Pertidaksamaan linear

Pertidaksamaan linear diselesaikan dengan operasi yang mirip dengan cara menyelesaikan persamaan linear biasa. Pertidaksamaan linear biasanya berbentuk seperti ini: ax + b>0 (atau dengan tanda kurang dari, lebih dari atau sama dengan, dan kurang dari atau sama dengan). Kemudian pertidaksamaan cukup diubah ke bentuk berikut, dan hasilnya langsung diperoleh: x>−b/a. Tentu saja di sini kita menganggap a>0. Untuk a negatif, tanda pertidaksamaan dibalik saat pembagian, sehingga diperoleh x<−b/a.

Pertidaksamaan linear biasa

Pertidaksamaan linear dapat diselesaikan dengan operasi ekuivalen pada pertidaksamaan.

• Contoh sederhananya bisa seperti ini:

  $$3x+9>3$$

  Pertama, semua bentuk tanpa variabel kita pindahkan ke ruas kanan. Jadi, ke kedua ruas pertidaksamaan kita tambahkan bilangan −9, sehingga diperoleh pertidaksamaan:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Kemudian seluruh pertidaksamaan kita bagi tiga:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Inilah penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Pertidaksamaan ini dipenuhi oleh semua x > −2.

  Pertidaksamaan ini juga bisa diselesaikan secara grafis. Dari pertidaksamaan 3x + 9 > 3, kita gambar grafik dua fungsi, yaitu ruas kiri dan ruas kanan pertidaksamaan. Diperoleh fungsi f(x) = 3x + 9 dan g(x) = 3. Grafiknya tampak seperti ini:

  

  Terlihat bahwa kedua grafik berpotongan di satu titik x₁, yang absisnya (koordinat x) adalah −2. Terlihat pula bahwa untuk semua x > x₁, yaitu untuk semua x pada interval (−2, ∞), grafik merah fungsi 3x + 9 berada “di atas” grafik biru fungsi 3 (di sini “di atas” berarti “mempunyai koordinat y yang lebih besar”). Hal ini sesuai dengan hasil yang baru saja kita hitung.

• Jika ada banyak tanda minus, kadang berguna untuk mengalikan seluruh pertidaksamaan dengan minus satu. Dalam kasus ini, selain nilai-nilai pada pertidaksamaan, kamu juga harus membalik tanda pertidaksamaan: “lebih dari” menjadi “kurang dari” dan sebaliknya. Penulisan /·(−1) berarti “kedua ruas dikalikan −1”:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Hal ini tentu berlaku setiap kali kamu mengalikan seluruh pertidaksamaan dengan bilangan negatif berapa pun. Satu contoh singkat lagi:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  Pada langkah pertama, seperti biasa kita tambahkan −2x ke kedua ruas, sehingga semua bentuk yang memuat variabel pindah ke ruas kiri. Sekaligus kita kurangi delapan, sehingga konstanta pindah ke ruas kanan. Lalu seluruh pertidaksamaan tinggal kita kalikan dengan $-\frac{1}{5}$.

  Sebagai ilustrasi, perhatikan penyelesaian grafis pertidaksamaan ini. Kita gambar dua fungsi, yaitu f(x) = −3x + 8 dan g(x) = 2x − 7.

  

  Terlihat bahwa grafik merah fungsi −3x + 8 berada di bawah grafik biru fungsi 2x − 7 setiap kali x > 3.

Variabel di penyebut

Pertidaksamaan linear yang memuat pecahan dengan variabel di penyebut diselesaikan dengan cara yang sedikit lebih rumit. Contohnya pertidaksamaan berikut:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Pertidaksamaan ini tidak boleh kita kalikan dengan variabel di penyebut, karena kita tidak tahu tandanya. Jika nilai variabel itu negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik. Karena itu, pertidaksamaan tidak boleh begitu saja dikalikan dengan variabel di penyebut. Langkah itu bukan operasi ekuivalen pada pertidaksamaan.

