Lineaarinen epäyhtälö

Lineaarinen epäyhtälö ratkaistaan samanlaisilla muunnoksilla kuin tavallinen ensimmäisen asteen yhtälö. Lineaarinen epäyhtälö on yleensä muotoa ax + b>0 (tai vastaavasti pienempi kuin, suurempi tai yhtä suuri kuin ja pienempi tai yhtä suuri kuin). Nyt riittää muuntaa epäyhtälö seuraavaan muotoon, ja ratkaisu on valmis: x>−b/a. Oletetaan tietysti, että a>0. Negatiivisella a:lla epäyhtälömerkki kääntyisi jakamisessa ja saataisiin x<−b/a.

Tavallinen lineaarinen epäyhtälö

Lineaarinen epäyhtälö voidaan ratkaista epäyhtälön yhtäpitävillä muunnoksilla.

• Yksinkertainen esimerkki voi olla tällainen:

  $$3x+9>3$$

  Siirretään ensin kaikki termit, joissa ei ole tuntematonta, oikealle puolelle. Lisätään siis epäyhtälön molemmille puolille luku −9, jolloin saadaan epäyhtälö:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Seuraavaksi koko epäyhtälö jaetaan kolmella:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Tämä on koko epäyhtälön ratkaisu. Epäyhtälö toteutuu kaikilla x > −2.

  Epäyhtälön voisi ratkaista myös graafisesti. Jos epäyhtälö on 3x + 9 > 3, piirretään kahden funktion – epäyhtälön vasemman ja oikean puolen – kuvaajat. Saadaan funktiot f(x) = 3x + 9 ja g(x) = 3. Niiden kuvaajat näyttävät tältä:

  

  Nähdään, että kuvaajat leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä x₁, jonka x-koordinaatti on juuri −2. Nähdään myös, että kaikilla x > x₁, eli kaikilla x välillä ]−2, ∞[, punainen funktio 3x + 9 on sinisen funktion 3 ”yläpuolella” (tässä ”yläpuolella” tarkoittaa ”y-koordinaatti on suurempi”). Tämä on sopusoinnussa äsken lasketun tuloksen kanssa.

• Joskus on hyödyllistä kertoa koko epäyhtälö luvulla miinus yksi, jos siinä on paljon miinusmerkkejä. Tällöin on kuitenkin muutettava itse lausekkeiden lisäksi myös epäyhtälömerkki – suuremmasta kuin pienemmäksi kuin ja päinvastoin:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Tämä pätee tietysti aina, kun kerrot koko epäyhtälön millä tahansa negatiivisella luvulla. Otetaan vielä yksi nopea esimerkki:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  Ensimmäisessä vaiheessa epäyhtälöön lisätään tavalliseen tapaan −2x, jolloin kaikki muuttujalliset termit siirtyvät vasemmalle puolelle. Samalla vähennetään kahdeksan, jolloin vakiot siirtyvät oikealle puolelle. Sen jälkeen kerrotaan koko epäyhtälö luvulla $-\frac{1}{5}$.

  Havainnollistukseksi voit katsoa epäyhtälön graafisen ratkaisun, jossa piirretään kaksi funktiota f(x) = −3x + 8 ja g(x) = 2x − 7.

  

  Nähdään, että funktion −3x + 8 punainen kuvaaja on funktion 2x − 7 sinisen kuvaajan alapuolella aina, kun x > 3.

Muuttuja nimittäjässä

Lineaarinen epäyhtälö, jossa on murtolukuja ja muuttuja nimittäjässä, ratkaistaan hieman monimutkaisemmin. Esimerkki tällaisesta epäyhtälöstä on:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Epäyhtälöä ei voi kertoa nimittäjässä olevalla tuntemattomalla, koska sen merkkiä ei tiedetä. Jos muuttujan arvo olisi negatiivinen, epäyhtälömerkki pitäisi kääntää. Siksi epäyhtälöä ei voi vain kertoa nimittäjässä olevalla muuttujalla. Se ei olisi epäyhtälön yhtäpitävä muunnos.

