Лице на повърхнина на правоъгълен паралелепипед

Правоъгълният паралелепипед е тримерно тяло, подобно на куба, чиито стени са правоъгълници, или квадрати. Да видим как изглежда такъв паралелепипед:

За да пресметнем лицето на повърхнината на правоъгълен паралелепипед, трябва да пресметнем лицето на всичките му шест стени и да ги съберем. При това лицата на срещуположните стени са винаги еднакви. Ако паралелепипедът има дължини на ръбовете a, b, c, както е показано на чертежа, лицето на повърхнината му е

$$S_1=2ab+2ac+2bc$$

което можем още да опростим до формулата

$$S_1=2(ab+ac+bc)$$

Калкулатор: изчисли лицето на повърхнина на правоъгълен паралелепипед

Как стигнахме до нея?

Трябва да съберем лицата на всички стени. Първо можем да вземем тези две срещуположни стени:

Тези стени са правоъгълниците ABGH и CDEF. Използваме затова формулата за лицето на правоъгълник, при която умножаваме дължините на страните на правоъгълника. Лицето на правоъгълника ABGH намираме, като умножим

$$S_{ABGH}=|AB|\cdot |BG|$$

Лицето на другия правоъгълник CDEF пресмятаме като

$$S_{CDEF}=|CD|\cdot |DF|$$

Можем обаче да забележим, че дължината на страната AB е същата като дължината на страната CD, а дължината на страната BG е същата като дължината на страната DF. Лицето на двата правоъгълника ще бъде следователно еднакво. Лицето на двете отбелязани стени на паралелепипеда е тогава равно на

$$T_1=2\cdot |AB|\cdot |BG|$$

След това пресмятаме лицето на двете странични стени:

Знаем, че лицето на двете стени ще е еднакво. Пресмятаме затова лицето на правоъгълника BGFD като

$$S_{BGFD}=|BG|\cdot |GF|$$

Лицето на двете стени тогава ще бъде равно на

$$T_2=2\cdot |BG|\cdot |GF|$$

Остава да пресметнем лицето на предната и задната стена:

Лицето на правоъгълника ABCD ще бъде следователно

$$S_{ABCD}=|AB|\cdot |BD|$$

а лицето на двете отбелязани стени ще бъде равно на

$$T_3=2\cdot |AB|\cdot |BD|$$

Лицето на повърхнината на целия паралелепипед пресмятаме, като съберем всички частични лица:

$$S_1=T_1+T_2+T_3$$