Еднаквост на триъгълници

Два триъгълника са еднакви, когато можем да изрежем единия от тях от хартия и с него точно да покрием другия. Изрязания триъгълник можем да движим както искаме: да го преместим, да го завъртим и дори да го обърнем на другата страна. Само не можем да го разтягаме или смаляваме.

При еднаквите триъгълници съответните страни са с равна дължина, а съответните ъгли – с равна мярка. На фигурата съответните страни са в един и същ цвят: страната AB е равна на KL, страната BC – на LM, а страната AC – на KM. Записва се така:

$$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}KLM$$

Редът на върховете в записа не е случаен. Той определя кой връх върху кой пада: A върху K, B върху L и C върху M.

Признаци за еднаквост

Триъгълникът има шест елемента: три страни и три ъгъла. За да разберем, че два триъгълника са еднакви, не е нужно да сравняваме и шестте. Достатъчни са три, но трябва да са подбрани правилно. Кои тройки са достатъчни, ни казват четири признака за еднаквост. На фигурите тези три елемента са откроени с цвят.

Признак ССС: Два триъгълника, които имат равни и трите страни, са еднакви. Спомни си как се построява триъгълник по три страни. Точката C намираме с пергел като пресечна точка на две окръжности. Те наистина се пресичат в две точки, над страната AB и под нея, но двата получени триъгълника са само обърнати копия на един и същ триъгълник. По три страни винаги се получава един и същ триъгълник.

Признак СЪС: Достатъчни са две страни и ъгълът между тях. Ъгълът трябва да е при върха, където двете страни се срещат.

Признак ЪСЪ: Достатъчни са една страна и двата ъгъла, прилежащи към нея. Рамената на двата ъгъла се пресичат в една-единствена точка – третия връх.

Признак ССЪ: Достатъчни са две страни и ъгълът, който лежи срещу по-голямата от тях. Важно е ъгълът да лежи срещу по-голямата страна – защо, ще видим по-долу.

Кога не достигат

Примамливо е да кажем, че са достатъчни кои да са три елемента. Не са.

Три равни ъгъла са малко. Триъгълник с такива ъгли може да е произволно голям, подобно на снимка и нейното уголемение. Такива триъгълници имат една и съща форма, но не и големина, и ги наричаме подобни.

Не става и с две страни и ъгъл срещу по-малката от тях. Нека се опитаме да построим такъв триъгълник. Първо чертаем ъгъла α и върху едното му рамо нанасяме страната c = |AB|. Точката C лежи на другото рамо и е на разстояние a от точката B, затова около B описваме окръжност с радиус a. Ако a е по-малко от c, окръжността може да пресече рамото в две точки:

Триъгълниците ABC₁ и ABC₂ имат равни страни a, c и равен ъгъл α, и въпреки това не са еднакви. Ако a беше по-голямо от c, окръжността би пресекла рамото само веднъж. Точно това казва признакът ССЪ.

Пример: ширина на река

Представи си, че стоим на брега на река в точката A и точно срещу нас на отсрещния бряг расте дърво D. Как да измерим ширината на реката, щом не можем да опънем ролетка през нея?

Тръгваме покрай брега и след 20 метра забиваме колче P. После извървяваме още 20 метра до точката B. Там завиваме под прав ъгъл, встрани от реката, и вървим, докато колчето не закрие дървото. На това място е точката C.

Триъгълниците APD и BPC са еднакви по признака ЪСЪ. Страните AP и BP са по 20 метра. Ъглите при A и при B са прави. Ъглите при колчето P са връхни и следователно също са равни. От това следва

$$\mathrm{△}APD\cong \mathrm{△}BPC,$$

а страната BC е равна на страната AD, т.е. на ширината на реката.

Да кажем, че от точката B до точката C сме преброили 36 крачки, а една крачка е около 75 cm. Тогава разстоянието |BC| е

$$|BC|\approx 36\cdot 0,75=27\text{m}$$

Реката е широка приблизително 27 метра, и дори не се намокрихме.

Виж също

• Как да построим триъгълник
• Триъгълник
• Пренасяне на ъгъл