Como calcular os juros de um financiamento imobiliário

Um financiamento imobiliário comum é um empréstimo que fazemos quando queremos comprar um imóvel — tipicamente uma casa ou um apartamento. Vamos mostrar de que maneira são calculados os juros que você terá de pagar pelo financiamento.

Juros anuais versus capitalização mensal

Todo financiamento tem uma taxa de juros anual, que é indicada em porcentagem. Você pode ver, assim, um anúncio de financiamento com taxa de 3% a.a. Esse “a.a.” é a abreviação de “ao ano” (em latim, “per annum”). De forma simplificada e imprecisa, se você pedir emprestado um milhão de reais, pagará 3% de juros por ano, o que dá R$ 30.000.

Na verdade, porém, você não pagará exatamente trinta mil, pagará menos. Isso porque um financiamento comum é pago mensalmente e, com a mesma frequência, o banco contabiliza os juros. Em vez de calcular os juros uma única vez por ano, o banco os calcula doze vezes, uma vez por mês. E, como você vai pagando o financiamento aos poucos, você deve ao banco cada vez menos dinheiro e, por isso, o valor dos juros também fica cada vez menor. Vamos mostrar isso com um exemplo. Você pede emprestado um milhão de reais com juros anuais de 3% e prestação de R$ 10.000 por mês. De quanto serão os juros no primeiro mês?

A primeira prestação

Primeiro calculamos a taxa de juros mensal. Ela é calculada dividindo a taxa anual por doze:

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

A taxa de juros mensal é, portanto, 0,25%. No primeiro mês pagaremos ao banco 0,25% do que ainda devemos ao banco, isto é, de um milhão de reais. Calculamos 0,25% assim:

$$1000000\cdot 0,25\mathrm{\%}=1000000\cdot \mathrm{0,002}5=2500$$

No primeiro mês pagaremos ao banco R$ 2.500 de juros. Como a nossa prestação mensal é de R$ 10.000, depois do primeiro mês devemos ao banco

$$1000000+2500-10000=992500$$

R$ 992.500. A nossa primeira prestação é composta, portanto, de R$ 2.500 que foram para os juros e R$ 7.500 com os quais amortizamos a nossa dívida com o banco. Esses R$ 7.500 são chamados de amortização.

A segunda prestação

Como seria no segundo mês? A taxa de juros mensal não muda, continua sendo 0,25%. Mas muda o valor que devemos ao banco pelo financiamento. Esse valor se chama capital (saldo devedor) e, depois do primeiro mês, é de R$ 992.500. Calculamos os novos juros mensais exatamente como no primeiro mês, só que, em vez de um milhão, vamos calcular com R$ 992.500, isto é, calculamos 0,25% de R$ 992.500:

$$992500\cdot 0,25\mathrm{\%}=992500\cdot \mathrm{0,002}5=2481,25$$

No segundo mês, os juros são, portanto, de apenas R$ 2.481,25, em vez de R$ 2.500 — porque já amortizamos parte da dívida e temos um saldo devedor menor. A amortização será igual a

$$10000-2481,25=7518,75$$

No segundo mês, amortizamos do financiamento mais do que no primeiro e, no total, já devemos apenas

$$992500-7518,75=984981,25$$

As próximas prestações…

As próximas prestações são calculadas sempre do mesmo jeito, até chegarmos a zero. No terceiro mês, calcularíamos os juros como

$$984981,25\cdot 0,25\mathrm{\%}=984981,25\cdot \mathrm{0,002}5=2462,45$$

Vemos que os juros de R$ 2.462,45 são novamente um pouco menores que no mês anterior e, ao contrário, a amortização de R$ 7.537,55 é novamente um pouco maior. A cada mês seguinte os juros serão cada vez menores, porque devemos ao banco cada vez menos dinheiro. E a amortização será cada vez maior — com o passar do tempo, pagamos o financiamento cada vez mais depressa, porque pagamos menos dinheiro em juros e mais dinheiro vai para amortizar o capital.