Kita mulai mengubah pertidaksamaan sehingga di ruas kiri ada satu pecahan dan di ruas kanan ada nol. Pertama, ke kedua ruas kita tambahkan −4, sehingga diperoleh bentuk:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Sekarang bentuk di ruas kiri harus kita jadikan satu pecahan. Bilangan −1 kita kalikan dengan pecahan $\frac{x}{x}$, sehingga kedua bentuk mempunyai penyebut yang sama, lalu pecahan-pecahannya tinggal dijumlahkan:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Sekarang muncul pertanyaan: kapan pecahan bernilai positif? Pecahan bernilai positif jika pembilang dan penyebutnya sama-sama positif, atau jika pembilang dan penyebutnya sama-sama negatif. Jika salah satunya positif dan yang lain negatif, pecahan bernilai negatif. Misalnya, pecahan $\frac{4}{3}$ menyatakan bilangan positif. Pecahan $\frac{-3}{4}$ menyatakan bilangan negatif. Pecahan $\frac{-3}{-4}$ kembali menyatakan bilangan positif, karena kedua tanda minus saling meniadakan. Secara umum dapat ditulis:

$$\begin{array}{rcl}\frac{positif}{positif}& =& positif\\ \frac{positif}{negatif}& =& negatif\\ \frac{negatif}{positif}& =& negatif\\ \frac{negatif}{negatif}& =& positif\end{array}$$

Jadi, kita harus menyelesaikan dua kelompok pertidaksamaan. Kita mulai dengan mencari kapan pembilang dan penyebut sama-sama positif:

1. Agar pembilang dan penyebut sama-sama positif, kedua pertidaksamaan berikut harus dipenuhi sekaligus:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   Pada pertidaksamaan pertama, 2 kita pindahkan ke ruas kanan, lalu kita kalikan −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Kita sudah memperoleh penyelesaian pertidaksamaan pertama. Pertidaksamaan kedua, x > 0, tidak perlu diselesaikan lagi. Sekarang kita harus mencari irisan kedua penyelesaian ini, karena kita mencari kasus ketika keduanya dipenuhi sekaligus, yaitu ketika pembilang positif dan penyebut juga positif. Penyelesaian pertama dapat ditulis sebagai interval (−∞,2), penyelesaian kedua sebagai interval (0,∞). Sekarang kita cari irisan kedua interval ini:

   $$(-\mathrm{\infty },2)\cap (0,\mathrm{\infty })=(0,2)$$

   Ini adalah bagian dari penyelesaian pertidaksamaan. Jika kamu menyubstitusikan bilangan dari interval ini, pertidaksamaan akan dipenuhi. Misalnya, jika x kita substitusikan dengan x = 1, yaitu bilangan dari interval (0, 2), diperoleh pertidaksamaan $\frac{2}{1}+3>4$, yaitu 5 > 4. Sekarang tinggal memeriksa kasus ketika pembilang dan penyebut sama-sama negatif.

2. Jika pembilang dan penyebut harus sama-sama negatif, kita menyelesaikan pertidaksamaan:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Sekali lagi kita selesaikan dengan cepat pertidaksamaan 2 − x < 0:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   Penyelesaian kedua lagi-lagi cukup x < 0. Kita tuliskan sebagai interval: (2,∞) dan (−∞, 0), lalu kita cari irisannya:

   $$(2,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },0)=\mathrm{\varnothing }$$

   Kita memperoleh himpunan kosong. Apa artinya? Pecahan $\frac{2-x}{x}$ tidak pernah mempunyai pembilang negatif sekaligus penyebut negatif.

Kedua hasil tadi tinggal kita gabungkan, dan diperoleh himpunan penyelesaian S:

$$S=(0,2)\cup \mathrm{\varnothing }=(0,2)$$

Pertidaksamaan $\frac{2}{x}+3>4$ dipenuhi oleh semua x pada interval (0, 2). Kita bisa menggambar grafik fungsi $f(x)=\frac{2}{x}+3$ dan g(x) = 4:

Terlihat bahwa grafik merah fungsi $f(x)=\frac{2}{x}+3$ berada di atas grafik biru fungsi g(x) = 4 tepat pada interval (0, 2).

