Phương trình bậc nhất chứa tham số

Phương trình bậc nhất có thể chứa một tham số, ở đây kí hiệu là p. Mục tiêu là biện luận nghiệm của phương trình bậc nhất theo tham số p.

Bài toán mở đầu

Hãy thử giải bài toán sau: bạn đã viết cuốn tiểu thuyết “Thạch Sanh cùng Tấm đuổi Thánh Gióng ra khỏi rừng” và muốn in thành sách để tặng người quen. Bạn có 10 triệu đồng, tức 10.000 nghìn đồng. Giá in như sau: phí cơ bản là 100 nghìn đồng mỗi cuốn, cộng thêm 1 nghìn đồng cho mỗi trang. Cuốn tiểu thuyết dày 300 trang. Bạn có thể in được bao nhiêu cuốn?

Đây là một bài toán đơn giản về phương trình bậc nhất. Ta lập phương trình như sau: ẩn x là số cuốn sách có thể in. Tính theo nghìn đồng, ta được phương trình: (100 + 300)x = 10.000. Biểu thức trong ngoặc là giá một cuốn sách (100 là phí cơ bản, 300 là tiền in các trang). Giải phương trình:

$$\begin{array}{rcl}(100+300)x& =& 10.000\\ 400x& =& 10.000\\ x& =& \frac{10.000}{400}\\ x& =& 25\end{array}$$

Bạn có thể in được 25 cuốn. Tuy nhiên, giá mỗi trang quá cao, ta giảm xuống còn 0,8 nghìn đồng. Bây giờ in được bao nhiêu cuốn? Lại lập phương trình: (100 + 300 · 0,8)x = 10.000 và giải:

$$\begin{array}{rcl}(100+300\cdot 0,8)x& =& 10.000\\ (100+240)x& =& 10.000\\ 340x& =& 10.000\\ x& =& \frac{10.000}{340}\\ x& \approx & 29\end{array}$$

Bạn có thể in được 29 cuốn. Thật ra, với số trang khá nhiều như vậy, có lẽ có thể đề nghị giảm thêm giá mỗi trang, đúng không? Chẳng hạn chỉ còn 600 đồng, tức 0,6 nghìn đồng? Được thôi. Ta lại tính xem in được bao nhiêu cuốn.

Có lẽ bạn đã đoán được rằng cứ thế này thì có thể thay đổi giá mãi. Giải quyết thế nào cho gọn? Ta dùng tham số, tức là thêm một chữ cái biểu thị giá in một trang sách. Kí hiệu tham số này là p. Để giới hạn nó, giả sử giá mỗi trang nằm trong nửa khoảng (0; 1] nghìn đồng. Giá không thể bằng 0, vì chẳng ai in miễn phí, và cũng không nơi nào lấy đắt hơn 1 nghìn đồng một trang. Khi đó phương trình có dạng thế nào?

$$(100+300p)x=10.000$$

Phương trình khớp với cách tính giá: 100 nghìn đồng là phí cơ bản, không thay đổi. Còn tiền in 300 trang thì tính bằng cách nhân giá mỗi trang, tức tham số p, với 300. Nghiệm của phương trình là gì? Cần biểu diễn x theo p:

$$\begin{array}{r}(100+300p)x=10.000\\ x=\frac{10.000}{100+300p}\end{array}$$

Thế là xong. Bây giờ chỉ cần biết giá mỗi trang là tính được số cuốn sách. Nếu giá mỗi trang là 200 đồng, thay vào p ta có:

$$x=\frac{10.000}{100+300\cdot 0,2}=\frac{10.000}{100+60}=\frac{10.000}{160}\approx 62$$

Ta in được 62 cuốn. Như vậy là khá tốt rồi.

Phương trình chứa tham số tổng quát

Với phương trình chứa tham số tổng quát, ta tìm nghiệm của phương trình tuỳ theo giá trị của tham số. Ví dụ về phương trình như vậy:

$$(2p+2)x-6=0$$

Trước hết, tìm khi nào ẩn x biến mất khỏi phương trình. Điều đó xảy ra khi hệ số của ẩn bằng 0, tức là khi 2p + 2 = 0. Giải phương trình này, ta được:

$$\begin{array}{rcl}2p+2& =& 0\\ 2p& =& -2\\ p& =& -1\end{array}$$

Khi tham số p bằng −1, ẩn x biến mất khỏi phương trình và ta được phương trình: −6 = 0. Phương trình này vô nghiệm.

Bây giờ tìm nghiệm trong trường hợp p ≠ − 1. Ta giải như thông thường, chỉ khác là không được nghiệm “cụ thể” mà được nghiệm phụ thuộc vào tham số p. Biểu diễn x theo p:

$$\begin{array}{rcl}(2p+2)x-6& =& 0/+6\\ (2p+2)x& =& 6/:(2p+2)\\ x& =& \frac{6}{2p+2}\\ x& =& \frac{3}{p+1}\end{array}$$

Đây là kết quả cuối cùng. Khi p ≠ − 1, phương trình có nghiệm duy nhất bằng phân thức 3/(p + 1).