Aletaan muuntaa epäyhtälöä niin, että vasemmalle puolelle saadaan yksi murtoluku ja oikealle puolelle nolla. Lisätään ensin epäyhtälön molemmille puolille −4, jolloin saadaan muoto:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Nyt vasemman puolen lauseke täytyy muuttaa yhdeksi murtoluvuksi. Luku −1 kerrotaan murtoluvulla $\frac{x}{x}$, jolloin molemmilla lausekkeilla on yhteinen nimittäjä, ja sitten murtoluvut vain lasketaan yhteen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Nyt edessä on kysymys: milloin murtoluku on positiivinen? Murtoluku on positiivinen, jos osoittaja ja nimittäjä ovat molemmat positiivisia tai jos osoittaja ja nimittäjä ovat molemmat negatiivisia. Jos toinen on positiivinen ja toinen negatiivinen, murtoluku on negatiivinen. Esimerkiksi murtoluku $\frac{4}{3}$ on positiivinen luku. Murtoluku $\frac{-3}{4}$ on negatiivinen luku. Murtoluku $\frac{-3}{-4}$ on taas positiivinen luku, koska miinusmerkit supistuvat pois. Yleisesti voidaan kirjoittaa:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{positiivinen}}{\text{positiivinen}}& =& \text{positiivinen}\\ \frac{\text{positiivinen}}{\text{negatiivinen}}& =& \text{negatiivinen}\\ \frac{\text{negatiivinen}}{\text{positiivinen}}& =& \text{negatiivinen}\\ \frac{\text{negatiivinen}}{\text{negatiivinen}}& =& \text{positiivinen}\end{array}$$

Täytyy siis ratkaista kaksi epäyhtälöryhmää. Aloitetaan selvittämällä, milloin osoittaja ja nimittäjä ovat molemmat positiivisia:

1. Jotta osoittaja ja nimittäjä olisivat molemmat positiivisia, näiden epäyhtälöiden täytyy toteutua yhtä aikaa:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   Ensimmäisessä epäyhtälössä siirretään 2 toiselle puolelle ja kerrotaan luvulla −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Ensimmäisen epäyhtälön ratkaisu on selvillä. Toisessa epäyhtälössä x > 0 ei ole enää mitään ratkaistavaa. Nyt täytyy muodostaa näiden ratkaisujen leikkaus, koska ollaan kiinnostuneita tapauksista, joissa molemmat ratkaisut toteutuvat yhtä aikaa, eli osoittaja on positiivinen ja samalla nimittäjä on positiivinen. Ensimmäinen ratkaisu voidaan kirjoittaa välinä ]−∞, 2[ ja toinen ratkaisu välinä ]0, ∞[. Muodostetaan nyt näiden välien leikkaus:

   $$]-\mathrm{\infty },2[\cap ]0,\mathrm{\infty }[=]0,2[$$

   Tämä on yksi epäyhtälön ratkaisuista. Jos sijoitat tämän välin lukuja, epäyhtälö toteutuu. Esimerkiksi kun x:n paikalle sijoitetaan x = 1, joka on luku väliltä ]0, 2[, saadaan epäyhtälö $\frac{2}{1}+3>4$, eli 5 > 4. Nyt on vielä tutkittava tapaus, jossa osoittaja ja nimittäjä ovat molemmat negatiivisia.

2. Kun osoittajan ja nimittäjän halutaan olevan molemmat negatiivisia, ratkaistaan epäyhtälöt:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Ratkaistaan taas nopeasti epäyhtälö 2 − x < 0:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   Toinen ratkaisu on taas yksinkertaisesti x < 0. Kirjoitetaan ne väleinä: ]2, ∞[ ja ]−∞, 0[, ja muodostetaan leikkaus:

   $$]2,\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty },0[=\mathrm{\varnothing }$$

   Tulokseksi saatiin tyhjä joukko. Mitä se tarkoittaa? Sitä, että murtoluvun $\frac{2-x}{x}$ osoittaja ja nimittäjä eivät voi koskaan olla yhtä aikaa negatiivisia.

Molemmat edelliset tulokset vain yhdistetään, ja saadaan ratkaisujoukko S:

$$S=]0,2[\cup \mathrm{\varnothing }=]0,2[$$

Epäyhtälö $\frac{2}{x}+3>4$ toteutuu kaikilla x väliltä ]0, 2[. Voidaan piirtää kuvaaja, johon merkitään funktiot $f(x)=\frac{2}{x}+3$ ja g(x) = 4:

Nähdään, että funktion $f(x)=\frac{2}{x}+3$ punainen kuvaaja on funktion g(x) = 4 sinisen kuvaajan yläpuolella täsmälleen välillä ]0, 2[.

