Så beräknar du räntan på ett bolån

Ett vanligt bolån är ett lån som vi tar när vi vill köpa en bostad — typiskt ett hus eller en lägenhet. Vi ska visa hur den ränta som du måste betala på bolånet beräknas.

Årsränta jämfört med månatlig förräntning

Varje bolån har en given årsränta, som anges i procent. Du kan alltså se en annons för ett bolån med räntan 3 % p.a. Förkortningen ”p.a.” står för latinets ”per annum” och på svenska betyder det ”per år”. Förenklat och inte helt exakt innebär det att om du lånar en miljon kronor betalar du 3 % i ränta per år, vilket är 30 000 kronor.

I verkligheten betalar du dock inte exakt trettiotusen, du betalar mindre. Ett vanligt bolån betalar du nämligen av månadsvis, och lika ofta beräknar banken räntan. I stället för att banken beräknar en årsränta beräknar den tolv månadsräntor. Och eftersom du successivt betalar av bolånet är du skyldig banken allt mindre pengar, och därför blir också räntan allt lägre. Vi tar ett exempel. Du lånar en miljon kronor med 3 % årsränta och en avbetalning på 10 000 kronor per månad. Hur stor blir den första räntan?

Första avbetalningen

Först beräknar vi månadsräntan. Den får vi genom att dividera årsräntan med tolv:

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Månadsräntan är alltså 0,25 %. Den första månaden betalar vi banken 0,25 % av det vi fortfarande är skyldiga banken, alltså av en miljon kronor. 0,25 % beräknar vi som

$$1000000\cdot 0,25\mathrm{\%}=1000000\cdot \mathrm{0,002}5=2500$$

Den första månaden betalar vi banken 2500 kronor i ränta. Eftersom vår månatliga avbetalning är 10 000 kronor är vi skyldiga banken efter första månaden

$$1000000+2500-10000=992500$$

992 500 kronor. Vår första avbetalning består alltså av 2500 kronor som gick till räntan och 7500 som vi amorterade på vår skuld till banken. Dessa 7500 kronor kallar vi alltså amortering.

Andra avbetalningen

Hur skulle det se ut den andra månaden? Månadsräntan ändras inte, den är fortfarande 0,25 %. Men beloppet som vi är skyldiga banken på bolånet ändras. Det beloppet kallar vi skulden, och efter första månaden är det 992 500 kronor. Den nya månadsräntan beräknar vi precis som den första månaden, bara med 992 500 kronor i stället för en miljon, alltså beräknar vi 0,25 % av 992 500 kronor:

$$992500\cdot 0,25\mathrm{\%}=992500\cdot \mathrm{0,002}5=2481,25$$

Den andra månaden blir räntan alltså bara 2481,25 kronor i stället för 2500 kronor — eftersom vi redan har amorterat en del av skulden och har en mindre skuld. Amorteringen blir

$$10000-2481,25=7518,75$$

Den andra månaden har vi alltså amorterat mer av bolånet än den första månaden, och sammanlagt är vi nu bara skyldiga

$$992500-7518,75=984981,25$$

Fortsatta avbetalningar…

De följande avbetalningarna beräknas på samma sätt, tills vi kommer ner till noll. Den tredje månaden skulle vi alltså beräkna räntan som

$$984981,25\cdot 0,25\mathrm{\%}=984981,25\cdot \mathrm{0,002}5=2462,45$$

Vi ser att räntan 2462,45 kronor återigen är lite mindre än månaden innan, och amorteringen 7537,55 är i stället lite större. Varje följande månad blir räntan mindre och mindre, eftersom vi är skyldiga banken allt mindre pengar. Och amorteringen blir större och större — med tiden betalar vi av bolånet snabbare och snabbare, eftersom vi betalar mindre pengar i ränta och mer pengar går till amortering av skulden.

