Cum se calculează dobânda la un credit ipotecar

Un credit ipotecar obișnuit este un împrumut pe care îl luăm când vrem să cumpărăm o proprietate – de obicei o casă sau un apartament. Să vedem cum se calculează dobânda pe care va trebui s-o plătești pentru un astfel de credit.

Dobânda anuală și capitalizarea lunară

Fiecare credit ipotecar are o rată anuală a dobânzii, exprimată în procente. Poți vedea, de exemplu, o reclamă la un credit cu dobânda de 3% p.a. Abrevierea „p.a.” vine de la latinescul „per annum” și înseamnă „pe an”. Spus simplificat și nu tocmai exact: dacă împrumuți 200.000 de lei, plătești într-un an 3% dobândă, adică 6000 de lei.

În realitate, nu vei plăti exact 6000 de lei, ci mai puțin. Un credit ipotecar obișnuit se rambursează lunar, iar banca îți calculează dobânda tot lunar. În loc să-ți calculeze o singură dobândă anuală, îți calculează douăsprezece dobânzi lunare. Pe măsură ce rambursezi creditul, datorezi băncii tot mai puțini bani, deci și dobânda este tot mai mică. Să vedem pe un exemplu. Împrumuți 200.000 de lei cu dobânda anuală de 3% și o rată de 2000 de lei pe lună. Cât va fi prima dobândă?

Prima rată

Calculăm mai întâi dobânda lunară. Se obține împărțind dobânda anuală la douăsprezece:

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Dobânda lunară este deci 0,25%. Pentru prima lună plătim băncii 0,25% din ceea ce îi mai datorăm, adică din cei 200.000 de lei. Calculăm 0,25% astfel:

$$200.000\cdot 0,25\mathrm{\%}=200.000\cdot \mathrm{0,002}5=500$$

Pentru prima lună plătim băncii 500 de lei dobândă. Deoarece rata noastră lunară este de 2000 de lei, după prima lună îi datorăm băncii

$$200.000+500-2000=198.500$$

adică 198.500 de lei. Prima noastră rată se compune așadar din 500 de lei care au mers pe dobândă și 1500 de lei cu care am redus datoria față de bancă. Acești 1500 de lei se numesc amortizare.

A doua rată

Cum ar arăta a doua lună? Dobânda lunară nu se schimbă, rămâne 0,25%. Se schimbă însă suma pe care o datorăm băncii. Această sumă, capitalul datorat, este după prima lună de 198.500 de lei. Dobânda nouă o calculăm exact ca în prima lună, doar că în loc de 200.000 vom lua 198.500 de lei, adică 0,25% din 198.500 de lei:

$$198.500\cdot 0,25\mathrm{\%}=198.500\cdot \mathrm{0,002}5=496,25$$

În a doua lună dobânda este deci de numai 496,25 lei, în loc de 500 de lei – pentru că am amortizat deja o parte din datorie și capitalul datorat este mai mic. Amortizarea va fi

$$2000-496,25=1503,75$$

În a doua lună am amortizat din credit mai mult decât în prima, iar în total mai datorăm doar

$$198.500-1503,75=196.996,25$$

Ratele următoare…

Ratele următoare se calculează la fel, până ajungem la zero. În a treia lună am calcula dobânda astfel:

$$196.996,25\cdot 0,25\mathrm{\%}=196.996,25\cdot \mathrm{0,002}5\approx 492,49$$

Vedem că dobânda de 492,49 lei este iarăși puțin mai mică decât în luna precedentă, iar amortizarea de 1507,51 lei este puțin mai mare. În fiecare lună următoare dobânda va fi tot mai mică, fiindcă datorăm băncii tot mai puțini bani. Iar amortizarea va fi tot mai mare – cu timpul rambursăm creditul tot mai repede, pentru că plătim mai puțin pe dobânzi și mai mulți bani merg la reducerea datoriei.

Putem observa că, deși dobânda anuală a fost de 3%, nu vom plăti 6000 de lei dobândă. Ca să plătim 6000 de lei dobândă, ar trebui să plătim 500 de lei dobândă în fiecare lună. Noi însă plătim în fiecare lună tot mai puțin, deci în total vom plăti pe dobânzi mai puțin de 6000 de lei.

