Persamaan logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya biasanya tersembunyi di dalam numerus logaritma. Bentuk paling sederhananya misalnya seperti ini:

$${}^2\log x=3$$

Logaritma adalah pangkat yang harus diberikan pada basis agar hasilnya sama dengan numerus. Jadi, persamaan ini bertanya: 2 harus dipangkatkan berapa agar hasilnya x? Dipangkatkan tiga. Jadi,

$$x=2^3=8.$$

Grafik juga menunjukkan hal yang sama. Kita mencari tempat grafik fungsi y = ²log x memotong garis mendatar y = 3:

Fungsi ²log x adalah fungsi naik, sehingga garis itu hanya dipotong sekali dan persamaan mempunyai tepat satu penyelesaian. Inilah seluruh rahasia persamaan logaritma: kita berusaha mengubah semuanya ke bentuk dengan satu logaritma di satu ruas, dan di ruas lain sebuah bilangan atau juga satu logaritma. Triknya mirip dengan persamaan eksponensial, yang bilangan pokoknya kita samakan.

Syarat

Logaritma hanya terdefinisi untuk bilangan positif. Berapa ²log(−4)? 2 harus dipangkatkan berapa agar hasilnya −4? Tidak ada, karena perpangkatan 2 selalu positif. Dari sini diperoleh bahwa numerus setiap logaritma dalam persamaan harus positif.

Akan tetapi, operasi yang akan kita lakukan pada logaritma tidak selalu ekuivalen, dan syarat ini bisa hilang tanpa kita sadari. Akibatnya, muncul akar yang membuat persamaan semula sama sekali tidak bermakna. Kesalahan yang khas: menyelesaikan persamaan secara mekanis, menuliskan semua akar, lalu tidak memeriksa apakah akar itu boleh dimasukkan ke dalam logaritma.

Ada dua cara untuk menghindarinya:

• di awal menentukan syarat, yaitu daerah asal persamaan, lalu di akhir mengeluarkan akar yang tidak termasuk di dalamnya,
• atau di akhir melakukan pemeriksaan dan menyubstitusikan setiap akar ke persamaan semula.

Pemeriksaan lebih pasti, karena juga mengungkap kesalahan hitung biasa. Pada persamaan logaritma, pemeriksaan biasanya juga singkat, sehingga selalu layak dilakukan.

Menghilangkan logaritma

Jika persamaan dapat diubah ke bentuk

$${}^a\log f(x)={}^a\log g(x),$$

dengan logaritma berbasis sama di kedua ruas, logaritmanya bisa langsung “dicoret”, dan kita menyelesaikan persamaan

$$f(x)=g(x).$$

Hal ini boleh dilakukan karena logaritma dengan basis lebih dari satu adalah fungsi naik, dan dengan basis kurang dari satu adalah fungsi turun, sehingga nilai yang sama hanya diperoleh untuk numerus yang sama. Langkah ini disebut menghilangkan logaritma. Namun, hati-hati: logaritma baru boleh dicoret jika di setiap ruas hanya ada satu logaritma dan tidak ada apa-apa lagi. Dari persamaan log x + log 3 = log 12, pencoretan tidak menghasilkan x + 3 = 12. Ruas kiri harus lebih dulu digabung menjadi satu logaritma, seperti yang akan kita lihat pada bagian berikutnya, dan baru kemudian diperoleh x = 4.

Sekarang kita coba pada contoh:

$$\log (2x+3)=\log (x+7)$$

Ingat bahwa log tanpa basis berarti logaritma basis 10. Basis di kedua ruas sama, sehingga logaritmanya kita hilangkan, dan sisanya adalah persamaan linear biasa:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Pemeriksaan: ruas kiri menghasilkan log(2 · 4 + 3) = log 11, ruas kanan log(4 + 7) = log 11. Cocok, dan kedua numerus positif, sehingga penyelesaiannya adalah x = 4.

Sifat-sifat logaritma

Sering kali di satu ruas ada lebih dari satu logaritma. Dalam kasus ini, logaritma-logaritma itu harus kita gabung menjadi satu dengan sifat-sifat logaritma. Perhatikan persamaan

$${}^2\log x+{}^2\log (x-2)=3.$$

Pertama, syaratnya. Harus berlaku x>0 dan sekaligus x − 2>0, sehingga secara keseluruhan x>2.

Jumlah logaritma berbasis sama adalah logaritma hasil kali, ^alog u+^alog v = ^alog(u · v), asalkan u dan v positif. Jadi, ruas kiri kita gabung:

$${}^2\log (x(x-2))=3$$

Sekarang kita kembali ke awal: di ruas kiri ada satu logaritma, di ruas kanan sebuah bilangan, sehingga cukup memakai definisi:

$$x(x-2)=2^3$$

Tanda kurung kita jabarkan dan bilangan 8 kita pindahkan ke ruas kiri:

$$x^2-2x-8=0$$

Ini sudah persamaan kuadrat. Ruas kiri kita faktorkan menjadi (x − 4)(x + 2) = 0, sehingga diperoleh dua akar:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Awas, jebakan! Bilangan −2 tidak memenuhi syarat x>2 dan tidak boleh disubstitusikan ke persamaan semula, karena ²log(−2) tidak terdefinisi. Dari mana akar ini muncul? Dari penggabungan logaritma. Untuk x = −2, bentuk x(x − 2) bernilai delapan, yaitu positif, sehingga persamaan yang sudah diubah tidak bermasalah dengannya. Namun, persamaan semula bermasalah. Dengan menggabungkan logaritma, kita memperluas daerah asal persamaan dengan bilangan-bilangan yang membuat persamaan semula tidak bermakna (akar palsu).

Pemeriksaan untuk x = 4: ²log 4+²log 2 = 2 + 1 = 3. Cocok, sehingga persamaan ini hanya mempunyai satu penyelesaian, yaitu x = 4.

Substitusi

Kadang-kadang dalam persamaan muncul logaritma yang dikuadratkan:

$${\log }^{2}x-3\log x+2=0$$

Penulisan log² x berarti (log x)², yaitu logaritma lebih dulu, baru kemudian dikuadratkan, bukan log(x²). Syaratnya hanya x>0.

Sekilas persamaan ini terlihat menakutkan, tetapi jika diperhatikan, ini adalah persamaan kuadrat yang sedang menyamar. Kita gunakan substitusi a = log x:

$$a^2-3a+2=0$$

Kita faktorkan menjadi (a − 1)(a − 2) = 0, sehingga a = 1 atau a = 2. Kita belum selesai, karena yang kita cari adalah x, bukan a. Jadi, kita lakukan substitusi balik:

$$\log x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\log x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Kedua akar positif, sehingga memenuhi syarat. Pemeriksaan untuk x = 100: log 100 = 2, sehingga 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Untuk x = 10 diperoleh 1 − 3 + 2 = 0. Persamaan ini mempunyai dua penyelesaian, yaitu x = 10 dan x = 100.