Hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác đồng dạng có cùng hình dạng, nhưng có thể khác kích thước. Tam giác này là bản phóng to hoặc thu nhỏ của tam giác kia, giống như khi phóng to một hình bằng máy photocopy. Bản sao có thể xoay hoặc lật mà vẫn đồng dạng.

Ở hai tam giác đồng dạng, các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Trên hình, cạnh a' dài gấp đôi cạnh a, cạnh b' dài gấp đôi b và c' dài gấp đôi c. Con số này gọi là tỉ số đồng dạng, kí hiệu là k. Mỗi cạnh dài gấp k lần:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

Trên hình k = 2. Nếu k nhỏ hơn 1, chẳng hạn $k=\frac{1}{2}$, thì tam giác thứ hai ngược lại sẽ nhỏ hơn. Ta viết hai tam giác đồng dạng như sau:

$$\mathrm{△}ABC\backsim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Giống như với hai tam giác bằng nhau, thứ tự các đỉnh cho biết đỉnh nào tương ứng với đỉnh nào: đỉnh A tương ứng với đỉnh A', B với B' và C với C'. Hai tam giác bằng nhau thực chất là trường hợp đặc biệt của hai tam giác đồng dạng, với tỉ số k = 1: bản sao không lớn hơn cũng không nhỏ hơn.

Các trường hợp đồng dạng

Có thể nhận biết hai tam giác đồng dạng mà không cần kiểm tra tất cả các góc và tất cả các cạnh. Các trường hợp đồng dạng giống các trường hợp bằng nhau, chỉ khác là thay cho các cạnh bằng nhau, ta tìm các tỉ số cạnh bằng nhau.

Trường hợp góc – góc (g.g): Nếu hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì chúng đồng dạng. Không cần đo góc thứ ba. Tổng các góc trong tam giác luôn bằng 180°, nên góc thứ ba của hai tam giác cũng nhất thiết bằng nhau.

Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c): Nếu cả ba tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c): Chỉ cần hai cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ số và góc xen giữa hai cạnh đó bằng nhau.

Ví dụ: cái cây cao bao nhiêu

Trong vườn có một cái cây cao và ta muốn biết chính xác nó cao bao nhiêu. Trèo lên ngọn cây với thước dây thì không ai muốn. Vì vậy ta cắm xuống đất một cây cọc thẳng đứng cao 2 mét. Bóng của cọc dài 1,5 mét, và cùng lúc đó bóng của cây dài 12 mét.

Cái cây, bóng của nó và tia nắng tạo thành một tam giác. Tam giác thứ hai tạo bởi cây cọc, bóng của nó và tia nắng. Cọc và cây đều đứng vuông góc với mặt đất, nên cả hai tam giác đều có góc vuông ở chân. Cùng một lúc, các tia nắng chiếu xuống dưới cùng một góc, nên góc ở cuối bóng của hai tam giác cũng bằng nhau. Như vậy có hai cặp góc bằng nhau, nên theo trường hợp g.g, hai tam giác đồng dạng.

Tỉ số đồng dạng đọc được từ hai cái bóng: bóng của cây dài gấp k lần bóng của cọc:

$$k=12:1,5$$

Thực hiện phép chia:

$$k=8$$

Vậy cây cao gấp 8 lần cây cọc. Chiều cao của cây là

$$h=8\cdot 2$$

Thực hiện phép nhân:

$$h=16\text{m}$$

Cây cao 16 mét. Kiểm tra lại bằng tỉ số giữa chiều cao và bóng, tỉ số này phải bằng nhau ở cả hai tam giác. Với cây cọc là $2:1,5=\frac{4}{3}$, với cái cây là $16:12=\frac{4}{3}$. Đúng.

Cẩn thận với diện tích

Rất dễ kết luận rằng khi các cạnh dài gấp k lần thì diện tích cũng lớn gấp k lần. Sai. Diện tích tăng k² lần.

Thử hình dung một tam giác có tất cả các cạnh dài gấp đôi. Nối trung điểm các cạnh của nó thì tam giác được chia thành bốn tam giác, mỗi tam giác là bản sao chính xác của tam giác ban đầu:

Như vậy với tỉ số đồng dạng k = 2, diện tích lớn gấp 4 lần chứ không phải gấp đôi. Tổng quát, diện tích tam giác A'B'C' là

$$S^{\prime }=k^2\cdot S,$$

trong đó S là diện tích tam giác ban đầu. Với k = 3, diện tích lớn gấp 9 lần. Cũng giống như với một tấm ảnh: phóng to ảnh để chiều rộng và chiều cao đều gấp đôi thì tốn giấy gấp 4 lần.

Xem thêm

• Hai tam giác bằng nhau
• Tỉ số
• Quy tắc tam suất