Wie du die Zinsen bei einer Hypothek berechnest

Ein gewöhnliches Hypothekendarlehen ist ein Kredit, den wir aufnehmen, wenn wir eine Immobilie kaufen wollen – typischerweise ein Haus oder eine Wohnung. Schauen wir uns an, wie die Zinsen berechnet werden, die du für ein Hypothekendarlehen zahlen musst.

Jahreszins vs. monatliche Verzinsung

Jedes Hypothekendarlehen hat einen festgelegten Jahreszinssatz, der in Prozent angegeben wird. Du kannst also Werbung für ein Hypothekendarlehen mit einem Zinssatz von 3 % p. a. sehen. Das „p. a.“ ist die Abkürzung für das lateinische „per annum“ und bedeutet „pro Jahr“. Vereinfacht und ungenau gesagt: Leihst du dir 40.000 €, zahlst du im Jahr 3 % an Zinsen, das sind 1.200 €.

In Wirklichkeit zahlst du aber nicht genau 1.200 €, sondern weniger. Ein gewöhnliches Hypothekendarlehen zahlst du nämlich monatlich zurück, und genauso oft rechnet dir die Bank die Zinsen an. Statt dir einen Jahreszins zu berechnen, berechnet sie dir zwölf Monatszinsen. Und weil du das Darlehen nach und nach zurückzahlst, schuldest du der Bank immer weniger Geld, und deshalb sind auch die Zinsen immer niedriger. Zeigen wir es an einem Beispiel. Du leihst dir 40.000 € mit 3 % Jahreszins und einer Rate von 400 € im Monat. Wie hoch sind die ersten Zinsen?

Die erste Rate

Zuerst berechnen wir den monatlichen Zinssatz. Der ergibt sich, indem wir den Jahreszinssatz durch zwölf teilen:

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Der monatliche Zinssatz beträgt also 0,25 %. Für den ersten Monat zahlen wir der Bank 0,25 % von dem, was wir ihr noch schulden, also von 40.000 €. 0,25 % berechnen wir als

$$40000\cdot 0,25\mathrm{\%}=40000\cdot \mathrm{0,002}5=100$$

Für den ersten Monat zahlen wir der Bank 100 € an Zinsen. Weil unsere monatliche Rate 400 € beträgt, schulden wir der Bank nach dem ersten Monat

$$40000+100-400=39700$$

39.700 €. Unsere erste Rate besteht also aus 100 €, die auf die Zinsen entfielen, und 300 €, mit denen wir unsere Schuld bei der Bank getilgt haben. Diese 300 € nennen wir daher Tilgung.

Die zweite Rate

Wie sähe es im zweiten Monat aus? Der monatliche Zinssatz ändert sich nicht, er beträgt weiterhin 0,25 %. Es ändert sich aber der Betrag, den wir der Bank für das Hypothekendarlehen schulden. Diesen Betrag nennen wir Kapital, und nach dem ersten Monat sind es 39.700 €. Die neuen Monatszinsen berechnen wir genauso wie im ersten Monat, nur rechnen wir statt mit 40.000 € mit 39.700 €, wir berechnen also 0,25 % von 39.700 €:

$$39700\cdot 0,25\mathrm{\%}=39700\cdot \mathrm{0,002}5=99,25$$

Im zweiten Monat betragen die Zinsen also nur 99,25 € statt 100 € – weil wir schon einen Teil der Schuld getilgt haben und ein kleineres Kapital haben. Die Tilgung beträgt

$$400-99,25=300,75$$

Im zweiten Monat haben wir vom Hypothekendarlehen also mehr getilgt als im ersten, und insgesamt schulden wir nur noch

$$39700-300,75=39399,25$$

Die weiteren Raten …

Die weiteren Raten werden immer gleich berechnet, bis wir bei null ankommen. Im dritten Monat würden wir die Zinsen so berechnen:

$$39399,25\cdot 0,25\mathrm{\%}=39399,25\cdot \mathrm{0,002}5\approx 98,50$$

Wir sehen, dass die Zinsen von 98,50 € wieder ein bisschen kleiner sind als im Monat davor und die Tilgung von 301,50 € dafür wieder ein bisschen größer. Jeden folgenden Monat werden die Zinsen kleiner und kleiner, weil wir der Bank immer weniger Geld schulden. Und die Tilgung wird immer größer – mit der Zeit zahlen wir das Hypothekendarlehen immer schneller zurück, weil wir weniger Geld für Zinsen zahlen und mehr Geld in die Tilgung des Kapitals fließt.

Wir können feststellen, dass wir, obwohl der Jahreszins 3 % betrug, nicht 1.200 € an Zinsen zahlen. Um 1.200 € an Zinsen zu zahlen, müssten wir jeden Monat 100 € Zinsen zahlen. Wir zahlen aber jeden Monat weniger und weniger und zahlen im Ergebnis weniger als 1.200 € an Zinsen.

