotaan negatiivisella lausekkeella, epäyhtälömerkki on käännettävä (ks. seuraava luku). Kuten yhtälöissäkin, nollalla ei tietenkään saa kertoa!

Mitä tarkoittaa aina positiivinen lauseke? Yksinkertaisin aina positiivinen lauseke on positiivinen luku. Jos siis on epäyhtälö x>2, sen voi kertoa kymmenellä, joka on positiivinen luku, eivätkä epäyhtälön ratkaisut muutu. Saadaan epäyhtälö 10x>20. Voi tietenkin myös jakaa positiivisella luvulla, joten tästä muunnetusta epäyhtälöstä saadaan jakamalla viidellä epäyhtälö 2x>4.

Epäyhtälöä ei kuitenkaan voi noin vain kertoa muuttujalla x, koska muuttuja x voi yleensä saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja, eikä se ole sallittua. On kuitenkin tilanteita, joissa x on aina positiivinen. Jos esimerkiksi lasketaan jotakin geometrian tehtävää, muuttuja x voi esittää jonkin janan pituutta. Pituus ei voi olla negatiivinen (korkeintaan nolla), joten jos tiedetään, että x on jonkin janan pituus, epäyhtälön voi kertoa muuttujalla x.

Toinen aina ei-negatiivinen lauseke on toinen potenssi. Kun luku korotetaan toiseen potenssiin, tulos on positiivinen (tai nolla). Jos siis on epäyhtälö

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

sen voi kertoa lausekkeella x². Saadaan: 1>2x². Tietenkin sillä ehdolla, ettei x ole nolla. Aina positiivisia funktioita on useampia. Trigonometristen funktioiden sinin ja kosinin arvojoukko on [−1, 1]. Se ei ole aina positiivinen. Mutta jos niihin lisätään kaksi, arvojoukoksi tulee [1, 3], mikä on jo positiivinen väli. Tällaisella funktiolla voisi epäyhtälön kertoa. Jos siis olisi epäyhtälö

$$\frac{x+3}{\cos (x)+3}\le 3x-5,$$

sen voi kertoa kokonaan lausekkeella cos(x) + 3, koska se on aina positiivinen funktio. Saadaan:

$$x+3\le (3x-5)(\cos (x)+3).$$

Epäyhtälön kertominen aina negatiivisella lausekkeella

Negatiivisten lukujen ja lausekkeiden kanssa tilanne on monimutkaisempi. Katso esimerkkiä: 1<2. Tämä epäyhtälö varmasti pätee. Entä jos koko epäyhtälö kerrotaan miinus yhdellä? Saadaan −1<−2. Päteekö tämä epäyhtälö? Ei päde, miinus kaksi on pienempi kuin miinus yksi. Negatiivisella luvulla kertominen ei siis selvästikään ole epäyhtälön yhtäpitävä muunnos.

Jos kuitenkin negatiivisella luvulla kerrottaessa muutetaan samalla epäyhtälömerkki, kyse on jo yhtäpitävästä muunnoksesta. Kun epäyhtälö 1<2 kerrotaan luvulla −1 ja kirjoitetaan samalla merkin < tilalle >, tehdään yhtäpitävä muunnos ja saadaan epäyhtälö −1>−2.

Negatiivisilla luvuilla kertominen on helppoa, vaikeampaa on lausekkeiden (funktioiden) kanssa. Miksi epäyhtälöä ei voi kertoa muuttujalla x? Koska jos muuttuja saisi positiivisia arvoja, merkki ei muuttuisi. Jos se saisi negatiivisia arvoja, merkki pitäisi kääntää. Yleensä voi tapahtua kumpi tahansa, jos x:ää ei ole mitenkään rajoitettu, muuttuja voi olla sekä negatiivinen että positiivinen. Esimerkki:

$$\frac{1}{x}>1$$

Väärä menettely olisi kertoa epäyhtälö muuttujalla x. Saataisiin nimittäin 1>x, eli ratkaisuja olisivat kaikki x, jotka ovat pienempiä kuin yksi (tietenkin vielä sillä ehdolla, että x on erisuuri kuin nolla). Mutta mitä jos alkuperäiseen epäyhtälöön sijoitetaan x:n paikalle luku −1? Saadaan:

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{-1}& >& 1\\ -1& >& 1\end{array}$$

mikä ei varmasti ole totta. Siksi epäyhtälöä ei voi noin vain kertoa muuttujalla x.

Samoin kuin edellisessä luvussa oli aina positiivisia lausekkeita, voi olla myös aina negatiivisia lausekkeita. Helpoimmin ne saadaan laittamalla aina positiivisen lausekkeen eteen miinus. Edellisessä luvussa todettiin, että funktio cos(x) + 3 on aina positiivinen. Kun koko lausekkeen eteen laitetaan miinus, saadaan aina negatiivinen funktio: −(cos(x) + 3).

