Pertidaksamaan eksponensial dan logaritma

Pertidaksamaan eksponensial adalah persamaan eksponensial yang tanda sama dengannya diganti dengan tanda pertidaksamaan. Misalnya yang ini:

$$2^x>8$$

Langkahnya dimulai sama seperti pada persamaan. Bilangan 8 kita tulis sebagai perpangkatan 2:

$$2^x>2^3$$

Pada persamaan 2^x = 2³, sekarang kita tinggal membandingkan pangkatnya dan memperoleh x = 3. Mengapa hal ini boleh dilakukan? Fungsi 2^x adalah fungsi naik: makin besar pangkatnya, makin besar hasil perpangkatannya. Karena itu, fungsi ini tidak pernah mencapai nilai yang sama dua kali, dan dua perpangkatan 2 hanya sama jika pangkatnya sama. Pertimbangan yang sama juga membantu pada pertidaksamaan, hanya saja kita juga harus menentukan arahnya. Dua pangkat sesuatu lebih besar daripada dua pangkat tiga jika dan hanya jika sesuatu itu lebih besar daripada tiga:

$$x>3$$

Penyelesaiannya adalah interval (3, ∞). Hasil ini cocok: 2⁴ = 16 lebih dari delapan, tetapi 2² = 4 tidak. Pada gambar, penyelesaiannya adalah bagian sumbu x tempat grafik merah berada lebih tinggi daripada garis hijau.

Lain halnya dengan pertidaksamaan yang bilangan pokoknya kurang dari satu, misalnya ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Fungsi ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ adalah fungsi turun: makin besar pangkatnya, makin sering kita mengalikan dengan setengah, dan makin kecil hasilnya. Pada gambar, fungsi ini berwarna biru:

Grafik ini naik di atas garis y = 8 hanya di sebelah kiri −3, sehingga pertidaksamaan ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ mempunyai penyelesaian x < −3. Tandanya berbalik. Seluruh rahasia pertidaksamaan eksponensial terletak pada aturan ini:

• bilangan pokok lebih dari satu: fungsinya naik, dan tanda pertidaksamaan tetap,
• bilangan pokok antara nol dan satu: fungsinya turun, dan tanda pertidaksamaan dibalik.

Bilangan pokok kurang dari satu

Kita selesaikan pertidaksamaan

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Bilangan 9 harus kita tulis sebagai perpangkatan sepertiga. Sepertiga pangkat minus satu sama dengan tiga, sepertiga pangkat minus dua sama dengan sembilan:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Bilangan pokoknya sama, tetapi bilangan pokok $\frac{1}{3}$ kurang dari satu. Jadi, kita bandingkan pangkatnya dan tanda pertidaksamaan kita balik:

$$x\le -2$$

Penyelesaiannya adalah interval (−∞, −2]. Kita periksa dengan x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, dan hasil ini memang lebih dari sembilan.

Kesalahan paling umum pada soal seperti ini adalah: lupa membalik tanda. Siapa pun yang menulis x ≥ −2 akan menganggap, misalnya, nol sebagai penyelesaian. Namun, ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$, dan satu kurang dari sembilan.

Jika kamu kurang nyaman dengan pecahan sebagai bilangan pokok, $\frac{1}{3}$ bisa kamu tulis ulang menjadi 3⁻¹. Pertidaksamaannya menjadi 3^−x ≥ 3², yaitu −x ≥ 2. Kali ini bilangan pokoknya lebih dari satu dan tanda tetap, tetapi saat membagi dengan minus satu, tanda dibalik sesuai aturan operasi pada pertidaksamaan. Hasilnya kembali x ≤ −2. Bagaimanapun caranya, tandanya tetap berbalik.

Jika bilangan pokoknya tidak bisa disamakan

Pada pertidaksamaan 3^x < 5, bilangan 5 tidak bisa ditulis sebagai perpangkatan 3 dengan pangkat bilangan bulat. Kita atasi dengan cara yang sama seperti pada persamaan: kedua ruas kita logaritmakan, kali ini dengan logaritma basis tiga. Logaritma ini fungsi naik, sehingga tanda tidak berubah: ³log 3^x < ³log 5, yaitu x < ³log 5. Hasil ini boleh dibiarkan dalam bentuk tersebut. Letak perkiraan bilangan ini terlihat dari ketidaksamaan 3 < 5 < 9, sehingga ³log 5 terletak di antara ³log 3 = 1 dan ³log 9 = 2.

Pertidaksamaan logaritma

Pada pertidaksamaan logaritma berlaku aturan yang sama tentang basis, dan ada satu syarat tambahan yang sudah kita kenal dari persamaan logaritma: numerus logaritma harus positif. Mari kita coba pada pertidaksamaan

$${}^2\log (x-1)<3.$$

Pertama, syaratnya: x − 1>0, yaitu x>1. Lalu bilangan 3 kita tulis sebagai logaritma basis dua, karena 2³ = 8:

$${}^2\log (x-1)<{}^2\log 8$$

Basis dua lebih dari satu, logaritmanya fungsi naik, dan tanda tetap:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Terakhir, hasil ini kita gabungkan dengan syaratnya. Harus berlaku x>1 dan sekaligus x<9, sehingga penyelesaiannya adalah interval (1, 9). Untuk memeriksa, ambil x = 5: ²log 4 = 2, dan hasil ini memang kurang dari tiga.

Penyelesaiannya terlihat pada gambar: grafik merah berada di bawah garis hijau untuk semua x dari satu sampai sembilan. Di sebelah kiri bilangan 1 grafiknya sama sekali tidak ada, karena di sana logaritma tidak terdefinisi. Itulah syarat x>1.

Di sini kesalahannya berbeda dengan pertidaksamaan eksponensial. Siapa pun yang lupa syaratnya akan menulis hasil x<9. Namun, hasil itu juga memuat nol, dan ²log(0 − 1) = ²log(−1) tidak terdefinisi. Pada persamaan, syarat yang terlupa akan ketahuan saat pemeriksaan, tetapi pada pertidaksamaan hasilnya tak hingga banyaknya bilangan, dan tidak mungkin semuanya disubstitusikan. Karena itu, syarat selalu kita tulis di awal.

Pada contoh terakhir, kedua jebakan itu bertemu:

$${}^{\frac{1}{2}}\log x>2$$

Syaratnya adalah x>0. Bilangan 2 kita tulis sebagai logaritma basis setengah, karena ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${}^{\frac{1}{2}}\log x>{}^{\frac{1}{2}}\log \frac{1}{4}$$

Basisnya kurang dari satu, sehingga tanda pertidaksamaan kini dibalik:

$$x<\frac{1}{4}$$

Dengan syarat x>0, diperoleh penyelesaian $(0,\frac{1}{4})$. Kita periksa, misalnya, dengan $x=\frac{1}{8}$: setengah pangkat tiga sama dengan seperdelapan, sehingga ${}^{\frac{1}{2}}\log \frac{1}{8}=3$, dan hasil ini memang lebih dari dua.