Slik regner du ut rentene på et boliglån

Et vanlig boliglån er et lån vi tar opp når vi vil kjøpe en bolig — typisk et hus eller en leilighet. La oss se på hvordan rentene du må betale på boliglånet, regnes ut.

Årlig rente mot månedlig renteberegning

Hvert boliglån har en oppgitt årlig rentesats, som oppgis i prosent. Du kan altså se en reklame for boliglån med en rente på 3 % p.a. «p.a.» er en forkortelse for det latinske «per annum», som betyr «per år». Forenklet og unøyaktig sagt: hvis du låner én million kroner, betaler du 3 % i renter i året, og det er 30 000 kroner.

I virkeligheten betaler du likevel ikke nøyaktig tretti tusen, du betaler mindre. Et vanlig boliglån betaler du nemlig ned månedlig, og like ofte regner banken ut renter. I stedet for at banken regner ut én årlig rente, regner den ut tolv månedlige renter. Og siden du gradvis betaler ned lånet, skylder du banken stadig mindre penger, og derfor blir også renten stadig lavere. La oss vise det på et eksempel. Du låner én million kroner med 3 % årlig rente og betaler 10 000 kroner i måneden. Hva blir den første renten?

Første termin

Først regner vi ut den månedlige rentesatsen. Den regnes ut ved at vi deler den årlige satsen på tolv:

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Den månedlige rentesatsen er altså 0,25 %. For den første måneden betaler vi banken 0,25 % av det vi ennå skylder banken, altså av én million kroner. 0,25 % regner vi ut slik:

$$1000000\cdot 0,25\mathrm{\%}=1000000\cdot \mathrm{0,002}5=2500$$

For den første måneden betaler vi banken 2500 kroner i renter. Siden den månedlige terminen vår er 10 000 kroner, skylder vi banken etter første måned

$$1000000+2500-10000=992500$$

992 500 kroner. Det første terminbeløpet vårt består altså av 2500 kroner som gikk til renter, og 7500 som vi betalte ned på gjelden til banken. Disse 7500 kronene kaller vi avdrag.

Andre termin

Hvordan ser det ut den andre måneden? Den månedlige rentesatsen endrer seg ikke, den er fortsatt 0,25 %. Men beløpet vi skylder banken på boliglånet, endrer seg. Dette beløpet kaller vi restgjeld, og etter første måned er det 992 500 kroner. Den nye månedlige renten regner vi ut helt likt som den første måneden, bare at vi regner med 992 500 kroner i stedet for én million, altså 0,25 % av 992 500 kroner:

$$992500\cdot 0,25\mathrm{\%}=992500\cdot \mathrm{0,002}5=2481,25$$

Den andre måneden blir renten dermed bare 2481,25 kroner i stedet for 2500 kroner — fordi vi allerede har betalt ned en del av gjelden og har en mindre restgjeld. Avdraget blir

$$10000-2481,25=7518,75$$

Den andre måneden betalte vi altså ned mer på boliglånet enn den første, og til sammen skylder vi nå bare

$$992500-7518,75=984981,25$$

Flere terminer …

De neste terminene regnes ut på akkurat samme måte, helt til vi kommer ned til null. Den tredje måneden ville vi regnet ut renten slik:

$$984981,25\cdot 0,25\mathrm{\%}=984981,25\cdot \mathrm{0,002}5=2462,45$$

Vi ser at renten på 2462,45 kroner igjen er litt mindre enn måneden før, og at avdraget på 7537,55 til gjengjeld igjen er litt større. Hver måned som kommer, blir renten mindre og mindre, for vi skylder banken stadig mindre penger. Og avdraget blir stadig større — med tiden betaler vi ned boliglånet raskere og raskere, fordi vi betaler mindre penger i renter og mer går til å betale ned restgjelden.

