Hai tam giác bằng nhau

Hai tam giác bằng nhau nếu ta cắt một tam giác ra khỏi tờ giấy và đặt được nó trùng khít lên tam giác kia. Khi đó tam giác cắt ra được phép di chuyển tuỳ ý: tịnh tiến, xoay, thậm chí lật sang mặt kia. Chỉ không được kéo giãn hay thu nhỏ nó.

Ở hai tam giác bằng nhau, các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Trên hình, các cạnh tương ứng có cùng màu: cạnh AB dài bằng KL, cạnh BC bằng LM và cạnh AC bằng KM. Ta viết như sau:

$$\mathrm{△}ABC=\mathrm{△}KLM$$

Thứ tự các đỉnh trong cách viết này không phải ngẫu nhiên: thứ tự đó cho biết đỉnh nào trùng với đỉnh nào: A với K, B với L và C với M.

Các trường hợp bằng nhau

Tam giác có sáu yếu tố: ba cạnh và ba góc. Để biết hai tam giác có bằng nhau không, không cần so sánh cả sáu yếu tố. Chỉ cần ba, miễn là chọn đúng. Bốn trường hợp bằng nhau dưới đây cho biết bộ ba nào là đủ. Trên các hình, ba yếu tố này được tô màu.

Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c): Hai tam giác có ba cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau. Hãy nhớ lại cách vẽ tam giác khi biết ba cạnh. Điểm C được tìm bằng com-pa, là giao điểm của hai đường tròn. Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm, một điểm ở phía trên cạnh AB và một điểm ở phía dưới, nhưng hai tam giác thu được chỉ là bản lật của nhau. Vậy từ ba cạnh luôn được cùng một tam giác.

Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c): Chỉ cần hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó. Góc phải nằm ở đỉnh mà hai cạnh gặp nhau.

Trường hợp góc – cạnh – góc (g.c.g): Chỉ cần một cạnh và hai góc kề cạnh đó. Các cạnh của hai góc cắt nhau tại đúng một điểm, đó là đỉnh thứ ba.

Trường hợp cạnh – cạnh – góc đối diện cạnh lớn: Chỉ cần hai cạnh và góc đối diện với cạnh lớn hơn trong hai cạnh đó. Sách giáo khoa không nêu trường hợp này; gần nhất với nó là trường hợp “cạnh huyền – cạnh góc vuông” của tam giác vuông.

Khi nào ba yếu tố không đủ

Rất dễ nghĩ rằng ba yếu tố bất kì là đủ. Không phải vậy.

Ba góc bằng nhau là chưa đủ. Tam giác có các góc như vậy có thể lớn tuỳ ý, giống như một tấm ảnh và ảnh phóng to của nó. Những tam giác như vậy có cùng hình dạng nhưng không cùng kích thước, và gọi là hai tam giác đồng dạng.

Hai cạnh và góc đối diện với cạnh nhỏ hơn cũng không đủ. Thử vẽ một tam giác như vậy. Trước hết vẽ góc α và đặt trên một cạnh của góc đoạn c = AB. Điểm C nằm trên cạnh còn lại của góc và cách điểm B một khoảng a, nên vẽ đường tròn tâm B bán kính a. Nếu a nhỏ hơn c thì đường tròn có thể cắt cạnh của góc tại hai điểm:

Hai tam giác ABC₁ và ABC₂ có các cạnh a, c và góc α bằng nhau, nhưng chúng không bằng nhau. Nếu a lớn hơn c thì đường tròn chỉ cắt cạnh của góc tại một điểm. Đó chính là nội dung của trường hợp cạnh – cạnh – góc đối diện cạnh lớn.

Ví dụ: chiều rộng con sông

Giả sử ta đứng trên bờ sông tại điểm A, và ngay đối diện ở bờ bên kia có một cây S. Làm thế nào để biết chiều rộng con sông khi không thể kéo thước dây qua sông?

Ta đi dọc bờ sông và sau 20 mét thì cắm một cái cọc P. Sau đó đi thêm 20 mét nữa đến điểm B. Tại đó rẽ theo hướng vuông góc với bờ sông, đi ra xa sông cho đến khi thấy cái cọc che khuất cái cây. Vị trí đó là điểm C.

Hai tam giác APS và BPC bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc. Hai cạnh AP và BP đều dài 20 mét. Các góc tại A và tại B đều là góc vuông. Hai góc tại cọc P là hai góc đối đỉnh, nên cũng bằng nhau. Từ đó suy ra

$$\mathrm{△}APS=\mathrm{△}BPC,$$

và cạnh BC dài bằng cạnh AS, tức là bằng chiều rộng con sông.

Giả sử từ điểm B đến điểm C ta đếm được 36 bước, mỗi bước dài khoảng 75 cm. Khi đó khoảng cách BC là

$$BC\approx 36\cdot 0,75=27\text{m}$$

Con sông rộng khoảng 27 mét, mà ta không hề bị ướt.

Xem thêm

• Cách vẽ tam giác
• Tam giác
• Dựng góc bằng góc cho trước