Đường cao của tam giác

Đường cao của tam giác là một đoạn thẳng. Một đầu mút của đoạn thẳng là một đỉnh của tam giác, đầu mút còn lại là một điểm trên cạnh đối diện của tam giác, và đường cao phải vuông góc với cạnh đó.

Tam giác nhọn

Dễ thấy nhất là qua hình vẽ:

Đường cao được kẻ từ đỉnh C. Đầu mút thứ hai nằm trên cạnh đối diện AB (tức cạnh c) và đoạn thẳng CH_c vuông góc với cạnh c. Điểm H_c gọi là chân đường cao; cạnh c gọi là cạnh đáy. Chân đường cao thường được kí hiệu bằng chữ H với chỉ số dưới là tên đỉnh xuất phát của đường cao. Trong trường hợp này đó là đỉnh C.

Vẽ đường cao khá dễ: dùng ê ke kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh c sao cho nó đi qua điểm C. Thế là xong.

Có thể kẻ đường cao từ mỗi đỉnh của tam giác. Ba đường cao cắt nhau tại một điểm gọi là trực tâm. Trực tâm có thể nằm bên trong tam giác, nhưng cũng có thể không. Với tam giác nhọn, trực tâm nằm bên trong tam giác:

Ba đường cao của tam giác được vẽ màu đỏ. Hãy để ý rằng mỗi đường cao vuông góc với cạnh tương ứng. Đường cao được kí hiệu bằng chữ in thường h với chỉ số dưới cho biết đường cao kẻ từ đỉnh nào. Chẳng hạn, đường cao BH_b được kí hiệu là h_b. Trực tâm được đánh dấu bằng điểm H màu xanh lá.

Tam giác tù

Với tam giác tù, cần dùng một mẹo nhỏ. Trực tâm nằm bên ngoài tam giác, và một số đường cao thực ra không cắt được các cạnh mà lẽ ra chúng phải cắt. Cách giải quyết là “kéo dài” các cạnh cần thiết của tam giác để mọi thứ khớp. Lại xem hình: Hình gốc là tam giác ABC vẽ bằng nét đậm. Tam giác này là tam giác tù, góc ACB lớn hơn 90 độ. Đường cao từ đỉnh C vẽ dễ dàng, nhưng với đường cao từ đỉnh B thì gặp khó. Không có đường vuông góc với cạnh AC vừa cắt cạnh AC vừa đi qua đỉnh B. Ta giải quyết bằng cách vẽ tia AC, tức là kéo dài cạnh AC đến mức cần thiết. Đường vuông góc được kẻ tới tia này, và lúc này thì tìm được. Chân đường vuông góc nằm trên tia mới vẽ. Đường cao còn lại vẽ tương tự.

Bây giờ đã vẽ đủ ba đường cao của tam giác. Vấn đề là các đường cao này không cắt nhau nên chưa tạo thành trực tâm. Để có trực tâm, ta vẽ ba tia mới theo hướng các đường cao sao cho chúng cắt nhau ở đâu đó phía trên tam giác. Bản thân các đường cao thì giữ nguyên.

Tam giác vuông

Trong tam giác vuông mọi thứ đơn giản nhất, vì hai đường cao trùng với hai cạnh của tam giác, cụ thể là hai cạnh góc vuông. Trực tâm khi đó là đỉnh đối diện với cạnh huyền.

Độ dài đường cao

Đôi khi cần tính độ dài đường cao. Xuất phát từ hình vẽ đường cao trong tam giác nhọn.

Trên hình có đường cao h_c, ta thử tính độ dài của nó. Đường cao h_c tất nhiên vuông góc với cạnh AB, và ta có thể tận dụng điều này. Xét một tam giác mới, trong đó tính đường cao dễ hơn: tam giác có các đỉnh B, C và H_c. Trên hình, tam giác này được tô màu đỏ:

Bây giờ dùng hàm số lượng giác. Ta cần biết thêm góc ở đỉnh B, tức góc β. Khi đó chỉ cần áp dụng sin, là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền. Cạnh đối ở đây là cạnh h_c, cạnh huyền là cạnh CB. Do đó:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{h_c}{BC}\\ h_c& =& \sin (\beta )\cdot BC\end{array}$$

Góc β có số đo xấp xỉ 53°8′ và cạnh BC dài 5. Thay số, ta được:

$$h_c=\sin ({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

Đường cao h_c có độ dài bằng 4.