Calculer les intérêts d’un prêt immobilier

Un prêt immobilier classique est un crédit qu’on contracte pour acheter un bien immobilier, typiquement une maison ou un appartement. Voyons comment se calculent les intérêts que tu devras payer pour ce prêt.

Intérêt annuel et calcul mensuel

Chaque prêt immobilier a un taux d’intérêt annuel, exprimé en pourcentage. Tu peux ainsi voir une publicité pour un prêt au taux de 3 % par an. Cela veut dire, en simplifiant et de façon un peu inexacte, que si tu empruntes un million d’euros, tu paieras 3 % d’intérêts par an, soit 30 000 euros.

En réalité, tu ne paieras pas exactement trente mille, tu paieras moins. En effet, un prêt immobilier classique se rembourse chaque mois, et la banque calcule les intérêts aussi souvent. Au lieu de calculer un seul intérêt annuel, la banque calcule douze intérêts mensuels. Et comme tu rembourses peu à peu ton prêt, tu dois de moins en moins d’argent à la banque, et le montant des intérêts est donc de plus en plus bas. Voyons cela sur un exemple. Tu empruntes un million d’euros avec un intérêt annuel de 3 % et une mensualité de 10 000 euros. Quels seront les premiers intérêts ?

Première mensualité

Calculons d’abord le taux d’intérêt mensuel. On l’obtient en divisant le taux annuel par douze :

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Le taux d’intérêt mensuel est donc de 0,25 %. Le premier mois, nous paierons à la banque 0,25 % de ce que nous lui devons encore, c’est-à-dire d’un million d’euros. On calcule 0,25 % ainsi :

$$1000000\cdot 0,25\mathrm{\%}=1000000\cdot \mathrm{0,002}5=2500$$

Le premier mois, nous paierons donc 2 500 euros d’intérêts à la banque. Comme notre mensualité est de 10 000 euros, nous devons à la banque après le premier mois

$$1000000+2500-10000=992500$$

992 500 euros. Notre première mensualité se compose donc de 2 500 euros qui sont partis en intérêts et de 7 500 euros avec lesquels nous avons amorti notre dette envers la banque. Ces 7 500 euros s’appellent l’amortissement.

Deuxième mensualité

Comment cela se passerait-il le deuxième mois ? Le taux d’intérêt mensuel ne change pas, il est toujours de 0,25 %. Mais la somme que nous devons à la banque pour le prêt change. Cette somme s’appelle le capital restant dû, et après le premier mois elle est de 992 500 euros. On calcule les nouveaux intérêts mensuels exactement comme le premier mois, sauf qu’au lieu d’un million, on calcule avec 992 500 euros, c’est-à-dire 0,25 % de 992 500 euros :

$$992500\cdot 0,25\mathrm{\%}=992500\cdot \mathrm{0,002}5=2481,25$$

Le deuxième mois, les intérêts ne sont donc que de 2 481,25 euros, au lieu de 2 500 euros, parce que nous avons déjà amorti une partie de la dette et que notre capital est plus petit. L’amortissement sera égal à

$$10000-2481,25=7518,75$$

Le deuxième mois, nous avons donc amorti davantage le prêt que le premier, et au total nous ne devons plus que

$$992500-7518,75=984981,25$$

Mensualités suivantes…

Les mensualités suivantes se calculent toujours de la même façon, jusqu’à ce qu’on arrive à zéro. Le troisième mois, on calculerait ainsi les intérêts :

$$984981,25\cdot 0,25\mathrm{\%}=984981,25\cdot \mathrm{0,002}5=2462,45$$

On voit que les intérêts de 2 462,45 euros sont encore un peu plus petits que le mois précédent, et qu’au contraire l’amortissement de 7 537,55 est encore un peu plus grand. Chaque mois, les intérêts seront de plus en plus petits, parce que nous devons de moins en moins d’argent à la banque. Et l’amortissement sera de plus en plus grand : avec le temps, nous remboursons le prêt de plus en plus vite, parce que nous payons moins d’argent en intérêts et qu’une plus grande part sert à amortir le capital.