Tatsächlich ist das alles, was du wissen musst, um zu verstehen, wie die Zinsen bei einem Hypothekendarlehen berechnet werden. Schauen wir uns aber noch ein paar weitere Besonderheiten an.

Genaue Berechnung des monatlichen Zinssatzes

Am Anfang haben wir gesagt, dass wir die Monatszinsen so berechnen:

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Das ist die Rechnung, die Banken verwenden, aber mathematisch korrekt ist sie nicht. Banken verwenden sie eher aus historischen Gründen, weil das Teilen durch zwölf einfach leichter ist als das mathematisch korrekte Vorgehen. Was wollen wir eigentlich erreichen, wenn wir die Monatszinsen berechnen? Der Jahreszins von 3 % auf 40.000 € sagt uns, dass der Kunde im Jahr 1.200 € an Zinsen zahlen würde. Stellen wir uns vor, der Kunde würde das Darlehen ein ganzes Jahr lang nicht zurückzahlen und sich nur die Zinsen gutschreiben lassen. Welchen monatlichen Zinssatz müssten wir haben, um nach zwölf Monaten genau 1.200 € an Zinsen anzusammeln? Verwenden wir nämlich unsere Formel „geteilt durch zwölf“, bekommen wir mehr als 1.200 €. Rechnen wir es zur Probe nach:

Zuerst zeigen wir, wie man Zinsen ganz einfach zum Kapital addiert. Haben wir den monatlichen Zinssatz als 0,25 % berechnet, erhalten wir den Endbetrag nach dem Addieren der Zinsen, indem wir das Kapital mit der Zahl 1,0025 multiplizieren:

$$40000\cdot \mathrm{1,002}5=40100$$

Nach zwei Monaten ohne Raten ist das Kapital also gleich

$$40000\cdot \mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=40200,25$$

Wir multiplizieren die 40.000 also so oft mit der Zahl 1,0025, wie wir Zinsen gutschreiben wollen. Um es uns einfacher zu machen, können wir Potenzen verwenden, denn wir wissen, dass

$$\mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=\mathrm{1,002}{5}^2$$

also können wir schreiben

$$40000\cdot \mathrm{1,002}{5}^2=40200,25$$

Wir wollen wissen, wie hoch der Betrag nach 12 Monaten wäre:

$$40000\cdot \mathrm{1,002}{5}^{12}\approx 41216,64$$

Wir sehen, dass das Kapital nach 12 Monaten gleich 41.216,64 € wäre, das sind 16,64 € mehr, als es sein sollte. Also … es ist kein allzu großer Unterschied, das geben wir zu, aber kurz und gut, das richtige Ergebnis ist es nicht. Wie korrigieren wir das?

Kehren wir noch einmal zum Jahreszinssatz unseres Hypothekendarlehens zurück. Wollen wir herausfinden, wie groß das Kapital wäre, wenn wir darauf einen jährlichen Zins von drei Prozent anwenden, können wir es so schreiben:

$$40000\cdot 1,03=41200$$

Wir wollen jetzt die Zahl 1,03 in ein Produkt aus zwölf gleichen Zahlen zerlegen, wodurch wir eins plus den monatlichen Zinssatz erhalten. Das Produkt welcher zwölf gleichen Zahlen ergibt also das Ergebnis 1,03? Es ist die zwölfte Wurzel aus 1,03:

$$1,03=\sqrt[12]{1,03}\cdot \sqrt[12]{1,03}\cdot \dots \cdot \sqrt[12]{1,03}$$

Wir können ausrechnen, dass die zwölfte Wurzel aus 1,03 gleich 1,0024662 und ein paar Zerquetschte ist, was wahrlich kein großer Unterschied zur Zahl 1,0025 ist, die wir mit unserer Methode des Teilens durch zwölf erhalten haben. Aber es ist das richtige Ergebnis: Wäre unser monatlicher Zinssatz gleich $\sqrt[12]{1,03}-1$, würde sich das Kapital nach einem Jahr ohne Raten genau um drei Prozent erhöhen.

Tageszins vs. Monatszins

Interessant ist, dass manche Banken die Monatszinsen bei Hypothekendarlehen etwas anders berechnen. Die Berechnung der Monatszinsen durch Teilen des Jahreszinses durch zwölf hat nämlich noch einen Nebeneffekt: Für alle Monate erhalten wir denselben Zinssatz, obwohl die Monate unterschiedlich lang sind. Februar und Juli bekommen denselben Satz. Wie kommen wir da heraus? Manche Banken lösen das so, dass sie den Jahreszins durch 360 teilen, wodurch sie den Tageszinssatz erhalten, und diesen Tageszinssatz dann mit der Anzahl der Tage im Monat multiplizieren.

Warum teilen sie durch 360 und nicht durch 365 oder 366? Weil es wieder einfacher zu rechnen ist.