Vi kan lägga märke till att trots att årsräntan var 3 % betalar vi inte 30 000 kronor i ränta. För att betala 30 000 i ränta skulle vi behöva betala 2500 kronor i ränta varje månad. Men vi betalar varje månad allt mindre, och sammanlagt betalar vi därför mindre än 30 000 kronor i ränta.

I praktiken är det här allt du behöver veta om hur räntan på ett bolån beräknas. Vi ska dock titta på några andra intressanta saker.

Exakt beräkning av månadsräntan

I början sa vi att vi beräknar månadsräntan som

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Det är en beräkning som många banker använder, men den är inte matematiskt korrekt. Bankerna använder den snarare av historiska skäl, eftersom det helt enkelt är enklare att dividera med tolv än att använda det matematiskt korrekta sättet. Vad vill vi egentligen uppnå när vi beräknar månadsräntan? Årsräntan 3 % på en miljon säger oss att kunden skulle betala 30 000 kronor i ränta på ett år. Tänk dig att kunden inte betalar av på bolånet under ett helt år utan bara låter räntan läggas till skulden. Vilken månadsränta skulle vi behöva ha för att efter tolv månader ha samlat ihop exakt 30 000 kronor i ränta? Om vi använder vår formel ”dividera med tolv” får vi nämligen mer än 30 000 kronor. Vi räknar på det:

Först visar vi hur man enkelt lägger till ränta på skulden. Om vi har beräknat månadsräntan som 0,25 % får vi slutbeloppet efter att räntan lagts till genom att multiplicera skulden med talet 1,0025:

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}5=1002500$$

Efter två månader utan avbetalningar blir skulden alltså

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=1005006,25$$

Alltså multiplicerar vi miljonen med talet 1,0025 lika många gånger som vi vill lägga på ränta. För att förenkla kan vi använda potenser, eftersom vi vet att

$$\mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=\mathrm{1,002}{5}^2$$

och därför kan vi skriva

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}{5}^2=1005006,25$$

Vi vill veta hur stort beloppet skulle vara efter 12 månader:

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}{5}^{12}=1030416$$

Vi ser att skulden efter 12 månader skulle vara 1 030 416 kronor, vilket är 416 kronor mer än det borde vara. Alltså… skillnaden är inte så stor, det måste vi erkänna, men kort sagt är det inte rätt resultat. Hur rättar vi till det?

Vi går tillbaka till årsräntan på vårt bolån. Om vi vill ta reda på hur stor skulden skulle bli när vi tillämpar en årsränta på tre procent på den kan vi skriva det så här:

$$1000000\cdot 1,03=1030000$$

Nu vill vi dela upp talet 1,03 i en produkt av tolv lika tal, så att vi får ett plus månadsräntan. Alltså, produkten av vilka tolv lika tal ger resultatet 1,03? Det är tolfte roten ur 1,03:

$$1,03=\sqrt[12]{1,03}\cdot \sqrt[12]{1,03}\cdot \dots \cdot \sqrt[12]{1,03}$$

Vi kan räkna ut att tolfte roten ur 1,03 är 1,0024662 och lite till, vilket verkligen inte är någon stor skillnad mot talet 1,0025 som vi fick med vår metod att dividera med tolv. Men det är det rätta resultatet: om vår månadsränta vore lika med $\sqrt[12]{1,03}-1$ skulle skulden efter ett år utan avbetalningar öka med exakt tre procent.

Daglig jämfört med månatlig ränta

Det intressanta är att vissa banker beräknar månadsräntan på bolån lite annorlunda. Att beräkna månadsräntan genom att dividera årsräntan med tolv har nämligen ännu en bieffekt: alla månader får samma ränta, trots att månaderna är olika långa. Februari och juli får samma räntesats. Hur löser man det? Vissa banker löser det genom att dividera årsräntan med 360, och på så sätt får de en dagsränta, som de sedan multiplicerar med antalet dagar i månaden.

Varför dividerar de med 360 och inte med 365 eller 366? För att det återigen är enklare att räkna.