Pertidaksamaan linear dengan nilai mutlak

Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak sedikit lebih seru. Kamu harus menghitung secara terpisah kapan bentuk di dalam nilai mutlak positif, sehingga tandanya tidak berubah, dan kapan bentuk itu negatif, sehingga tandanya berubah. Pada dasarnya, ada dua pertidaksamaan dalam satu. Contoh sederhana:

$$|x+5|<12$$

Pertama-tama, kita harus menentukan pembuat nol, yaitu bilangan yang jika disubstitusikan membuat seluruh bentuk di dalam nilai mutlak sama dengan nol. Pembuat nol ini dipakai untuk menentukan interval tempat tanda berubah dan tempat tanda tidak berubah. Jadi, pertama kita selesaikan persamaan

$$x+5=0$$

Terlihat bahwa hasilnya x = −5. Hasil ini membagi nilai x menjadi dua interval. Pada interval yang satu, fungsi x + 5 bernilai positif, dan pada interval lainnya bernilai negatif. Jadi, pada interval (−∞, −5) diperoleh bilangan negatif, dan pada interval [−5, ∞) diperoleh bilangan positif, atau tepatnya nonnegatif. Sebagai contoh, baris pertama memakai bilangan dari interval pertama, baris kedua dari interval kedua:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Apa artinya? Jika x kita substitusikan dengan nilai yang lebih besar daripada minus lima, nilai mutlak tidak mengubah hasilnya, karena x + 5 bernilai positif. Sebaliknya, jika nilai x lebih kecil daripada minus lima, hasil x + 5 negatif dan nilai mutlak mengubahnya menjadi positif. Karena itu, pada pertidaksamaan ini kita harus membedakan kedua kasus tersebut.

Pertama, kita hitung hasilnya jika x kita ambil dari interval [−5, ∞). Di sini tanda tidak berubah, karena kita cukup menghilangkan nilai mutlak.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & (-\mathrm{\infty },7)\end{array}$$

Penyelesaian pertama hampir selesai. Kita masih harus mencari irisannya dengan interval tempat x sedang kita ambil. Kita bekerja pada interval [−5, ∞), sehingga hasil pertidaksamaan linear ini tidak mungkin, misalnya, x = −15, karena nilai itu tidak termasuk dalam interval kita. Jadi, kita cari irisannya:

$$[-5,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },7)=[-5,7)$$

Inilah hasil pertama. Sekarang kita harus menghitung hasilnya jika x kita ambil dari interval (−∞, −5). Pada interval ini nilai mutlak membalik tanda. Jika kita ingin menghilangkan nilai mutlak dari pertidaksamaan, pembalikan tanda harus kita lakukan sendiri: bentuk di dalam nilai mutlak kita kalikan dengan −1, sehingga tandanya berubah. Jadi, kita tulis ulang seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Ke kedua ruas kita tambahkan 5:

$$-x<17$$

Lalu kita kalikan −1:

$$x>-17$$

Diperoleh hasil:

$$x\in (-17,\mathrm{\infty })$$

Namun, seperti tadi, nilai x kita ambil dari interval (−∞, −5), sehingga kita masih harus mencari irisan interval ini dengan hasil kita:

$$(-17,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },-5)=(-17,-5)$$

Sekarang kedua hasil sudah diperoleh, dan keduanya tinggal kita gabungkan:

$$x\in [-5,7)\cup (-17,-5)=(-17,7)$$

Untuk memeriksanya, kita bisa melihat grafik fungsi-fungsi ini:

Beberapa kata lagi tentang kapan memakai interval tertutup dan kapan interval terbuka. Jika pertidaksamaannya tegas, misalnya x>0, kita memakai interval terbuka, karena x tidak boleh sama dengan nol. Jika pertidaksamaannya tidak tegas, misalnya x ≥ 0, kita memakai interval tertutup, karena x boleh sama dengan nol. Misalnya, jika ke pertidaksamaan yang baru saja kita selesaikan kamu substitusikan x = 7, yang “nyaris” termasuk dalam penyelesaian pertidaksamaan, diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

Pertidaksamaan ini tidak dipenuhi, karena 12 tidak kurang dari 12.