On peut remarquer que, même si l’intérêt annuel était de 3 %, nous ne paierons pas 30 000 euros d’intérêts. Pour payer 30 000 d’intérêts, il faudrait payer 2 500 euros d’intérêts chaque mois. Mais nous payons chaque mois de moins en moins, et au final nous paierons donc moins de 30 000 euros d’intérêts.

En fait, c’est tout ce que tu dois savoir pour comprendre comment se calculent les intérêts d’un prêt immobilier. Mais regardons encore quelques points intéressants.

Calcul exact de l’intérêt mensuel

Au début, nous avons dit que l’intérêt mensuel se calcule ainsi :

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

C’est le calcul qu’utilisent les banques, mais il n’est pas mathématiquement correct. Les banques l’utilisent plutôt pour une raison historique, parce que diviser par douze est tout simplement plus simple que la méthode mathématiquement correcte. Qu’est-ce qu’on cherche en réalité quand on calcule l’intérêt mensuel ? Un intérêt annuel de 3 % sur un million nous dit qu’en un an, le client paierait 30 000 euros d’intérêts. Imaginons que le client ne rembourse pas son prêt pendant toute une année et se contente de laisser s’ajouter les intérêts. Quel taux mensuel faudrait-il avoir pour accumuler exactement 30 000 euros d’intérêts au bout de douze mois ? Si on utilise notre formule « divisé par douze », on obtient en effet plus de 30 000 euros. Vérifions-le :

Voyons d’abord comment ajouter simplement des intérêts au capital. Si nous avons calculé le taux mensuel de 0,25 %, on obtient la somme finale après ajout des intérêts en multipliant le capital par 1,0025 :

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}5=1002500$$

Après deux mois sans mensualité, le capital sera donc égal à

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=1005006,25$$

Autrement dit, on multiplie le million par 1,0025 autant de fois qu’on veut ajouter d’intérêts. Pour simplifier, on peut utiliser les puissances, car nous savons que

$$\mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=\mathrm{1,002}{5}^2$$

donc on peut écrire

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}{5}^2=1005006,25$$

Nous voulons savoir quelle serait la somme au bout de 12 mois :

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}{5}^{12}=1030416$$

On voit qu’au bout de 12 mois, le capital serait égal à 1 030 416 euros, soit 416 euros de plus que ce qu’il devrait être. Bon… ce n’est pas une très grande différence, avouons-le, mais bref, ce n’est pas le bon résultat. Comment corriger cela ?

Revenons au taux d’intérêt annuel de notre prêt. Si on veut savoir à combien s’élèverait le capital en lui appliquant un intérêt annuel de trois pour cent, on peut l’écrire ainsi :

$$1000000\cdot 1,03=1030000$$

Nous voulons maintenant décomposer le nombre 1,03 en un produit de douze nombres égaux, ce qui nous donnera un plus le taux d’intérêt mensuel. Autrement dit, quels sont les douze nombres égaux dont le produit vaut 1,03 ? C’est la racine douzième de 1,03 :

$$1,03=\sqrt[12]{1,03}\cdot \sqrt[12]{1,03}\cdot \dots \cdot \sqrt[12]{1,03}$$

On peut calculer que la racine douzième de 1,03 vaut 1,0024662 et quelques poussières, ce qui n’est vraiment pas très loin du nombre 1,0025 que nous avons obtenu avec notre méthode de division par douze. Mais c’est le bon résultat : si notre taux d’intérêt mensuel était égal à $\sqrt[12]{1,03}-1$, le capital augmenterait d’exactement trois pour cent au bout d’un an sans remboursement.

Intérêt journalier et intérêt mensuel

Fait intéressant, certaines banques calculent l’intérêt mensuel des prêts immobiliers un peu autrement. Le calcul de l’intérêt mensuel en divisant l’intérêt annuel par douze a en effet un effet secondaire : on obtient le même taux pour tous les mois, bien que les mois n’aient pas la même durée. Février et juillet reçoivent le même taux. Comment s’en sortir ? Certaines banques divisent l’intérêt annuel par 360, ce qui donne un taux journalier, puis multiplient ce taux journalier par le nombre de jours du mois.

Pourquoi diviser par 360 et non par 365 ou 366 ? Parce que, là encore, c’est plus simple à calculer.