Височина на триъгълник

Височината на триъгълник е отсечка. Едната крайна точка на отсечката е върхът на триъгълника, а другата крайна точка е точка от срещуположната страна на триъгълника, като самата височина трябва да е перпендикулярна на тази страна.

Остроъгълен триъгълник

Най-добре ще се види на фигурата:

Прекарахме височината от върха C. Втората точка лежи на срещуположната страна AB (т.е. страната c) и отсечката CH_c е перпендикулярна на страната c. Точката H_c се нарича основа на височината, а страната c – основа на триъгълника. Основата на височината обикновено означаваме с буквата H с долен индекс, в който е върхът, от който излиза височината. В този случай това е върхът C.

Височината се чертае сравнително лесно, вземаш линийка и прекарваш перпендикуляр към страната c така, че този перпендикуляр да минава точно през точката C. Това е всичко.

Височина можем да прекараме от всеки връх на триъгълника. Всички височини се пресичат в точка, която се нарича ортоцентър. Ортоцентърът може да лежи вътре в триъгълника, но може и да не лежи. При остроъгълния триъгълник ортоцентърът лежи вътре в триъгълника:

В червено са отбелязани трите височини на триъгълника. Обърни внимание, че всяка височина е перпендикулярна на своята страна. Височините означаваме с малката буква h с долен индекс, в който поставяме върха, от който излиза височината. При височината BH_b така говорим за височината h_b. Самият ортоцентър е отбелязан със зелената точка H.

Тъпоъгълен триъгълник

При тъпоъгълния триъгълник трябва да се прибегне до известна хитрост. Ортоцентърът се получава извън вътрешността на триъгълника и някои височини всъщност не могат да пресекат страните, които би трябвало да пресекат. Това се решава, като съответните страни на триъгълника се „продължат“, така че всичко да се получи. Отново погледни фигурата: Изходната фигура е удебеленият триъгълник ABC. Този триъгълник е тъпоъгълен, ъгълът ACB е по-голям от 90 градуса. Височината от върха C чертаем без проблем, но вече с височината от върха B ще имаме проблем. Не намираме перпендикуляр към страната AC, който едновременно да пресича страната AC и да минава през върха B. Решаваме го, като построим лъча AC и така продължим страната AC, колкото е нужно. Перпендикуляра търсим върху този лъч. Тук вече ще го намерим. Основата на перпендикуляра се намира на новообразувания лъч. По същия начин чертаем и останалата височина.

Сега имаме начертани и трите височини на триъгълника. Проблемът е, че тези височини не се пресичат и затова не образуват ортоцентър. Ортоцентъра получаваме, като начертаем три нови лъча по посока на височините, така че да се пресекат някъде над триъгълника. Самите височини обаче по никакъв начин не променяме.

Правоъгълен триъгълник

При правоъгълния триъгълник е най-просто, защото две височини ще съвпаднат с две от страните на триъгълника, конкретно с катетите. Ортоцентърът тогава ще е във върха, който е срещу хипотенузата.

Дължина на височината

Понякога се налага да пресметнем дължината на височината. Тръгваме от фигурата за височина в остроъгълен триъгълник.

Там е отбелязана височината h_c, така че да опитаме да пресметнем дължината ѝ. Височината h_c е разбира се перпендикулярна на страната AB, което можем да използваме. Ще построим нов триъгълник, в който височината ще се пресмята по-лесно. Триъгълникът ще образуваме от върховете B, C и H_c. На фигурата е откроен в червено:

Сега ще използваме тригонометрични функции. За това трябва да знаем още ъгъла при върха B, ъгъла β. Остава просто да приложим синуса, който определя отношението на срещулежащата страна към хипотенузата. Срещулежащата страна в този случай е страната h_c, хипотенузата е страната CB. Можем да запишем:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{|h_c|}{|BC|}\\ |h_c|& =& \sin (\beta )\cdot |BC|\end{array}$$

Ъгълът β е с мярка приблизително 53°8′, а страната BC е с дължина 5. След заместване получаваме:

$$|h_c|=\sin ({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

Височината h_c е с дължина четири.