Lineare Ungleichungen

Lineare Ungleichungen löst man mit ähnlichen Umformungen wie eine gewöhnliche lineare Gleichung. Eine lineare Ungleichung hat in der Regel diese Form: ax + b>0 (oder auch kleiner als, größer oder gleich und kleiner oder gleich). Jetzt genügt es, die Ungleichung auf die folgende Form zu bringen, und das Ergebnis ist da: x>−b/a. Wir setzen natürlich voraus, dass a>0 ist. Für negatives a würde sich beim Dividieren das Ungleichheitszeichen umdrehen und es käme x<−b/a heraus.

Gewöhnliche lineare Ungleichung

Eine lineare Ungleichung lässt sich mit Äquivalenzumformungen von Ungleichungen lösen.

• Ein einfaches Beispiel kann so aussehen:

  $$3x+9>3$$

  Zuerst bringen wir alle Terme ohne Unbekannte auf die rechte Seite. Wir addieren also zur Ungleichung die Zahl −9 und erhalten die Ungleichung:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Anschließend dividieren wir die ganze Ungleichung durch drei:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Das ist das Ergebnis der ganzen Ungleichung. Die Ungleichung ist für alle x > −2 erfüllt.

  Die Ungleichung könnten wir auch grafisch lösen. Haben wir die Ungleichung 3x + 9 > 3, zeichnen wir die Graphen zweier Funktionen – der linken und der rechten Seite der Ungleichung. Wir erhalten die Funktionen f(x) = 3x + 9 und g(x) = 3. Ihre Graphen sehen so aus:

  

  Wir sehen, dass sich diese Graphen in einem Punkt x₁ schneiden, dessen x-Koordinate genau −2 ist. Wir sehen auch, dass für alle x > x₁, also für alle x aus dem Intervall ]−2; +∞[, die rote Funktion 3x + 9 „über“ der blauen Funktion 3 liegt (hier im Sinne von „hat die größere y-Koordinate“). Das stimmt mit dem Ergebnis überein, das wir vorhin berechnet haben.

• Manchmal ist es praktisch, die ganze Ungleichung mit minus eins zu multiplizieren, wenn viele Minuszeichen vorkommen. In diesem Fall musst du außer den Werten der Ungleichung auch das Ungleichheitszeichen umdrehen – aus „größer als“ wird „kleiner als“ und umgekehrt:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Das gilt natürlich immer, wenn du die ganze Ungleichung mit einer beliebigen negativen Zahl multiplizierst. Noch ein schnelles Beispiel:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  Im ersten Schritt addieren wir ganz normal −2x zur Ungleichung, wir bringen also alle Terme mit der Variablen auf die linke Seite. Gleichzeitig subtrahieren wir die Acht, womit wir die Konstanten auf die rechte Seite bringen. Dann multiplizieren wir nur noch die ganze Ungleichung mit $-\frac{1}{5}$.

  Zur Veranschaulichung sieh dir die grafische Lösung der Ungleichung an, in der wir die beiden Funktionen f(x) = −3x + 8 und g(x) = 2x − 7 einzeichnen.

  

  Wir sehen, dass der rote Graph der Funktion −3x + 8 immer dann unter dem blauen Graphen der Funktion 2x − 7 liegt, wenn x > 3 ist.

Variable im Nenner

Eine lineare Ungleichung, die Brüche mit der Variablen im Nenner enthält, löst man etwas komplizierter. Ein Beispiel ist die Ungleichung:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Die Ungleichung können wir nicht mit der Unbekannten im Nenner multiplizieren, weil wir ihr Vorzeichen nicht kennen. Wäre der Wert der Variablen nämlich negativ, müssten wir das Ungleichheitszeichen umdrehen. Deshalb dürfen wir die Ungleichung nicht einfach mit der Variablen im Nenner multiplizieren. Es wäre keine Äquivalenzumformung von Ungleichungen.