Podemos notar que, embora os juros anuais fossem de 3%, não pagaremos R$ 30.000 de juros. Para pagar R$ 30.000 de juros, teríamos de pagar R$ 2.500 de juros todo mês. Mas a cada mês pagamos menos e, no final, pagaremos menos de R$ 30.000 de juros.

Na prática, isso é tudo o que você precisa saber sobre como são calculados os juros de um financiamento imobiliário. Mas vamos ainda ver mais algumas curiosidades.

Cálculo exato dos juros mensais

No começo dissemos que calculamos os juros mensais como

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Esse é o cálculo que os bancos usam, mas matematicamente não está correto. Os bancos o usam mais por razões históricas, porque dividir por doze é simplesmente mais fácil que o procedimento matematicamente correto. O que queremos, afinal, ao calcular os juros mensais? Os juros anuais de 3% sobre um milhão nos dizem que, em um ano, o cliente pagaria R$ 30.000 de juros. Imagine que o cliente passasse o ano inteiro sem pagar o financiamento, apenas deixando os juros serem acrescentados. Que taxa de juros mensal deveríamos ter para acumular, depois de doze meses, exatamente R$ 30.000 de juros? Se usarmos a nossa fórmula “dividido por doze”, obteremos mais de R$ 30.000. Vamos calcular de propósito:

Primeiro vamos mostrar como somar os juros ao capital de maneira simples. Se calculamos a taxa de juros mensal como 0,25%, o montante final depois de acrescentados os juros é obtido multiplicando o capital pelo número 1,0025:

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}5=1002500$$

Depois de dois meses sem pagamentos, o capital será igual a

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=1005006,25$$

Ou seja, multiplicamos o milhão pelo número 1,0025 tantas vezes quantas quisermos acrescentar os juros. Para simplificar, podemos usar potências, porque sabemos que

$$\mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=\mathrm{1,002}{5}^2$$

então podemos escrever

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}{5}^2=1005006,25$$

Nós queremos saber qual seria o valor depois de 12 meses:

$$1000000\cdot \mathrm{1,002}{5}^{12}=1030416$$

Vemos que, depois de 12 meses, o capital seria igual a R$ 1.030.416, o que é R$ 416 a mais do que deveria ser. Quer dizer… não é uma diferença muito grande, vamos admitir, mas, enfim, o resultado correto não é esse. Como corrigir?

Voltemos à taxa de juros anual do nosso financiamento. Se queremos saber quanto seria o capital ao aplicar sobre ele os juros anuais de três por cento, podemos escrever assim:

$$1000000\cdot 1,03=1030000$$

Agora queremos decompor o número 1,03 em um produto de doze números iguais, obtendo assim um mais a taxa de juros mensal. Ou seja, o produto de quais doze números iguais nos dá o resultado 1,03? É a raiz décima segunda de 1,03:

$$1,03=\sqrt[12]{1,03}\cdot \sqrt[12]{1,03}\cdot \dots \cdot \sqrt[12]{1,03}$$

Podemos calcular que a raiz décima segunda de 1,03 é 1,0024662 e pouco, o que realmente não é uma grande diferença em relação ao número 1,0025 que obtivemos pelo nosso método de dividir por doze. Mas é o resultado correto: se a nossa taxa de juros mensal fosse igual a $\sqrt[12]{1,03}-1$, o capital aumentaria, depois de um ano sem pagar as prestações, exatamente três por cento.

Juros diários versus juros mensais

Uma curiosidade é que alguns bancos calculam os juros mensais de financiamentos de um jeito um pouco diferente. O cálculo dos juros mensais dividindo os juros anuais por doze tem ainda um efeito colateral: para todos os meses obtemos a mesma taxa de juros, embora os meses tenham durações diferentes. Fevereiro e julho recebem a mesma taxa. Como sair dessa? Alguns bancos resolvem dividindo os juros anuais por 360, obtendo assim a taxa diária, e depois multiplicam essa taxa diária pelo número de dias do mês.

Por que dividem por 360 e não por 365 ou 366? Porque, novamente, é mais fácil de calcular.