Epäyhtälön korottaminen positiiviseen kokonaislukupotenssiin ja juuren ottaminen

Epäyhtälön korottaminen potenssiin ei yleensä ole yhtäpitävä muunnos, aivan kuten yhtälöissäkään. Katso seuraavaa epäyhtälöä: x>−2. Entä jos se korotetaan toiseen potenssiin? Saadaan: x²>4. Onko tämä yhtäpitävä epäyhtälö? Mitä tapahtuu, kun molempiin epäyhtälöihin sijoitetaan x:n paikalle nolla? Ensimmäisessä tapauksessa on 0>−2, mikä on totta. Toisessa tapauksessa on 0>4, mikä ei ole totta. Muunnos ei siis ollut yhtäpitävä.

Milloin epäyhtälön voi korottaa potenssiin, jonka eksponentti on positiivinen kokonaisluku? Jos molemmat puolet ovat ei-negatiivisia (positiivisia tai nollia). Silloin ongelmia ei ole. Esimerkki:

$$\begin{array}{rcl}5& >& 2{/}^2\\ 25& >& 4\end{array}$$

Toinen esimerkki voisi olla itseisarvo, joka palauttaa ei-negatiivisen luvun. Tämän epäyhtälön voi siis huoletta korottaa toiseen potenssiin:

$$\begin{array}{rcl}|x|& <& 3{/}^2\\ |x{|}^2& <& 9\end{array}$$

Aivan kuten potenssi käyttäytyy myös juuri. Jos molemmat puolet ovat ei-negatiivisia, epäyhtälöstä voi ottaa juuren, jonka indeksi on positiivinen kokonaisluku. Edellisestä epäyhtälöstä voi siis ottaa neliöjuuren, ja se palaa kauniisti alkuperäiseen muotoonsa:

$$\begin{array}{rcl}|x{|}^2& <& 9/\sqrt{}\\ |x|& <& 3\end{array}$$

Tarpeettomien lausekkeiden poistaminen

Usein ratkaistaan epäyhtälöä, joka on muotoa f(x)>0. Tällöin funktio f on joskus monimutkainen, ja sitä voisi yksinkertaistaa jättämällä joitakin lausekkeita pois. Katso seuraavaa epäyhtälöä: 2x>0. Tällä epäyhtälöllä on selvästi ratkaisu, kun x>0. Jos x on negatiivinen, myös 2x on negatiivinen. Kun negatiivinen luku kerrotaan kahdella, luku pysyy negatiivisena. Kakkosella ei ole voimaa muuttaa seuraavan lausekkeen merkkiä kertomalla.

Kokeillaan vielä ratkaista epäyhtälöt 5x>0, 157x>0 ja π x>0. Kaikissa tapauksissa ratkaisu on sama, x>0. Positiivinen kerroin x:n edessä ei mitenkään muuta epäyhtälön ratkaisuja.

Muodollisesti näistä kertoimista päästään eroon jakamalla epäyhtälö kyseisellä kertoimella, näin:

$$\begin{array}{rcl}2x& >& 0/:2\\ x& >& 0\end{array}$$

Huomaa, että jotta positiivisen kertoimen, merkitään sitä a, voi poistaa, sen on välttämättä kerrottava koko vasen puoli. Kakkosta ei voi poistaa tästä epäyhtälöstä: 2x + 7>0, koska kakkonen ei kerro koko vasenta puolta. Voi kuitenkin jakaa koko epäyhtälön kahdella, ja saadaan epäyhtälö x + 3,5>0.

Samoin tämä esimerkki:

$$x^2\cdot (x-3)>0$$

Tämä voi näyttää monimutkaiselta, mutta lauseke x² on aina ei-negatiivinen, joten se ei muuta seuraavan sulkulausekkeen merkkiä. Tämän lausekkeen voi siis poistaa epäyhtälöstä — jaetaan epäyhtälö x²:lla ja saadaan:

$$x-3>0$$

Täytyy vain lisätä ehto x² ≠ 0, koska nollalla ei voi jakaa. Toisaalta x² on nolla vain, kun x on nolla, ja arvolla x = 0 epäyhtälö ei toteudu. Saadaan nimittäin (x = 0): 0(0 − 3)>0, ja 0>0 ei ole totta.

Tämä ei ole mikään erityinen menetelmä, vaan pelkkä taitava sovellus edellisen kohdan säännöstä, jossa kerrottiin ja jaettiin positiivisella lausekkeella.