Lineaarinen epäyhtälö, jossa on itseisarvo

Hieman hankalampia ovat epäyhtälöt, joissa on itseisarvo. Täytyy nimittäin laskea erikseen tapaukset, joissa itseisarvon sisällä oleva lauseke on positiivinen, jolloin merkki ei muutu, ja joissa se on negatiivinen, jolloin merkki muuttuu – syntyy periaatteessa kaksi epäyhtälöä yhdessä. Otetaan yksinkertainen esimerkki:

$$|x+5|<12$$

Ensimmäiseksi täytyy määrittää nollakohta. Se on luku, jonka sijoittamisen jälkeen koko itseisarvon sisällä oleva lauseke on nolla, ja sen avulla määritetään välit, joilla merkki muuttuu ja joilla ei. Ratkaistaan siis ensin yhtälö

$$x+5=0$$

Nähdään, että tulos on x = −5. Tämä jakaa x:n arvot kahteen väliin. Toisella funktio x + 5 saa positiivisia arvoja ja toisella negatiivisia. Välillä ]−∞, −5[ saadaan siis negatiivisia lukuja ja välillä [−5, ∞[ positiivisia eli tarkemmin ei-negatiivisia. Havainnollistukseksi ensimmäisellä rivillä on luku ensimmäiseltä väliltä ja toisella rivillä toiselta väliltä:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Mitä tämä kertoo? Jos x:n paikalle sijoitetaan arvo, joka on suurempi kuin miinus viisi, itseisarvo ei muuta tulosta, koska x + 5 on positiivinen luku. Jos taas x:n arvo on pienempi kuin miinus viisi, x + 5 on negatiivinen ja itseisarvo muuttaa sen positiiviseksi. Siksi epäyhtälössä täytyy erottaa nämä kaksi tapausta.

Lasketaan ensin tulos siinä tapauksessa, että x otetaan väliltä [−5, ∞[. Nyt merkki ei muutu, koska itseisarvo vain poistetaan.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & ]-\mathrm{\infty },7[\end{array}$$

Ensimmäinen ratkaisu on melkein valmis. Täytyy nimittäin vielä muodostaa leikkaus sen välin kanssa, jolta x parhaillaan valitaan. Liikutaan nimittäin välillä [−5, ∞[, joten tämän lineaarisen epäyhtälön ratkaisuksi ei voi tulla esimerkiksi x = −15, koska se ei kuulu tähän väliin. Täytyy siis muodostaa leikkaus:

$$[-5,\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty },7[=[-5,7[$$

Tämä on ensimmäinen tulos. Nyt täytyy laskea tulos siinä tapauksessa, että x otetaan väliltä ]−∞, −5[. Tällä välillä itseisarvo muuttaa merkin. Jos itseisarvo halutaan poistaa epäyhtälöstä, merkin muutos täytyy tehdä itse, eli itseisarvon sisällä oleva lauseke kerrotaan luvulla −1, jolloin sen merkki vaihtuu. Kirjoitetaan siis uudelleen:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Lisätään epäyhtälön molemmille puolille 5:

$$-x<17$$

Ja kerrotaan luvulla −1:

$$x>-17$$

Saadaan siis tulos:

$$x\in ]-17,\mathrm{\infty }[$$

Mutta kuten äsken, x valitaan väliltä ]−∞, −5[, joten tämän välin ja saadun tuloksen leikkaus täytyy vielä muodostaa:

$$]-17,\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty },-5[=]-17,-5[$$

Nyt molemmat tulokset ovat tiedossa, ja ne vain yhdistetään:

$$x\in [-5,7[\cup ]-17,-5[=]-17,7[$$

Tarkistukseksi voidaan katsoa näiden funktioiden kuvaajia:

Vielä muutama sana siitä, milloin käytetään suljettua ja milloin avointa väliä. Jos epäyhtälö on aito, eli esimerkiksi x>0, käytetään avointa väliä, koska x ei voi olla nolla. Jos epäyhtälö ei ole aito, x ≥ 0, käytetään suljettua väliä, koska x voi olla nolla. Jos esimerkiksi juuri ratkaistuun epäyhtälöön sijoitetaan x = 7, joka ”täpärästi” ei kuulu epäyhtälön ratkaisuun, saadaan:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

Epäyhtälö ei toteudu, 12 ei ole pienempi kuin 12.