Persamaan linear dengan parameter

Persamaan linear dapat memuat parameter, yang biasanya dilambangkan dengan p. Tujuan kita adalah menganalisis penyelesaian persamaan linear itu berdasarkan nilai parameter p.

Motivasi

Coba selesaikan soal berikut: kamu menulis novel berjudul “Si Kancil dan Timun Mas Mengusir Buto Ijo dari Hutan” dan ingin mencetaknya sebagai buku untuk dihadiahkan kepada teman-teman. Uang yang kamu punya Rp1.000.000. Biaya cetaknya sebagai berikut: biaya dasar Rp10.000 per buku, ditambah Rp100 untuk setiap halaman. Novelmu tebalnya 300 halaman. Berapa banyak buku yang bisa kamu cetak?

Ini adalah soal sederhana tentang persamaan linear. Persamaannya kita susun seperti ini: variabel x menyatakan banyak buku yang bisa dicetak. Diperoleh persamaan (10.000 + 300 · 100)x = 1.000.000. Bentuk dalam tanda kurung menyatakan harga satu buku (10.000 adalah biaya dasar, 300 · 100 adalah biaya halaman). Kita selesaikan persamaannya:

$$\begin{array}{rcl}(10.000+300\cdot 100)x& =& 1.000.000\\ 40.000x& =& 1.000.000\\ x& =& \frac{1.000.000}{40.000}\\ x& =& 25\end{array}$$

Kamu bisa mencetak 25 buku. Namun, biaya per halaman terlalu mahal, jadi kita turunkan menjadi 80 rupiah. Sekarang berapa buku yang bisa dicetak? Kita susun lagi persamaannya: (10.000 + 300 · 80)x = 1.000.000, lalu kita selesaikan:

$$\begin{array}{rcl}(10.000+300\cdot 80)x& =& 1.000.000\\ (10.000+24.000)x& =& 1.000.000\\ 34.000x& =& 1.000.000\\ x& =& \frac{1.000.000}{34.000}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

Kamu bisa mencetak 29 buku. Sebenarnya, dengan jumlah halaman yang cukup banyak, mungkin kita bisa meminta sedikit potongan harga untuk setiap halaman, bukan? Mungkin hanya 60 rupiah per halaman, yaitu 0,6 kali harga semula? Boleh juga. Lalu kita hitung lagi berapa buku yang bisa dicetak.

Kamu tentu bisa menebak bahwa harga bisa kita ubah terus tanpa akhir. Bagaimana cara elegan untuk menyelesaikannya? Kita gunakan parameter, yaitu huruf lain yang menyatakan harga per halaman buku. Parameter ini kita lambangkan dengan huruf p. Agar terbatas, misalkan harga per halaman berada pada interval (0, 100] rupiah. Harganya tidak nol, karena tidak ada yang mau mencetak gratis, dan tidak ada yang lebih mahal daripada Rp100 per halaman. Bagaimana bentuk persamaannya sekarang?

$$(10.000+300p)x=1.000.000$$

Persamaan ini sesuai dengan gambaran kita tentang harga: Rp10.000 adalah biaya dasar yang tidak berubah. Biaya untuk 300 halaman dihitung dengan mengalikan harga per halaman, yaitu parameter p, dengan 300. Bagaimana penyelesaian persamaan ini? Kita harus menyatakan x tersendiri:

$$\begin{array}{r}(10.000+300p)x=1.000.000\\ x=\frac{1.000.000}{10.000+300p}\end{array}$$

Selesai. Sekarang kita cukup mengetahui harga per halaman untuk menghitung banyak buku yang bisa dicetak. Jika harga per halaman dua puluh rupiah, setelah substitusi p diperoleh:

$$x=\frac{1.000.000}{10.000+300\cdot 20}=\frac{1.000.000}{10.000+6.000}=\frac{1.000.000}{16.000}\approx 62$$

Kamu bisa mencetak 62 buku. Lumayan banyak.

Persamaan dengan parameter secara umum

Pada persamaan dengan parameter secara umum, kita ingin mengetahui penyelesaian persamaan berdasarkan nilai parameternya. Contoh persamaan seperti ini:

$$(2p+2)x-6=0$$

Pertama, kita cari kapan variabel x hilang dari persamaan. Hal ini terjadi jika koefisien variabel sama dengan nol, yaitu jika 2p + 2 = 0. Persamaan ini kita selesaikan dan diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Jika parameter p sama dengan minus satu, variabel x hilang dari persamaan, dan diperoleh persamaan −6 = 0. Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian.

Sekarang kita hitung penyelesaian untuk p ≠ − 1. Penyelesaiannya kita hitung seperti biasa, tetapi hasilnya bukan bilangan “akhir”, melainkan penyelesaian yang bergantung pada parameter p. Kita nyatakan x tersendiri (penulisan /+6 berarti “kedua ruas ditambah 6”, /:(2p + 2) berarti “kedua ruas dibagi 2p + 2”):

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Inilah hasil akhirnya. Jika p ≠ − 1, akar persamaan sama dengan pecahan 3/(p + 1).