În fond, asta e tot ce trebuie să știi despre cum se calculează dobânda la un credit ipotecar. Să ne uităm totuși și la câteva curiozități.

Calculul exact al dobânzii lunare

La început am spus că dobânda lunară o calculăm ca

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Acesta este calculul folosit de bănci, dar din punct de vedere matematic nu este corect. Băncile îl folosesc mai degrabă din motive istorice, pentru că împărțirea la douăsprezece este pur și simplu mai simplă decât procedeul corect din punct de vedere matematic. Ce vrem de fapt să obținem când calculăm dobânda lunară? Dobânda anuală de 3% la 200.000 de lei ne spune că într-un an clientul ar plăti 6000 de lei dobândă. Să ne imaginăm că clientul nu ar rambursa creditul tot anul și i s-ar adăuga doar dobânda. Ce dobândă lunară ar trebui să avem ca, după douăsprezece luni, să se adune exact 6000 de lei dobândă? Dacă folosim formula noastră „împărțit la douăsprezece”, obținem de fapt mai mult de 6000 de lei. Să calculăm:

Mai întâi vedem cum se adaugă simplu dobânda la capital. Dacă am calculat dobânda lunară ca 0,25%, suma obținută după adăugarea dobânzii se află înmulțind capitalul cu numărul 1,0025:

$$200.000\cdot \mathrm{1,002}5=200.500$$

După două luni fără rate, capitalul va fi egal cu

$$200.000\cdot \mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=201.001,25$$

Așadar, înmulțim cele 200.000 de lei cu numărul 1,0025 de atâtea ori de câte ori vrem să adăugăm dobânda. Ca să simplificăm, putem folosi puterile, pentru că știm că

$$\mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=\mathrm{1,002}{5}^2$$

deci putem scrie

$$200.000\cdot \mathrm{1,002}{5}^2=201.001,25$$

Noi vrem să aflăm cât ar fi suma după 12 luni:

$$200.000\cdot \mathrm{1,002}{5}^{12}\approx 206.083,19$$

Vedem că după 12 luni capitalul ar fi de aproximativ 206.083 de lei, adică cu aproximativ 83 de lei mai mult decât ar trebui să fie. Ca să fim sinceri, nu e o diferență prea mare, dar oricum rezultatul nu este corect. Cum îl corectăm?

Să ne întoarcem la dobânda anuală a creditului nostru. Dacă vrem să aflăm cât ar fi capitalul după aplicarea dobânzii anuale de trei procente, putem scrie:

$$200.000\cdot 1,03=206.000$$

Acum vrem să descompunem numărul 1,03 într-un produs de douăsprezece numere egale, obținând astfel unu plus dobânda lunară. Deci, produsul căror douăsprezece numere egale ne dă 1,03? Este radicalul de ordinul doisprezece din 1,03:

$$1,03=\sqrt[12]{1,03}\cdot \sqrt[12]{1,03}\cdot \dots \cdot \sqrt[12]{1,03}$$

Putem calcula că radicalul de ordinul doisprezece din 1,03 este 1,0024662 și ceva, ceea ce nu este într-adevăr o diferență mare față de numărul 1,0025 obținut prin metoda împărțirii la douăsprezece. Dar este rezultatul corect: dacă dobânda noastră lunară ar fi egală cu $\sqrt[12]{1,03}-1$, capitalul ar crește după un an fără rate exact cu trei procente.

Dobânda zilnică și dobânda lunară

Un lucru interesant este că unele bănci calculează dobânda lunară la creditele ipotecare puțin altfel. Calcularea dobânzii lunare prin împărțirea dobânzii anuale la douăsprezece are încă un efect secundar: pentru toate lunile obținem aceeași rată a dobânzii, deși lunile au lungimi diferite. Februarie și iulie primesc aceeași rată. Cum ieșim din asta? Unele bănci procedează astfel: împart dobânda anuală la 360, obținând rata zilnică, apoi înmulțesc această rată zilnică cu numărul de zile din lună.

De ce împart la 360 și nu la 365 sau 366? Pentru că, din nou, este mai simplu de calculat.