Vi kan legge merke til at selv om den årlige renten var 3 %, betaler vi ikke 30 000 kroner i renter. For å betale 30 000 i renter måtte vi betale 2500 kroner i renter hver måned. Men vi betaler mindre og mindre hver måned, og til sammen betaler vi dermed mindre enn 30 000 kroner i renter.

Faktisk er dette alt du trenger å vite for å forstå hvordan renter på boliglån regnes ut. La oss likevel se på noen andre interessante ting.

Nøyaktig utregning av den månedlige renten

I begynnelsen sa vi at vi regner ut den månedlige renten som

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Det er regnemåten bankene bruker, men matematisk er den ikke riktig. Bankene bruker den mest av historiske grunner, for det er rett og slett enklere å dele på tolv enn å bruke den matematisk riktige fremgangsmåten. Hva vil vi egentlig oppnå når vi regner ut den månedlige renten? En årlig rente på 3 % av én million sier at kunden på ett år ville betalt 30 000 kroner i renter. La oss tenke oss at kunden ikke betalte ned lånet hele året og bare lot rentene legges til. Hvilken månedlig rentesats måtte vi ha for at vi etter tolv måneder skulle samle opp nøyaktig 30 000 kroner i renter? Hvis vi bruker formelen vår «delt på tolv», får vi nemlig mer enn 30 000 kroner. La oss regne det ut:

Først viser vi hvordan vi enkelt legger renter til gjelden. Hvis vi har regnet ut den månedlige rentesatsen som 0,25 %, får vi sluttbeløpet etter at rentene er lagt til, ved å gange gjelden med tallet 1,0025:

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}5=1002500$$

Etter to måneder uten nedbetaling blir gjelden

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=1005006,25$$

Vi ganger altså millionen med tallet 1,0025 like mange ganger som vi vil legge til rente. For å gjøre det enklere kan vi bruke potenser, for vi vet at

$$\mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=\mathrm{1,002}{5}^2$$

så vi kan skrive

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}{5}^2=1005006,25$$

Vi vil vite hvor høyt beløpet ville vært etter 12 måneder:

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}{5}^{12}=1030416$$

Vi ser at gjelden etter 12 måneder ville vært 1 030 416 kroner, som er 416 kroner mer enn den burde være. Altså … det er ikke noen stor forskjell, la oss innrømme det, men kort sagt er det ikke det riktige svaret. Hvordan kan vi rette det?

La oss gå tilbake til den årlige rentesatsen på boliglånet vårt. Hvis vi vil finne ut hvor stor gjelden ville blitt med en årlig rente på tre prosent, kan vi skrive det slik:

$$1000000\cdot 1,03=1030000$$

Nå vil vi skrive tallet 1,03 som produktet av tolv like tall, slik at vi får én pluss den månedlige rentesatsen. Altså: produktet av hvilke tolv like tall gir resultatet 1,03? Det er tolvte rot av 1,03:

$$1,03=\sqrt[12]{1,03}\cdot \sqrt[12]{1,03}\cdot \dots \cdot \sqrt[12]{1,03}$$

Vi kan regne ut at tolvte rot av 1,03 er 1,0024662 og litt til, og det er sannelig ingen stor forskjell fra tallet 1,0025 som vi fikk med metoden vår med deling på tolv. Men det er det riktige svaret: Hvis den månedlige rentesatsen vår var lik $\sqrt[12]{1,03}-1$, ville gjelden etter et år uten nedbetaling økt med nøyaktig tre prosent.

Daglig mot månedlig rente

Det er interessant at noen banker regner ut den månedlige renten på boliglån litt annerledes. Å regne ut den månedlige renten ved å dele den årlige renten på tolv har nemlig en bieffekt: alle måneder får den samme rentesatsen, selv om månedene er ulikt lange. Februar og juli får den samme satsen. Hvordan kommer vi rundt det? Noen banker løser det ved å dele den årlige renten på 360, slik at de får en daglig sats, og så ganger de denne daglige satsen med antall dager i måneden.

Hvorfor deler de på 360 og ikke på 365 eller 366? Fordi det igjen er enklere å regne med.