Wir beginnen damit, die Ungleichung so umzuformen, dass wir auf der linken Seite einen einzigen Bruch und auf der rechten Seite null haben. Zuerst addieren wir also zur Ungleichung −4, damit erhalten wir die Form:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Jetzt müssen wir den Term auf der linken Seite zu einem einzigen Bruch zusammenfassen. Die Zahl −1 multiplizieren wir also mit dem Bruch $\frac{x}{x}$, wodurch wir beide Terme auf den gemeinsamen Nenner bringen, und dann addieren wir die Brüche einfach:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Jetzt stehen wir vor der Frage – wann ist ein Bruch positiv? Ein Bruch ist positiv, wenn Zähler und Nenner beide positiv sind oder wenn Zähler und Nenner beide negativ sind. Ist einer von ihnen positiv und der andere negativ, ist der Bruch negativ. Haben wir zum Beispiel den Bruch $\frac{4}{3}$, stellt der ganze Bruch eine positive Zahl dar. Haben wir den Bruch $\frac{-3}{4}$, stellt der Bruch eine negative Zahl dar. Der Bruch $\frac{-3}{-4}$ stellt wiederum eine positive Zahl dar, weil sich die Minuszeichen aufheben. Allgemein können wir schreiben:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{positiv}}{\text{positiv}}& =& \text{positiv}\\ \frac{\text{positiv}}{\text{negativ}}& =& \text{negativ}\\ \frac{\text{negativ}}{\text{positiv}}& =& \text{negativ}\\ \frac{\text{negativ}}{\text{negativ}}& =& \text{positiv}\end{array}$$

Wir müssen also zwei Gruppen von Ungleichungen lösen. Wir beginnen damit, dass wir bestimmen, wann Zähler und Nenner beide positiv sind:

1. Damit Zähler und Nenner beide positiv sind, müssen diese beiden Ungleichungen gleichzeitig gelten:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   Bei der ersten Ungleichung bringen wir nur die 2 auf die andere Seite und multiplizieren mit −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Wir haben die Lösung der ersten Ungleichung. Bei der zweiten Ungleichung x > 0 gibt es nichts mehr zu lösen. Jetzt müssen wir die Schnittmenge dieser Lösungen bilden, denn uns interessieren die Fälle, in denen beide Lösungen gleichzeitig gelten, also in denen der Zähler positiv und zugleich der Nenner positiv ist. Die erste Lösung können wir als Intervall ]−∞; 2[ schreiben, die zweite Lösung als Intervall ]0; ∞[. Nun bilden wir die Schnittmenge dieser Intervalle:

   $$]-\mathrm{\infty };2[\cap ]0;\mathrm{\infty }[=]0;2[$$

   Das ist eine weitere Lösung der Ungleichung. Wenn du Zahlen aus diesem Intervall einsetzt, ist die Ungleichung erfüllt. Setzen wir zum Beispiel für x den Wert x = 1 ein, also eine Zahl aus dem Intervall ]0; 2[, erhalten wir die Ungleichung $\frac{2}{1}+3>4$, was 5 > 4 ergibt. Jetzt bleibt noch der Fall zu untersuchen, dass Zähler und Nenner beide negativ sind.

2. Sollen Zähler und Nenner beide negativ sein, lösen wir die Ungleichungen:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Wieder lösen wir schnell die Ungleichung 2 − x < 0:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   Die zweite Lösung ist wieder einfach x < 0. Wir schreiben sie als Intervalle: ]2; ∞[ und ]−∞; 0[ und bilden die Schnittmenge:

   $$]2;\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty };0[=\mathrm{\varnothing }$$

   Wir haben die leere Menge erhalten. Was bedeutet das? Dass der Bruch $\frac{2-x}{x}$ nie einen negativen Zähler und zugleich einen negativen Nenner haben kann.

Beide vorherigen Ergebnisse vereinigen wir nur noch und erhalten die Lösungsmenge L:

$$L=]0;2[\cup \mathrm{\varnothing }=]0;2[$$

Die Ungleichung $\frac{2}{x}+3>4$ ist für alle x aus dem Intervall ]0; 2[ erfüllt. Wir können einen Graphen zeichnen, in dem wir die Funktionen $f(x)=\frac{2}{x}+3$ und g(x) = 4 darstellen:

Wir sehen, dass der rote Graph der Funktion $f(x)=\frac{2}{x}+3$ genau im Intervall ]0; 2[ über dem blauen Graphen der Funktion g(x) = 4 liegt.

Lineare Ungleichungen mit Betrag

Etwas mehr Spaß machen Ungleichungen, die einen Betrag enthalten. Du musst nämlich getrennt berechnen, wann der Term im Betrag positiv ist und sich das Vorzeichen deshalb nicht ändert, und wann der Term negativ ist und sich das Vorzeichen ändert – im Grunde entstehen zwei Ungleichungen in einer. Ein einfaches Beispiel:

$$|x+5|<12$$

Als Erstes müssen wir die Nullstelle bestimmen. Das ist die Zahl, bei deren Einsetzen der ganze Term im Betrag null wird, und sie dient dazu, die Intervalle festzulegen, in denen sich das Vorzeichen ändert und in denen nicht. Als Erstes lösen wir also die Gleichung

$$x+5=0$$

Wir sehen, dass das Ergebnis x = −5 ist. Dieses Ergebnis teilt die Werte von x in zwei Intervalle auf. In dem einen nimmt die Funktion x + 5 positive Werte an, im anderen negative. Im Intervall ]−∞; −5[ erhalten wir also negative Zahlen und im Intervall [−5; +∞[ positive, genauer gesagt nichtnegative. Zur Veranschaulichung steht in der ersten Zeile eine Zahl aus dem ersten Intervall, in der zweiten eine aus dem zweiten:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Was sagt uns das? Setzen wir für x einen Wert größer als minus fünf ein, ändert der Betrag das Ergebnis nicht, weil x + 5 eine positive Zahl sein wird. Ist dagegen der Wert von x kleiner als minus fünf, wird das Ergebnis von x + 5 negativ und der Betrag macht daraus eine positive Zahl. Deshalb müssen wir in der Ungleichung diese beiden Fälle unterscheiden.

Zuerst berechnen wir also das Ergebnis für den Fall, dass wir x aus dem Intervall [−5; +∞[ nehmen. In diesem Fall ändert sich das Vorzeichen nicht, wir lassen nur den Betrag weg.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & ]-\mathrm{\infty };7[\end{array}$$

Wir haben fast die erste Lösung. Wir müssen nämlich noch die Schnittmenge mit dem Intervall bilden, aus dem wir x gerade wählen. Wir bewegen uns ja im Intervall [−5; +∞[, das Ergebnis dieser linearen Ungleichung kann also zum Beispiel nicht x = −15 sein, weil das nicht in unser Intervall fällt. Wir müssen also die Schnittmenge bilden:

$$[-5;+\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty };7[=[-5;7[$$

Das ist das erste Ergebnis. Nun müssen wir das Ergebnis für den Fall berechnen, dass wir x aus dem Intervall ]−∞; −5[ nehmen. In diesem Intervall ändert der Betrag das Vorzeichen. Wollen wir aus der Ungleichung den Betrag entfernen, müssen wir die Vorzeichenänderung selbst herbeiführen, das heißt, wir multiplizieren den Term im Betrag mit der Zahl −1, wodurch wir sein Vorzeichen ändern. Wir schreiben es also so um:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Zur Ungleichung addieren wir 5:

$$-x<17$$

Und multiplizieren mit −1:

$$x>-17$$

Wir erhalten also das Ergebnis:

$$x\in ]-17;\mathrm{\infty }[$$

Aber wieder wie vorhin: Den Wert von x wählen wir aus dem Intervall ]−∞; −5[, also müssen wir noch die Schnittmenge dieses Intervalls mit unserem Ergebnis bilden:

$$]-17;\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty };-5[=]-17;-5[$$

Jetzt haben wir beide Ergebnisse, die wir nur noch vereinigen:

$$x\in [-5;7[\cup ]-17;-5[=]-17;7[$$

Zur Kontrolle können wir uns die Graphen dieser Funktionen ansehen:

Noch ein paar Worte dazu, wann man ein abgeschlossenes und wann ein offenes Intervall verwendet. Haben wir eine strenge Ungleichung, also x>0, verwenden wir ein offenes Intervall, weil x nicht gleich null sein darf. Haben wir keine strenge Ungleichung, sondern x ≥ 0, verwenden wir ein abgeschlossenes Intervall, weil x gleich null sein darf. Wenn du zum Beispiel in die Ungleichung, die wir gerade gelöst haben, x = 7 einsetzt, was „knapp“ nicht in der Lösung der Ungleichung enthalten ist, erhältst du:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

Die Ungleichung gilt nicht, 12 ist nicht kleiner als 12.